2.5平面向量应用举例 高效演练知能提升 A级基础巩固 、选择题 1.一质点受到平面上的三个力F,F2,F的作用而处于平衡状态.已知F与F的夹角 为60°,且F,F的大小分别为2N和4N,则的大小为( B. 2N √5 7 N 解析:由向量的平行四边形法则及力的平衡,得|F|2=|-F-F|2=|F|2+|F1|2+ 2F|os6o°=2+4+2×2×4×2=28, 所以|B|=2V7(N) 答案:D 2.平面内四边形ABCD和点O,若OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且a+c=b+d,则四 边形ABCD为() A.菱形 梯形 C.矩形 D.平行四边形 解析:由题意知a-b=d-c, 所以BA=CD,所以四边形ABCD为平行四边形 3.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10牛,方向与水平面成60°角, 当小车向前运动10米,则力F做的功为() A.100焦耳 B.50焦耳 焦耳 D.200焦耳 解析:设小车位移为s,则|s=10米 F=F,5=11s·c0s60°=10×10×2=50焦耳) 答案: 4.在△AC中,AB=3,AC边上的中线BD=√5,AC·AB=5,则AC的长为( 解析:因为BD=ADAB==AC-AB
2.5 平面向量应用举例 A 级 基础巩固 一、选择题 1．一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3 的作用而处于平衡状态．已知 F1 与 F2 的夹角 为 60°，且 F1，F2 的大小分别为 2 N 和 4 N，则 F3 的大小为( ) A．6 N B．2 N C．2 5 N D．2 7 N 解析：由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3| 2＝|－F1－F2| 2＝|F1| 2＋|F2| 2＋ 2|F1||F2|cos 60°＝2 2＋4 2＋2×2×4× 1 2 ＝28， 所以|F3|＝2 7 (N)． 答案：D 2．平面内四边形 ABCD 和点 O，若OA → ＝a，OB → ＝b，OC → ＝c，OD → ＝d，且 a＋c＝b＋d，则四 边形 ABCD 为( ) A．菱形 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形 解析：由题意知 a－b＝d－c， 所以BA → ＝CD → ，所以四边形 ABCD 为平行四边形． 答案：D 3．如图所示，一力作用在小车上，其中力 F 的大小为 10 牛，方向与水平面成 60°角， 当小车向前运动 10 米，则力 F 做的功为( ) A．100 焦耳 B．50 焦耳 C．50 3焦耳 D．200 焦耳 解析：设小车位移为 s，则|s|＝10 米． WF＝F·s＝|F||s|·cos 60°＝10×10× 1 2 ＝50(焦耳)． 答案：B 4．在△ABC 中，AB＝3，AC 边上的中线 BD＝ 5，AC → ·AB → ＝5，则 AC 的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：因为BD → ＝AD → －AB → ＝ 1 2 AC → －AB →
所以B0F=2Ac AC-AC·AB+AB=(V5)2,即AC=1.,所以|AC=2,即AC=2 答案:B 5.在△ABC所在的平面内有一点P,满足PA+PB+PC=AB,则△PBC与△ABC的面积之 比是() 解析:由PA+PB+PC=AB 得PA+PB+BA+PC=0, 即PC=2AP,所以点P是CA边上的三等分点,如图所示 S△CPC2 答案:C 填空题 6.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行方向与水流的方向 成30°角,则水流速度为 km/h 解析:如图所示,船速|1=5(km/h), 水速为v2,实际速度|U|=10(km/h) 所以|D2|=√100-25=V75=55(kmh) 答案:53 7.在△ABC中,已知AB=|AC=4,且AB·AC=8,则这个三角形的形状是 解析:因为AB·AC=4×4·cosA=8 所以cosA=,所以∠A 所以△ABC是正三角形 答案:正三角形 8.已知力F,F,R满足|F|=|F|=||=1,且R+F+F=0,则|F-F|= 解析:由F+F+眉=0,可得F+F=-F
所以BD → 2＝ 1 2 AC → －AB → 2 ＝ 1 4 AC → 2－AC → ·AB → ＋AB → 2＝( 5) 2，即 1 4 AC → 2＝1.所以|AC → |＝2，即 AC＝2. 答案：B 5．在△ABC 所在的平面内有一点 P，满足PA → ＋PB → ＋PC → ＝AB → ，则△PBC 与△ABC 的面积之 比是( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 解析：由PA → ＋PB → ＋PC → ＝AB → ， 得PA → ＋PB → ＋BA → ＋PC → ＝0， 即PC → ＝2AP → ，所以点 P 是 CA 边上的三等分点，如图所示． 故 S△PBC S△ABC ＝ PC AC ＝ 2 3 . 答案：C 二、填空题 6．一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向 成 30°角，则水流速度为________km/h. 解析：如图所示，船速|υ1|＝5(km/h)， 水速为 υ2，实际速度|υ|＝10(km/h)， 所以|υ2|＝ 100－25＝ 75＝5 3(km/h)． 答案：5 3 7．在△ABC 中，已知|AB → |＝|AC → |＝4，且AB → ·AC → ＝8，则这个三角形的形状是________． 解析：因为AB → ·AC → ＝4×4·cos A＝8， 所以 cos A＝ 1 2 ，所以∠A＝ π 3 ， 所以△ABC 是正三角形． 答案：正三角形 8．已知力 F1，F2，F3 满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且 F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|＝________． 解析：由 F1＋F2＋F3＝0，可得 F1＋F2＝－F3
所以(一)2=(F+F)2,化简可得:A=++2F·,由于|F|=|F|=|F|=1,所 以2F·F2=-1, 所以|F-F|=y(F-F)2=-2F·E+ (-1)+1= 答案:√3 、解答题 9.在直角坐标平面xOy内,已知向量O=(1,5),OB=(7,1),OM=(1,2),点P为 满足OP=tOM(t∈R)的动点,当PA·P取得最小值时,求: (1)向量O的坐标 (2)cos∠APB的值 解:(1)因为OP=tOM=(t,2t), PA=04-OP=(1-t,5-2t), PB=OB-0P=(7-t, 1-2t) 所以PA·PB=(1-t)(7-t)+(5-2t)(1-2t)=5t-20t+12=5(t-2)2-8. 当PA·PB取得最小值时,t=2 所以OP=(2,4) (2)因为PA=(-1,1),PB=(5,-3), PA|=√2,|P=34 所以cos∠APB= PA 10.一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速 为2km/h,求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示) 解:如图,设A表示船垂直于对岸的速度,A表示水流的速度,以ADAB为邻边作平 行四边形ABOD,则AC就是船实际航行的速度
所以(－F3) 2＝(F1＋F2) 2，化简可得：F 2 3＝F 2 1＋F 2 2＋2F1·F2，由于|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，所 以 2F1·F2＝－1， 所以|F1－F2|＝ （F1－F2）2＝ F 2 1－2F1·F2＋F 2 2＝ 1－（－1）＋1＝ 3. 答案： 3 三、解答题 9．在直角坐标平面 xOy 内，已知向量OA → ＝(1，5)，OB → ＝(7，1)，OM → ＝(1，2)，点 P 为 满足OP → ＝tOM → (t∈R)的动点，当PA → ·PB → 取得最小值时，求： (1)向量OP → 的坐标； (2)cos∠APB 的值． 解：(1)因为OP → ＝tOM → ＝(t，2t)， PA → ＝OA → －OP → ＝(1－t，5－2t)， PB → ＝OB → －OP → ＝(7－t，1－2t)， 所以PA → ·PB → ＝(1－t)(7－t)＋(5－2t)(1－2t)＝5t 2－20t＋12＝5(t－2)2－8. 当PA → ·PB → 取得最小值时，t＝2， 所以OP → ＝(2，4)． (2)因为PA → ＝(－1，1)，PB → ＝(5，－3)， |PA → |＝ 2，|PB → |＝ 34， 所以 cos∠APB＝ PA → ·PB → |PA → |·|PB → | ＝－ 4 17 17. 10．一艘船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速 为 2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)． 解：如图，设AD → 表示船垂直于对岸的速度，AB → 表示水流的速度，以 AD、AB 为邻边作平 行四边形 ABCD，则AC → 就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中,|AB=2,|BC=23, 所以|AC= AB|2+|BC12 =V2+(2V)=4 所以tan∠CAB 所以∠CAB=60° 故船实际航行速度的大小为4km/h,方向与水流速间的夹角为60° B级能力提升 1.设平面上有四个互异的点A、B、C、D,已知(DB+DC-2DD·(AB-AO=0,则△ABC 的形状是() A.直角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析:DB+DC-2DA=(DB+AD+(DC+AD=AB+AC, 所以(DB+DC-2DA·(AB-AO=(AB+AO·(ABAC=AB-AC2=0 即AB=AC,所以|AB=|AC1 答案:B 2.如图所示,在倾斜角为37°(sin37°=0.6),高为2m的斜面上,质量为5kg的 物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持 力所做的功为J,重力对物体m所做的功为J(g取9.8m/s2) 解析:物体D的位移大小、、√n37”(m),则支持力对物体m所做的功为腐 =F·s=| Fllslcos90°=0():重力对物体m所做的功为=G·s=|6 escos53°=5× 9.8×。×0.6=98(J) 答 案:098 如图所示,ABCD是正方形,M是BC的中点,将正方形折起使点A与M重合,设折痕 为EF,若正方形面积为64,求△AEM的面积 解:如图所示,建立直角坐标系,显然EF是MM的中垂线,设MM与EF交于点M,则N 是AM的中点,又正方形边长为8
在 Rt△ABC 中，|AB → |＝2，|BC → |＝2 3， 所以|AC → |＝ |AB → | 2＋|BC → | 2＝ 2 2＋（2 3）2＝4， 所以 tan∠CAB＝ 2 3 2 ＝ 3，所以∠CAB＝60°. 故船实际航行速度的大小为 4 km/h，方向与水流速间的夹角为 60°. B 级 能力提升 1．设平面上有四个互异的点 A、B、C、D，已知(DB → ＋DC → －2DA → )·(AB → －AC → )＝0，则△ABC 的形状是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析：DB → ＋DC → －2DA → ＝(DB → ＋AD → )＋(DC → ＋AD → )＝AB → ＋AC → ， 所以(DB → ＋DC → －2DA → )·(AB → －AC → )＝(AB → ＋AC → )·(AB → －AC → )＝AB → 2－AC → 2＝0. 即AB → 2＝AC → 2，所以|AB → |＝|AC → |. 答案：B 2．如图所示，在倾斜角为 37°(sin 37°＝0.6)，高为 2 m 的斜面上，质量为 5 kg 的 物体 m 沿斜面下滑，物体 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5 倍，则斜面对物体 m 的支持 力所做的功为________J，重力对物体 m 所做的功为________J(g 取 9.8 m/s2 )． 解析：物体 m 的位移大小为|s|＝ 2 sin 37°＝ 10 3 (m)，则支持力对物体 m 所做的功为 W1 ＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体 m 所做的功为 W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5× 9.8× 10 3 ×0.6＝98(J)． 答案：0 98 3．如图所示，ABCD 是正方形，M 是 BC 的中点，将正方形折起使点 A 与 M 重合，设折痕 为 EF，若正方形面积为 64，求△AEM 的面积． 解：如图所示，建立直角坐标系，显然 EF 是 AM 的中垂线，设 AM 与 EF 交于点 N，则 N 是 AM 的中点，又正方形边长为 8
所以M8,4),M(4,2 设点E(e,0),则A=(8,4),AN=(4,2),AE=(e,0),EN=(4-e,2) 由AM⊥EM得AM·EN=0, 即(8,4)·(4-e,2)=0,解得e=5, 即|AE=5 所以S△m=2|AEBM=2×5×4=10
所以 M(8，4)，N(4，2)． 设点 E(e，0)，则AM → ＝(8，4)，AN → ＝(4，2)，AE → ＝(e，0)，EN → ＝(4－e，2)， 由AM → ⊥EN → 得AM → ·EN → ＝0， 即(8，4)·(4－e，2)＝0，解得 e＝5， 即|AE → |＝5. 所以 S△AEM＝ 1 2 |AE → ||BM → |＝ 1 2 ×5×4＝10