2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 课后篇巩固探究 1.若p与q是相反向量,且/p/=3,则p·q等于() A.9 B.0 C.-3 解析由已知得p·q3×3Xcos180°=9. 答案D 2已知/a/=4,//=3,(2a3b)·(2ab)61,则/a/=( B.√26C.1 D.21 解析由(2a-3b)·(2a)=61, 得4/a/-a·b3//=61 将/a/=,/b/=3代入上式,求得ab=6 b/=(ah)2=/a/a·b+/b/=13, 所以b/=√13 答案A 3已知/a/=2,//=,/a2b/=3,则a与b的夹角为() A.6 B.3 C.2 D.3 解析:/a地b/=√3, :(a+2b)2a2+a·b+b=12. /a/,/b/=1,∴a·ba1 设a与b的夹角为0, A /a//b/cos 0=2cos 0=l,: cos 0=2 又0≤0≤Ⅱ,∴ 答案B 4.已知向量a,b满足//=3,/b/2、3,且a⊥(ab),则b在a方向上的投影为( 3√3 /3 A.3 C
1 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课后篇巩固探究 1.若 p 与 q 是相反向量,且|p|=3,则 p·q 等于( ) A.9 B.0 C.-3 D.-9 解析由已知得 p·q=3×3×cos 180°=-9. 答案 D 2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=( ) A. B. C.13 D.21 解析由(2a-3b)·(2a+b)=61, 得 4|a| 2 -4a·b-3|b| 2 =61. 将|a|=4,|b|=3 代入上式,求得 a·b=-6. |a+b| 2 =(a+b) 2 =|a| 2 +2a·b+|b| 2 =13, 所以|a+b|= . 答案 A 3.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2 ,则 a 与 b 的夹角为 ( ) A. B. C. D. 解析∵|a+2b|=2 , ∴(a+2b) 2 =a 2 +4a·b+4b 2 =12. ∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1. 设 a 与 b 的夹角为 θ, 则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ= . 又 0≤θ≤π,∴θ= . 答案 B 4.已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2 ,且 a⊥(a+b),则 b 在 a 方向上的投影为( ) A.3 B.-3 C.- D
解析由a⊥(ab),得a·(a)0,即/a/a·b=0,于是a·b=9,因此b在a方向上的投影为 答案B 5.在平行四边形BCD中,AD=,.∠BDO°,E为CD的中点.若ADBE=3则B的长为() 2 解析设AB的长为a,因为AD=B, 所以ADBE=BCBE=BC.(BC+CE)=BCP+BCcE =1+1· 1 ,解得a= 答案D 6.若两个非零向量a,b满足/ab/=/ab/=/a/,则向量ab与a的夹角为( B.3 解析设a九与a的夹角为 由/ab/=/ab/何得a·b=0, 由/ab/4/a何得//=√3/a/, (a+b)a a2 于是cos=+ba2a2-2,故所求夹角为 答案 7.已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为() 叫a·b=|a·|ba∥b;②a,b反向a·b=|a·|b|:(a⊥be→|a+b|=|a-b|;④ a|=|bela·c|=|b·c D.4 解析需对以上四个命题逐一判断,依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行 四边形法则 ②:a·b=/a///cos0(0为a与b的夹角), :由/a·b/=/a/·//及a,b为非零向量可得/cos/=1,∴0或π,a∥b且以上各步均 可逆.故命题①是真命题 ②若a,b反向,则a,b的夹角为r,a·b=/a/·//cosπ=/a/·/b/且以上各步均可逆.故 命题②是真命题
2 解析由 a⊥(a+b),得 a·(a+b)=0,即|a| 2 +a·b=0,于是 a·b=-9,因此 b 在 a 方向上的投影为 =-3. 答案 B 5.在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点.若 ,则 AB 的长为( ) A. B.1 C. D.2 解析设 AB 的长为 a,因为 , 所以 ·( )=| | 2 + =1+1· ·cos 120°= ,解得 a=2. 答案 D 6.若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b 与 a 的夹角为( ) A. B. C. D. 解析设 a+b 与 a 的夹角为 θ. 由|a+b|=|a-b|可得 a·b=0, 由|a+b|=2|a|可得|b|= |a|, 于是 cosθ= ,故所求夹角为 . 答案 B 7.已知 a,b,c 是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为( ) ①|a·b|=|a|·|b|⇔a∥b;②a,b 反向⇔a·b=-|a|·|b|;③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;④ |a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|. A.1 B.2 C.3 D.4 解析需对以上四个命题逐一判断,依据有两条:一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行 四边形法则. ①∵a·b=|a||b|cos θ(θ 为 a 与 b 的夹角), ∴由|a·b|=|a|·|b|及 a,b 为非零向量可得|cos θ|=1,∴θ=0 或 π,∴a∥b 且以上各步均 可逆.故命题①是真命题. ②若 a,b 反向,则 a,b 的夹角为 π,∴a·b=|a|·|b|cos π=-|a|·|b|且以上各步均可逆.故 命题②是真命题
⑧当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四 边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有/a+b/=/ab.反过来,若/a+b/=/a-b,则以a,b为邻 边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故命题③是真命题 当/a//但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有/a·c/≠/b·c/,反过来由 a·c/=/b·c/也推不出/a/=/b′.故命题④是假命题 答案C 8已知a,b为共线的两个向量,且/a/=1,/b/=2,则/2ab/= 解析/ab/=4a24ab+b2=v84ab a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为O, 则θ=0°或180°,当θ=0°时,B·b之2 当θ=180°时,&·b=2 /2ab/=0或4 答案0或4 9.正三角形ABC边长为2,设 BC= AC=AE,则ADBE BE (AB+ -AB 2 ( AB+AC. GAC-AB) -+-E正 1 6X2-2X4+3X42=-3. 答案 10.已知/a/=,向量8在向量b上的投影为3,则a与b的夹角为 解析记向量a与向量b的夹角为0,则a在b上的投影为/a/eosb=cos0.因为a在b上的投影 为3所以cs0=.因为O∈[o,m],所以0毛 答案6 1.如图所示在Rt△ABC中,∠A90°,AB1,则ABBC的值是
3 ③当 a⊥b 时,将向量 a,b 的起点移至同一点,则以向量 a,b 为邻边作平行四边形,则该平行四 边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以 a,b 为邻 边的四边形为矩形,所以有 a⊥b.故命题③是真命题. ④当|a|=|b|但 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由 |a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题. 答案 C 8.已知 a,b 为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= . 解析|2a-b|= . ∵a,b 为共线的两个向量,设 a,b 的夹角为 θ, 则 θ=0°或 180°,当 θ=0°时,a·b=2; 当 θ=180°时,a·b=-2. ∴|2a-b|=0 或 4. 答案 0 或 4 9.正三角形 ABC 边长为 2,设 =2 =3 ,则 = . 解析 )·( ) = )· = = ×2- ×4+ ×4-2=- . 答案- 10.已知|a|=2,向量 a 在向量 b 上的投影为 ,则 a 与 b 的夹角为 . 解析记向量 a 与向量 b 的夹角为 θ,则 a 在 b 上的投影为|a|cos θ=2cos θ.因为 a 在 b 上的投影 为 ,所以 cos θ= .因为 θ∈[0,π],所以 θ= . 答案 11.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=1,则 的值是
解析(方法一)AB,BC=/AB/·/C/·cos(180°-∠6=AB/·/BC/·cos∠B= (方法二)/B/,即BA为单位向量,ABBC=B /BA//BC/cos∠ABC而/BC/·cos∠ABC=/BA/,所以ABBC=/BA/=-1 答案-1 12.已知/a/=/b/=,a,b的夹角为60°,则使向量a+b与lah的夹角为锐角的A的取值范围 解析由a+b与Aab的夹角为锐角, 得(a+b)·(Aa)X0, 即Aa2+(12+1)a·b+b20, 从而424A10,解得A-2+ 当A=时,a+4b与Aab共线同向,故L的取值范围是( U(1,+∞) 答案(-∞,-√3U(2八3,1)U(1,+∞) 导学号68254084已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均 为120°.求证:(ab)⊥c 证明(ab)·ca·cb·c /a//c/os120°-/b//c/eos120 =I XIX ()1x1x(3 故(ab)⊥c 14.如图,在四边形ABCD中, AB-BBCb CD=C, D且a,bb·c=·止d·a且a·cb,d则四 边形ABD是什么形状?
4 解析(方法一) =| |·| |·cos(180°-∠B)=-| |·| |·cos∠B=- | |·| |· =-| | 2 =-1. (方法二)| |=1,即 为单位向量, =- =- | || |cos∠ABC,而| |·cos∠ABC=| |,所以 =-| | 2 =-1. 答案-1 12.已知|a|=|b|=2,a,b 的夹角为 60°,则使向量 a+λb 与 λa+b 的夹角为锐角的 λ 的取值范围 是 . 解析由 a+λb 与 λa+b 的夹角为锐角, 得(a+λb)·(λa+b)>0, 即 λa 2 +(λ2 +1)a·b+λb 2 >0, 从而 λ2 +4λ+1>0,解得 λ-2+ . 当 λ=1 时,a+λb 与 λa+b 共线同向,故 λ 的取值范围是(-∞,-2- )∪(-2+ ,1) ∪(1,+∞). 答案(-∞,-2- )∪(-2+ ,1)∪(1,+∞) 13. 导学号 68254084 已知平面上三个向量 a,b,c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均 为 120°.求证:(a-b)⊥c. 证明(a-b)·c=a·c-b·c =|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120° =1×1× -1×1× =0, 故(a-b)⊥c. 14.如图,在四边形 ABCD 中, =a, =b, =c, =d,且 a·b=b·c=c·d=d·a,且 a·c=b·d,则四 边形 ABCD 是什么形状?
解∴a+b+c+d0, a+b=(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2, 即a2+2a·b+b=c2+2c·d+d 又a·b=c·d,a2+b=c+d, 即/8/+/b/=/c/+/dF.① 同理可得/a|+|d|=|b|2+|cl|2 ①②得//=//, ①变形为/a/-/d/=//-//,再加②式得/a/=/c/,即//=/d/,/a/=/e/ 同理可得//=/b,//=/d/,故四边形ABCD是菱形 AB CD ∴8=c 又:a·b=b 即b·(2a)=0.∴a·b=0, AB⊥BC.故四边形ABCD为正方形 导学号68254085如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°, ∠BCD=60°,记ABa,ACb (1)试用a,b表示向量ADCD; (2)若b/1,求ABCD 解(1)CBab 由题意可知,AC∥BDBD=√3B=√3A BD=√b,则Ab=AB+Ba+√b CD= AD-AC -1)b
5 解∵a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d),∴(a+b) 2 =(c+d) 2 , 即 a 2 +2a·b+b2 =c 2 +2c·d+d2 . 又 a·b=c·d,∴a 2 +b2 =c 2 +d2 , 即|a| 2 +|b| 2 =|c| 2 +|d| 2 . ① 同理可得|a|2 +|d|2 =|b|2 +|c|2 . ② ①-②,得|b| 2 =|d| 2 , ①变形为|a| 2 -|d| 2 =|c| 2 -|b| 2 ,再加②式得|a| 2 =|c| 2 ,即|b|=|d|,|a|=|c|. 同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形 ABCD 是菱形. ∵ ,∴a=-c. 又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0, 即 b·(2a)=0.∴a·b=0, ∴ .故四边形 ABCD 为正方形. 15. 导学号 68254085 如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°, ∠BCD=60°,记 =a, =b. (1)试用 a,b 表示向量 ; (2)若|b|=1,求 . 解(1) =a-b, 由题意可知,AC∥BD,BD= BC= AC. ∴ b,则 =a+ b, =a+( -1)b
(2):)b/=,:/a/=v,a·b 则 ABCD-a·[a(√3-1)b] 1)a·b=2+ 6
6 (2)∵|b|=1,∴|a|= ,a·b= cos 45°=1, 则 =a·[a+( -1)b] =a 2 +( -1)a·b=2+ -1= +1