2.3.3平面向量的坐标运算 问题导学 、平面向量及点的坐标表示 一活动与探究 已知A(-2,1),B(1,3),求线段AB的中点M和三等分点P,Q的坐标 一迁移与应用 1.已知两点A(,0),B(1,√5),O为坐标原点,点C在第二象限,且∠AOC=1: 设OC=-2OA+AOB(A∈R),则A等于() A.-1 B.2 2.已知点M5,-6)和向量a=(1,-2),若MN=-3a,则点M的坐标为() A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0) 名师津 对于向量坐标的线性运算,关键是掌握向量的线性运算法则及坐标运算的特点,要充分 理解向量坐标运算中点的坐标与向量的坐标之间的关系.事实上,当点O为坐标原点时,向 量OP与终点P的坐标是相同的 二、平面向量的坐标运算 一活动与探究 已知点A,B,C的坐标分别为A(2,-4),B(0,6),C(一8,10),求向量AB+2B AC的坐标 一迁移与应用 1.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于( A.(-5,14) B.(5,14) C.(7,4) (5,9) 2在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,AB=(2,4) (1,3),则AD=( A.(2,4) B.(3,5) C.(-1,-1) D.(-2,-4) 名师津 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标, 则应先求出向量的坐标 、用基底表示的坐标运算 一活动与探究3 已知A(,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),以AB,AC为一组基底来表示AD+ BD+CD 迁移与应用 已知a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3),试用b,c表示a 用基底a,b表示指定向量p时,可由平面向量基本定理设p=Aa+b,然后借助于 坐标运算列方程(组)求解待定的系数 当堂检测 1.已知A(1,3),B(2,1),则BA的坐标是( A.(-1, B.(2,-1) (-2,1)
1 。 内部文件，版权追溯 2.3.3 平面向量的坐标运算 问题导学 一、平面向量及点的坐标表示 活动与探究 1 已知 A(－2,1)，B(1,3)，求线段 AB 的中点 M 和三等分点 P，Q 的坐标． 迁移与应用 1．已知两点 A(1,0)，B(1， 3)，O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且∠AOC＝120°， 设 OC ＝－2 OA ＋λ OB (λ∈R)，则 λ 等于( ) A．－1 B．2 C．1 D．－2 2．已知点 M(5，－6)和向量 a＝(1，－2)，若 MN ＝－3a，则点 N 的坐标为( ) A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0) 对于向量坐标的线性运算，关键是掌握向量的线性运算法则及坐标运算的特点，要充分 理解向量坐标运算中点的坐标与向量的坐标之间的关系．事实上，当点 O 为坐标原点时，向 量 OP 与终点 P 的坐标是相同的． 二、平面向量的坐标运算 活动与探究 2 已知点 A，B，C 的坐标分别为 A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求向量 AB ＋2 BC － 1 2 AC 的坐标． 迁移与应用 1．已知 a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则 3a＋b 等于( ) A．(－5,14) B．(5,14) C．(7,4) D．(5,9) 2．在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线， AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则 AD ＝( ) A．(2,4) B．(3,5) C．(－1，－1) D．(－2，－4) 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标， 则应先求出向量的坐标． 三、用基底表示的坐标运算 活动与探究 3 已知 A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和 D(－2,3)，以 AB ， AC 为一组基底来表示 AD ＋ BD ＋ CD． 迁移与应用 已知 a＝(10，－4)，b＝(3,1)，c＝(－2,3)，试用 b，c 表示 a． 用基底 a，b 表示指定向量 p 时，可由平面向量基本定理设 p＝λa＋μb，然后借助于 坐标运算列方程(组)求解待定的系数． 当堂检测 1．已知 A(1,3)，B(2,1)，则 BA 的坐标是( ) A．(－1,2) B．(2，－1) C．(1，－2) D．(－2,1)
2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=() A.(-2,-1)B.(-2,1) D.(-1,2) 3.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c=( a+-b B. 4.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=A1B+A2b,则A1+A2 5.已知平行四边形OABC,其中O为坐标原点,若A(2,1),B(1,3),则点C的坐标为 盘点收 提示:用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和 基本技能的要领部分写下来并进行识记 谷案 课前预习导学 【预习导引】 1.两个互相垂直 预习交流1提示:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0) 3.(x+x2,y+y)(x一题,一y)相应坐标的和(差)(Ax,Ay)相应坐标(x 终点起点 预习交流2提示:与x轴平行的向量的纵坐标为0,即a=(x,0);与y轴平行的向量 的横坐标为0,即b=(0,y) 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究1思路分析:可先求出AB,利用向量加法的法则,求出向量OP,OO 进而得到P,Q,M点的坐标 解:∵AB=OB-OA=(1,3)一(-2,1)=(3,2) OM=(O4+OB=[(-2,1)+(1,3)] OP=OA+AP=O4+AB=(-2,1)+(3,2) 00=0+4=O+54B=(-2,1+332=(0、y 迁移与应用1.C解析:设|OC|=r(1>0)且点C的坐标为(x,y),则由∠AOC= 2
2 2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量1 2 a－ 3 2 b＝( ) A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) 3．若向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则 c＝( ) A．－ 1 2 a＋ 3 2 b B． 1 2 a－ 3 2 b C． 3 2 a－ 1 2 b D．－ 3 2 a＋ 1 2 b 4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2＝__________． 5．已知平行四边形 OABC，其中 O 为坐标原点，若 A(2,1)，B(1,3)，则点 C 的坐标为 __________． 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和 基本技能的要领部分写下来并进行识记． 答案： 课前预习导学 【预习导引】 1．两个互相垂直 2．(x，y) (x，y) 预习交流 1 提示：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) 相应坐标的和(差) (λx，λy) 相应坐标 (x2 －x1，y2－y1) 终点 起点 预习交流 2 提示：与 x 轴平行的向量的纵坐标为 0，即 a＝(x,0)；与 y 轴平行的向量 的横坐标为 0，即 b＝(0，y)． 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究 1 思路分析：可先求出 AB ，利用向量加法的法则，求出向量 OP ，OQ ， 进而得到 P，Q，M 点的坐标． 解：∵ AB ＝OB －OA＝(1,3)－(－2,1)＝(3,2)， ∴ OM ＝ 1 2 ( OA ＋ OB ＝ 1 2 [(－2,1)＋(1,3)]＝ － 1 2 ，2 ， OP ＝OA ＋ AP ＝OA ＋ 1 3 AB ＝(－2,1)＋ 1 3 (3,2)＝ － 1， 5 3 ， OQ ＝OA ＋ AQ ＝OA ＋ 2 3 AB ＝(－2,1)＋ 2 3 (3,2)＝ 0， 7 3 ． ∴M － 1 2 ，2 ，P － 1， 5 3 ，Q 0， 7 3 ． 迁移与应用 1．C 解析：设| OC |＝r(r＞0)且点 C 的坐标为(x，y)，则由∠AOC＝ 120°
3 得x=ros120° ,y=rsin120° 即点的坐标(y小 又:OC-2O4+AOB 3 2(1,0)+4(1,√)=(-2+1,√) 2+λ, 解得!=2 2 2.A解析:MN=-3a=-3(1,-2)=(-3,6), 设M(x,y),MN=(x-5,y+6)=(-3,6) X=2 故选A 活动与探究2思路分析:由点A,B,C的坐标,求出AB,BC,AC的坐标,再利 用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算求解 解:由A(2,-4),B(0,6),C(-8,10) 得AB=(-2,10),BC=(-8,4),AC=(-10,14) AB+2 BC 4C=(-210+2(-84-2(-10142=(-210)+(-168 (-5,7)=(-13,11) 迁移与应用1.A解析:3a+b=(-6,9)+(1,5)=(-5,14) 2.C解析:∵AC=AB+AD,∴AD=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1) 活动与探究3思路分析:设AD+BD+CD=mAB+nAC,由坐标运算求待定的 解:∵AB=(1,3),AC=(2,4),AD=(-3,5),BD=(-4,2),CD=(-5,1), AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8) 根据平面向量基本定理,一定存在实数m,n,使得AD+BD+CD=mAB+nAC (-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n) 可得m+2 解得 3m+4n=8 n=-22 AD+ BD+CD=32 AB-22 AC 迁移与应用解:设a=Ab+uc(,∈R),则(10,-4)=A(3,1)+(-2,3) (34,A)+(-2,3u)=(34-2μ,A+3) 依题意,得 解得 所以a=2b-2c 1.A解析:∵一个向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标 BA=(1,3)-(2,1)=(-1,2),故选A. D解析: (1,1)-=(1,-1)
3 得 x＝rcos 120°＝－ 1 2 r，y＝rsin 120°＝ 3 2 r． 即点 C 的坐标为 － 1 2 r， 3 2 r ． 又∵ OC －2 OA ＋λ OB ， ∴ － 1 2 r， 3 2 r ＝－2(1,0)＋λ(1， 3)＝(－2＋λ， 3λ)． ∴ 1 2 , 2 3 3 , 2 r r − = − + = 解得 2, 1. r = = 2．A 解析： MN ＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 设 N(x，y)， MN ＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)． ∴ 5 3, 6 0, x y − = − + = 即 2, 0, x y = = 故选 A． 活动与探究 2 思路分析：由点 A，B，C 的坐标，求出 AB ， BC ， AC 的坐标，再利 用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算求解． 解：由 A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)， 得 AB ＝(－2,10)， BC ＝(－8,4)， AC ＝(－10,14)， ∴ AB ＋2 BC － 1 2 AC ＝(－2,10)＋2(－8,4)－ 1 2 (－10,14)＝(－2,10)＋(－16,8)－ (－5,7)＝(－13,11)． 迁移与应用 1．A 解析：3a＋b＝(－6,9)＋(1,5)＝(－5,14)． 2．C 解析：∵ AC ＝ AB ＋ AD ，∴ AD ＝ AC － AB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 活动与探究 3 思路分析：设 AD ＋ BD ＋ CD＝m AB ＋n AC ，由坐标运算求待定的 m，n． 解：∵ AB ＝(1,3)， AC ＝(2,4)， AD ＝(－3,5)，BD ＝(－4,2)，CD＝(－5,1)， ∴ AD ＋ BD ＋ CD＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)． 根据平面向量基本定理，一定存在实数 m，n，使得 AD ＋ BD ＋ CD＝m AB ＋n AC ， ∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)． 可得 2 12, 3 4 8, m n m n + = − + = 解得 32, 22. m n = = − ∴ AD ＋ BD ＋ CD＝32 AB －22 AC ． 迁移与应用 解：设 a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，则(10，－4)＝λ(3,1)＋μ(－2,3)＝ (3λ，λ)＋(－2μ，3μ)＝(3λ－2μ，λ＋3μ)． 依题意，得 3 2 10, 3 4, − = + = − 解得 2, 2, = = − 所以 a＝2b－2c． 【当堂检测】 1．A 解析：∵一个向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标， ∴ BA ＝(1,3)－(2,1)＝(－1,2)，故选 A． 2．D 解析：1 2 a－ 3 2 b＝ 1 2 (1,1)－ 3 2 (1，－1)
(-1,2) 故选D. 3.B解析:由题意,设C=a+ (-1,2)=x(1,1)+y(1,-1)=(x+y,x-y) I=xt y, x ∴c=a-b 2=x-y 4.1解析:由c=Aa+A2b,得(3,4)=A1(1,2)+A2(2,3) 解得A1=-1,A2=2 2A+32=4 ∴A1+A2=1 5.(-1,2)解析:设C的坐标为(x,y),则由已知得OC=AB
4 ＝ 1 2 ， 1 2 － 3 2 ，－ 3 2 ＝(－1,2)． 故选 D． 3．B 解析：由题意，设 c＝xa＋yb， ∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)． ∴ 1 , 2 . x y x y − = + = − ∴ 1 2 3 . 2 x y = = − ∴c＝ 1 2 a－ 3 2 b． 4．1 解析：由 c＝λ1a＋λ2b，得(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)． ∴ 1 2 1 2 2 3, 2 3 4, + = + = 解得 λ1＝－1，λ2＝2， ∴λ1＋λ2＝1． 5．(－1,2) 解析：设 C 的坐标为(x，y)，则由已知得 OC ＝ AB ， ∴(x，y)＝(－1,2)．