2.3平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1、若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于() 3 B、 2、已知,A(2,3),B(-4,5),则与AB共线的单位向量是() 3y10√10 310√103√10√10 )或 1010 1010 (-6,2)或(6,2) 知a=(12),b=(-3,2)ka+b与a-3b垂直时k值为 A、17 4、已知向量OP=(2,1),OA=(1,7,OB=(5,1),设X是直线OP上的一点(O为 坐标原点,那么XA·XB的最小值是 B、8 5、若向量m=(1,2),n=(-2,1)分别是直线ax+(b-ay-a=0和ax+4by+b=0的方向向量, 则a,b的值分别可以是 2,1 6、若向量a=(cosa,sinB),b=cosa,sinβ),则a与b一定满足 A、a与b的夹角等于a-BB、(a+b)⊥(a-b) C、a∥b
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1、若向量 a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A、 2 1 − a + 2 3 b B、 2 1 a 2 3 − b C、 2 3 a 2 1 − b D、 2 3 − a + 2 1 b 2、已知，A（2，3），B（－4，5），则与 AB 共线的单位向量是 （ ） A、 ) 10 10 , 10 3 10 e = (− B、 ) 10 10 , 10 3 10 ) ( 10 10 , 10 3 10 e = (− 或 − C、 e = (−6,2) D、e = (−6,2)或(6,2) 3、已知 a = (1,2),b = (−3,2), ka + b与a −3b 垂直时 k 值为 （ ） A、17 B、18 C、19 D、20 4、已知向量 OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设 X 是直线 OP 上的一点(O 为 坐标原点)，那么 XA XB 的最小值是 ( ) A、-16 B、-8 C、0 D、4 5、若向量 m = (1, 2),n = (−2, 1) 分别是直线 ax+(b－a)y－a=0 和 ax+4by+b=0 的方向向量， 则 a, b 的值分别可以是 （ ） A、 －1 ，2 B、 －2 ，1 C、 1 ，2 D、 2，1 6 、若向量 a=(cos ,sin ) ， b=(cos ,sin ) ， 则 a 与 b 一定满足 （ ） A、a 与 b 的夹角等于 － B、(a＋b)⊥(a－b) C、a∥b D、a⊥b
7、设,分别是x轴,y轴正方向上的单位向量,OP=3cos团+3sm ∈(0,x)OO=1。若用来表示OF与OO的夹角,则等于() A、0B、“+bC、 6D、丌-b 8、设0≤0<2x,已知两个向量OP=(cose,sine),OP2=(2+snO,2-cosO), 则向量PP长度的最大值是() 二、填空题 9、已知点A(2,0),B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x运动,则使AP·BP取得最小值 的点P的坐标是 10、把函数y=√3cosx-six的图象,按向量a=(-mn)(m0)平移后所得的图 象关于y轴对称,则m的最小正值为 11、已知向量OA=(-12OB=(3,m,若OA⊥AB,则m 三、解答题 12、求点A(-3,5)关于点P(-1,2)的对称点A
7 、 设 i j , 分别是 x 轴 ， y 轴 正 方向 上 的 单位 向 量， OP i j = 3cos + 3sin ， OQ i ), = − 2 (0, 。若用 来表示 OP 与 OQ 的夹角，则 等于 （ ） A、 B、 + 2 C、 − 2 D、 − 8、设 0 2 ，已知两个向量 (cos ,sin ) OP1 = ， (2 sin , 2 cos ) OP2 = + − ， 则向量 P1P2 长度的最大值是（ ） A、 2 B、 3 C、3 2 D、 二、填空题 9、已知点 A(2，0)，B(4，0)，动点 P 在抛物线 y 2＝－4x 运动，则使 AP BP 取得最小值 的点 P 的坐标是 、 10、把函数 y x x = − 3 cos sin 的图象，按向量 a m n = −( , ) （m>0）平移后所得的图 象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值为__________________、 11、已知向量 OA = (−1,2),OB = (3,m),若OA ⊥ AB,则m = 、 三、解答题 12、求点 A（－3，5）关于点 P（－1，2）的对称点 / A
13、平面直角坐标系有点P(,cosx),Q=(cosx)x∈ (1)求向量OP和OQ的夹角O的余弦用x表示的函数f(x) (2)求的最值、 14、设OA=(2snx,cos2x),OB=(-cosx,1)其中x∈[0,]、 (1)求f(x)=OAOB的最大值和最小值 (2)当OA⊥OB,求AB 15、已知定点A(0,1)、B(0,-1)、C(1,0),动点P满 AP. BP=k PcI (1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的图形: (2)当k=2时,求AP+BP|的最大值和最小值
13、平面直角坐标系有点 ]. 4 , 4 (1,cos ), (cos ,1), [ P x Q = x x − （1）求向量 OP和OQ 的夹角 的余弦用 x 表示的函数 f (x) ； （2）求 的最值、 14、设 OA = (2sin x,cos2x)，OB = (−cos x，1)， 其中 x∈[0， 2 ]、 (1)求 f(x)= OA·OB 的最大值和最小值； (2)当 OA ⊥ OB ，求| AB |、 15、已知定点 A(0,1) 、 B(0,−1) 、C(1,0) ，动点 P 满足： 2 | | ⎯→ ⎯→ ⎯→ AP BP = k PC 、 （1）求动点 P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形； （2）当 k = 2 时，求 | | ⎯→ ⎯→ AP+ BP 的最大值和最小值
参考答案 、选择题 l、B:2、B:3、C:4、B:5、D:6、B:7、D:8、C 二、填空题 9、(0,0) 10、m= l1、4 三、解答题 12、解:设A(x,y),则有 ,解得 所以A(1,-1)。 y 2 解 OPOQ=2 x, JOP 1 OQF=1+cos2x, cos0 2 cosx =f(x)(2) IOP 11001 1+ cos" x cos0=f(x= 且x∈[ 丌丌 1+cos-x 44 ],∴cosx∈[,l cosx十 2≤cosx+ 22≤f(x)1.即22≤s51O arccos COSx 2 b.=0 14、解:O)fx)=OAOB=2 sinxcosy+eos2x=√2cos(2x+z)、 当2x+4=4,即x=0时,fxm=1 当2x+2=x,即x=2π时,f(x)m=√2 (2O⊥OB即tx)=0,2x+x=z,∴x=z 此时|AB|=√(2snx+cosx)2+(cos2x-1
参考答案 一、选择题 1、B；2、B；3、C；4、B；5、D；6、B；7、D；8、C 二、填空题 9、(0，0) 10、 5 6 m = 11、4 三、解答题 12、解：设 / A （ｘ，ｙ），则有 3 1 2 5 2 2 x y − + = − + = ，解得 1 1 x y = = − 、所以 / A （1，－1）。 13 、 解 ： （ 1 ） ( ) 1 cos 2cos | | | | 2cos ,| || | 1 cos ,cos 2 2 f x x x OP OQ OP OQ OP OQ x OP OQ x = + = = = + = （ 2 ） x x x x f x cos 1 cos 2 1 cos 2cos cos ( ) 2 + = + = = 且 ] 4 , 4 [ x − ， ,1] 2 2 cos x [ 2 3 2 cos 1 2 cos + x x cos 1 3 2 2 ( ) 1, 3 2 2 f x 即 ; 3 2 2 arccos max = min = 0 14、解：⑴f(x)= OA·OB = -2sinxcosx+cos2x= ) 4 2 cos(2 x + 、 ∵0≤x≤ 2 ， ∴ 4 ≤2x+ 4 ≤ 4 5 、 ∴当 2x+ 4 = 4 ，即 x=0 时，f(x)max=1； 当 2x+ 4 =π，即 x= 8 3 π 时，f(x)min= - 2 、 ⑵ OA ⊥ OB 即 f(x)=0，2x+ 4 = 2 ，∴x= 8 、 此时| AB | 2 2 = (2sin x + cos x) + (cos 2x −1)
4sin2x+cos2x+4sin x cosx+(cos 2x-1) cos 2x+2sin 2x+ cos 2x -cos +2sin t cOS 15、解:(1)设动点P的坐标为(x,y), 则AF=(x,y-1),B=(x,y+1),PC=(1-x,y)、 AP.BP=k|PC12,: x2+y2-1=klo 即(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0 若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线 若k≠1,则方程为(x+4 )2,表示以(,,0)为圆心,以为半径 1-k -k的圆、 方程化为(x-2)2+y2 4P+BP=(x,y-1)+(x,y+1)=(2x,2y) AP+BP=2√x2 1,∴令x=2+cos日,y=snb,则 1 AP+ BPF2x2+y2=2v/5+4cos 0 ∴当cosb=1时,|AP+BP|的最大值为6,当cosb=-1时,最小值为2
= 2 2 2 4sin x + cos x + 4sin x cos x + (cos 2x −1) = cos2x 2sin 2x cos 2x 2 7 2 7 2 − + + = 4 cos 4 2sin 4 cos 2 7 2 7 2 − + + = 16 3 2 2 1 − 、 15、解：( 1 ) 设动点 P 的坐标为 ( x , y )， 则 = ( , −1) ⎯→ AP x y ， = ( , +1) ⎯→ BP x y ， PC = (1− x, y ) ⎯→ 、 ∵ 2 | | ⎯→ ⎯→ ⎯→ AP BP = k PC ，∴ 2 2 2 2 x + y −1 = k (x −1) + y ， 即 (1 ) (1 ) 2 1 0 2 2 − k x + − k y + kx− k − = 。 若 k =1 ，则方程为 x =1 ，表示过点 (1,0) 且平行于 y 轴的直线、 若 k 1 ，则方程为 2 2 2 ) 1 1 ) ( 1 ( k y k k x − + = − + ，表示以 ,0) 1 ( k k − 为圆心，以为半径 |1 | 1 − k 的圆、 ( 2 ) 当 k = 2 时，方程化为 ( 2) 1 2 2 x − + y = 、 AP+ BP = ( x, y −1) + ( x, y +1) = (2x,2y ) ⎯→ ⎯→ ∴ 2 2 | AP+ BP |= 2 x + y ⎯→ ⎯→ 、 又∵ ( 2) 1 2 2 x − + y = ，∴ 令 x = 2 + cos , y = sin ，则 | | 2 2 5 4cos 2 2 + = + = + ⎯→ ⎯→ AP BP x y ∴当 cos =1 时， | | ⎯→ ⎯→ AP+ BP 的最大值为 6 ，当 cos = −1 时，最小值为 2