2.2平面向量的线性运算 选择题 1.(2010·四川)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,BC2=16, AB+ ACHAB-AC则AM|=0 8B.4 C.2D. 【答案】C 【解析】由AB+AC闩AB-AC|可知,AB⊥AC,则M为Rt△ABC斜边BC上的中 线,因此,|AMF|BCF2,故选C. 2.已知△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,CD=PAB+SAC,则r+s的值是0 B. C.-3D.0 【答案】D 【解析】∵CD=2DB∴CD=CB=5(AB-AC) CD=2AB-2又CD=rAB+54C 2 ∴r=,S=-,∴,r+s=0.故选D. 3.平面向量a,b共线的充要条件是0 A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为0 C.存在λ∈R,使b=Aa D.存在不全为零的实数1,λ2,使λa+λ2b=0 【答案】D 【解析】a,b共线时,a,b方向相同或相反,故A错.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故 B错.当b=a时,a,b一定共线,若b≠0,a=0.则b=λa不成立,故C错.排除A、B、C,故选 4.已知0、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2AC+CB=0,则OC等于( A. 20A-OB B -OA+20B C.-OA--OB D.--OA+-OB 【答案】A
1 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2.2 平面向量的线性运算 一､选择题 1.(2010•四川)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, 2 BC =16, | AB AC AB AC + = − | | |, 则| AM |=() A.8 B.4 C.2 D.1 【答案】C 【解析】由 | | | | AB AC AB AC + = − 可知, AB ⊥ AC, 则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中 线,因此,| 1 | | | 2, 2 AM BC = = 故选 C. 2.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD DB CD r AB s AC = = + 2 , , 则 r+s 的值是() 2 4 . . 3 3 A B C.-3 D.0 【答案】D 【解析】∵ CD DB = 2 ∴ 2 2 ( ) 3 3 CD CB AB AC = = − ∴ 2 2 , 3 3 CD AB AC = − 又 CD r AB s AC = + , ∴r= 2 2 , 3 3 s = − ,∴r+s=0.故选 D. 3.平面向量 a,b 共线的充要条件是() A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为 0 C.存在 λ∈R,使 b=λa D.存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b=0 【答案】D 【解析】a,b 共线时,a,b 方向相同或相反,故 A 错.a,b 共线时,a,b 不一定是零向量,故 B 错.当 b=λa 时,a,b 一定共线,若 b≠0,a=0.则 b=λa 不成立,故 C 错.排除 A、B、C,故选 D. 4.已知 O､A､B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 0, AC CB + = 则 OC 等于( ) .2 . 2 2 1 1 2 . . 3 3 3 3 A OA OB B OA OB C OA OB D OA OB − − + − − + 【答案】A
【解析】OC=OB+BC=OB+2AC=OB+2(OC-OA),OC=2OA-OB,故选 5.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB 则AD+BE+CF与BCO A.反向平行B.同向平行 C.不平行 D.无法判断 【答案】A AD= AB+BD=AB+-BC Be= bC +Ce= BC +-Ca 【解析】 CFECA+AF=CA+-AB AD+BE+CF=-AB+-CA+-BC 故选A. -(AB+CA)+-BC=-CB+-BC=--BC 6.已知a,b是不共线的向量,AB=a+b,AC=a+μb,(λ,μ∈R),那么A、B、C三点共线 的充要条件为0 A.+μ=2 B A-H C.Aμ=-1 D.λμ=1 【答案】D 【解析】对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证由A、B、 C三点共线AB∥ AChcAB=mACa+b=ma+mub(A-m)a=(mu-1)b 因为a,b不共线 =m 所以必有 故可得Au=1 反之若A1=1,则=1所以AC=a+1b=1(Xa+b)=1 ABaab∥AC,所以 A、B、C三点共线.故选D. 二、填空题 7.若点0是△ABC所在平面内的一点,且满足|OB- OCHOB+OC-2O4|,则△ABC的形 状为 【答案】直角三角形 【解析)OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC,OB-OC =CB= AB-AC
2 【解析】 OC OB BC OB AC OB OC OA = + = + = + − 2 2( ), ∴ OC OA OB = − 2 , 故选 A. 5.设 D､E､F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且 DC BD CE EA AF FB = = = 2 , 2 , 2 , 则 AD BE CF + + 与 BC() A.反向平行 B.同向平行 C.不平行 D.无法判断 【答案】 A 【解析】 1 2 , , 3 3 2 , 3 AD AB BD AB BC BE BC CE BC CA CF CA AF CA AB = + = + = + = + = + = + ∴ 5 5 4 3 3 3 5 4 5 4 1 ( ) . 3 3 3 3 3 AD BE CF AB CA BC AB CA BC CB BC BC + + = + + = + + = + = − 故选 A. 6.已知 a,b 是不共线的向量, AB =λa+b, AC =a+μb,(λ,μ∈R),那么 A、B、C 三点共线 的充要条件为() A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 【答案】D 【解析】对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由 A、B、 C 三点共线 AB ∥ AC AB mAC = λa+b=ma+mμb (λ-m)a=(mμ-1)b. 因为 a,b 不共线, 所以必有 , 1 0 m m = − = 故可得 λμ=1. 反之,若 λμ=1,则 μ= 1 . 所以 1 1 AC a b = + = (λa+b)= 1 AB AB , ∥ AC, 所以 A、B、C 三点共线.故选 D. 二､填空题 7.若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足 | | | 2 | OB OC OB OC OA − = + − ,则△ABC 的形 状为________. 【答案】直角三角形 【解析】 2 , , OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OC CB AB AC + − = − + − = + − = = −
∷|AB+ ACHAB-ACL故A、B、C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形 8.在平行四边形ABCD中,E、F分别是边CD和BC的中点,若AC=AAE+uAF其中A,u∈R, 则A+u= 【答案】 【解析】设BC=b,BA=a,则AF=b-a,AE=b--a,AC=b-a,代入条件得 A=u=-,∴A+u= 9.如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹 角为30°,且OA|=1OB|=,OC|=23,若OC=OA+μOB(x,u∈R),则 A+μ的值为 B 【答案】6 【解析】过C作OA与OB的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由 ∠BO=90°,∠A0=30°,OC=2√3,得平行四边形的边长为2和4故X+u=2+4=6 10.如图,在△ABC中,点0是BC的中点,过点0的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N 若AB=mAM,AC=nAN,则m+n的值为 C M 【答案】 【解析】由于MN的任意性可用特殊位置法:当M与BC重合时知m=1,n=1,故m+n=2. 三、解答题
3 ∴ | | | |, AB AC AB AC + = − 故 A､B､C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 8.在平行四边形 ABCD 中,E､F 分别是边 CD和 BC 的中点,若 AC =λ AE +u AF, 其中 λ,u∈R, 则 λ+u=________. 【答案】 4 3 【解析】设 BC b BA a = = , , 则 1 1 , , 2 2 AF b a AE b a AC = − = − =b-a,代入条件得 λ=u= 2 3 ,∴λ+u= 4 3 . 9.如图,平面内有三个向量 OA､OB ､OC, 其中 OA 与 OB 的夹角为 120°, OA 与 OC 的夹 角为 30°,且| OA |=| OB |=1,| OC |= 2 3 ,若 OC =λ OA+ μ OB (λ,μ∈R),则 λ+μ 的值为________. 【答案】6 【解析】过 C 作 OA 与 OB 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由 ∠BOC=90°,∠AOC=30°,| OC | 2 3 = ,得平行四边形的边长为 2 和 4,故 λ+μ=2+4=6. 10.如图,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N, 若 AB mAM AC nAN = = , , 则 m+n 的值为________. 【答案】2 【解析】由于 MN 的任意性可用特殊位置法:当 MN 与 BC 重合时知 m=1,n=1,故 m+n=2. 三､解答题
11.若a,b是两个不共线的非零向量,t∈R,若a,b起点相同,t为何值时,a,tb, 3(a+b三向量的终点在一条直线上? 【答案】t 【解析】设a-tb=m[a-(a+b],m∈R,化简得m-1 m-1=0 ∴a与b不共线 3-21-2 ∴t=-时,a,tb,=(a+b)的终点在一条直线上 12.设a、b是不共线的两个非零向量, (1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b,求证:A、B、C三点共线 (2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值 【解析】(1)证明:AB=(3a+b)-(2a-b)=a+2b 而BC=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=2AB ∴AB与BC共线,且有公共端点B ∴A、B、C三点共线 (2)∵8a+kb与ka+2b共线 存在实数X使得8a+kb=(ka+2b)(8-Ak)a+(k-2x)b=0, ∵a与b是不共线的两个非零向量 8-Ak=0 8=2A2→A=±2, k-2A=0 ∴k=2A=±4
4 11．若 a，b 是两个不共线的非零向量，t∈R，若 a，b 起点相同，t 为何值时，a，tb， 1 3 (a＋b)三向量的终点在一条直线上？ 【答案】t＝ 1 2 【解析】设 a－tb＝m[a－ 1 3 (a＋b)]，m∈R， 化简得 2 3 m－1 a＝ m 3 －t b， ∵a 与 b 不共线， ∴ 2 3 m－1＝0 m 3 －t＝0 ⇒ m＝ 3 2 ， t＝ 1 2 . ∴t＝ 1 2 时，a，tb， 1 3 (a＋b)的终点在一条直线上． 12.设 a、b 是不共线的两个非零向量, (1)若 OA a b OB a b OC = − = + 2 , 3 , =a-3b,求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值. 【解析】(1)证明:∵ AB = (3a+b)-(2a-b)=a+2b. 而 BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 AB, ∴ AB 与 BC 共线,且有公共端点 B, ∴A、B、C 三点共线. (2)∵8a+kb 与 ka+2b 共线, 存在实数 λ 使得 8a+kb=λ(ka+2b) (8-λk)a+(k-2λ)b=0, ∵a 与 b 是不共线的两个非零向量, ∴ 8－λk＝0， k－2λ＝0， ⇒8＝2λ2⇒λ＝±2， ∴k＝2λ＝±4