高中数学高考总复习平面向量基本定理及坐标表 示习题及详解 、选择题 1.(2010·安徽)设向量a=(1,0),b=(,),则下列结论中正确的是 A.a= bl b. a b C.a-b与b垂直 D.a∥b [答案]C [解析]圍a=1,b=,故A错;ab=,故B错;(a-b)b=(, 一)(,) 0,故C正确;∵≠,故D错. 2.已知平面向量a=(1,-1),b=(-1,2),c=(3,-5),则用a,b 表示向量c为( A. 2a-b B. -a+2b C. a-2b D. a+2b [答案]C [解析]设c=xa+yb,∴(3,-5)=( +2y) ∴,解之得 ∴c=a-2b,故选C. 3.(文)(2010·胶州三中)已知平面向量a=(1,-3),b=(4, λa+b与b垂直,则λ等于() A B.1 C.-2 D.2 [答案]C 解析]λa+b=(4+4,-3-2),∵λa+b与b垂直,∴(λ+4, 3-2)(4,-2)=4(+4)-2(-3-2)=10+20=0,∴=-2 (理)(2010·北京延庆县模考)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+ 4b与a-2b共线,则m的值为() B.2
高中数学高考总复习平面向量基本定理及坐标表 示习题及详解 一、选择题 1．(2010·安徽)设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是 ( ) A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a－b与b垂直 D．a∥b [答案] C [解析] |a|＝1，|b|＝，故A错；a·b＝，故B错；(a－b)·b＝(， －)·(，)＝－＝0，故C正确；∵≠，故D错． 2．已知平面向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，c＝(3，－5)，则用a，b 表示向量c为( ) A．2a－b B．－a＋2b C．a－2b D．a＋2b [答案] C [解析] 设c＝xa＋yb，∴(3，－5)＝(x－y，－x＋2y)， ∴，解之得， ∴c＝a－2b，故选C. 3．(文)(2010·胶州三中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)， λa＋b与b垂直，则λ等于( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 [答案] C [解析] λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与b垂直，∴(λ＋4，－ 3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2. (理)(2010·北京延庆县模考)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋ 4b与a－2b共线，则m的值为( ) A. B．2
D [答案]D [解析]ma+4b=(2m-4,3m+8) a-2b=(4,-1), ma+4b与a-2b共线 ∴ 2 4.(2010·河北省正定中学模拟)已知向量a=(2cosb,2sinO),b= (0,-2),θ∈,则向量a,b的夹角为() A.-6 B. 0- C+0 d. 0 [答案] [解析]解法一:由三角函数定义知a的起点在原点时,终点落在 圆x2+y2=4位于第二象限的部分上 (∴<<π),设其终点为P,则∠xOP=6, ∴a与b的夹角为- 解法二:cos〈a,b)〉 sina=cos, ∵6∈,∴-0∈, 又(a,b〉∈(0,π),∴(a,b) e
C．－ D．－2 [答案] D [解析] ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)， a－2b＝(4，－1)， ∵ma＋4b与a－2b共线， ∴＝，∴m＝－2. 4．(2010·河北省正定中学模拟)已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝ (0，－2)，θ∈，则向量a，b的夹角为( ) A.－θ B．θ－ C.＋θ D．θ [答案] A [解析] 解法一：由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在 圆x 2＋y 2＝4位于第二象限的部分上 (∵<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ， ∴a与b的夹角为－θ. 解法二：cos〈a，b〉＝＝ ＝－sinθ＝cos， ∵θ∈，∴－θ∈， 又〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝－θ
y2 0 2 x b 2 5.(文)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足 (a-c)(b-c)=0,则c的最大值是() A.1 B.2 C [答案]C [解析]由(a-c)(b-c)=0得ab-(a+b)c+c2=0,即c2=(a 十b)c,故cc≤a+blc
5．(文)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足 (a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( ) A．1 B．2 C. D. [答案] C [解析] 由(a－c)(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b)c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|
即c≤a+b=,故选C (理)已知O为原点,点A、B的坐标分别为A(a,0)、B(0,a),其中常 数a>0,点P在线段AB上,且有=10≤≤1),则的最大值为() b. 2a C.3 D [答案]D 解析]∵ ∴=+=+( (1-1)+t=( (1-1) 0<K1,∴<a2 6.在平行四边形ABCD中,=,=,CE与BF相交于G点.若=a, b,则 Aa+b B a+b Ca+b D.+b [答案]C 解析]∵B、G、F三点共线, ∴=λ+(1-4)=b+(1-1)a ∵E、G、C三点共线, ∴=+(1-4)=+(1-)(a+b 由平面向量基本定理得, ∴,∴=a+b 7.(文)(2010·深圳模拟)如图,在△O4B中,P为线段AB上的一点, x+y,且=2,则()
即|c|≤|a＋b|＝，故选C. (理)已知O为原点，点A、B的坐标分别为A(a,0)、B(0，a)，其中常 数a>0，点P在线段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为( ) A．a B．2a C．3a D．a 2 [答案] D [解析] ∵＝t， ∴＝＋＝＋t(－) ＝(1－t)＋t＝(a－at，at) ∴·＝a 2 (1－t)， ∵0≤t≤1，∴·≤a 2 . 6．在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF相交于G点．若＝a， ＝b，则＝( ) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b [答案] C [解析] ∵B、G、F三点共线， ∴＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a. ∵E、G、C三点共线， ∴＝μ＋(1－μ)＝μa＋(1－μ)(a＋b)． 由平面向量基本定理得，， ∴，∴＝a＋b. 7．(文)(2010·深圳模拟)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点， ＝x＋y，且＝2，则( )
B P O Ax=,y= B C D. x [答案]A [解析]由题可知=十,又=2,所以=十=+(-)=+,所以x 故选A (理)已知4(7,1),B(1,4),直线y=ax与线段4B交于C,且=2,则实 数a等于() A.2 B.1 [答案]A [解析]设C(x0,y),则y=ax, xo 4ax ∵=2, 8.已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且+|=|-|,其
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ [答案] A [解析] 由题可知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x ＝，y＝，故选A. (理)已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实 数a等于( ) A．2 B．1 C. D. [答案] A [解析] 设C(x0，y0 )，则y0＝ax0， ∴＝(x0－7，ax0－1)，＝(1－x0,4－ax0 )， ∵＝2，∴， ∴. 8．已知直线x＋y＝a与圆x 2＋y 2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其
中O为坐标原点,则实数a的值为() y64 A B A.2 B C.2或-2 D或 [答案]C 解析]以OA、OB为边作平行四边形OACB,则由+|=|-得,平 行四边形OACB为矩形,⊥由图形易知直线y=-x+a在y轴上的截距为 ±2,所以选C 9.(2010河南许昌调研)在平面直角坐标系中,O为原点,设向量 =a,=b,其中a=(3,1),b=(1,3).若=A+b,且0≤≤1,C点的所 有可能位置区域用阴影表示正确的是()
中O为坐标原点，则实数a的值为( ) A．2 B．－2 C．2或－2 D.或－ [答案] C [解析] 以OA、OB为边作平行四边形OACB，则由|＋|＝|－|得，平 行四边形OACB为矩形，⊥.由图形易知直线y＝－x＋a在y轴上的截距为 ±2，所以选C. 9．(2010·河南许昌调研)在平面直角坐标系中，O为原点，设向量 ＝a，＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，C点的所 有可能位置区域用阴影表示正确的是( )
B x A B y y B A A C D [答案]A 「解析]=Aa+b=(32+u,4+3a), 令 34+1)-(4+3u =2(-)0 ∴点C对应区域在直线y=x的上方,故选A 10.(理)(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a =(m,n),b=(,q).令a⊙b=mg-m,下面说法错误的是() A.若a与b共线,则a⊙b=0
[答案] A [解析] ＝λa＋μb＝(3λ＋μ，λ＋3μ)， 令＝(x，y)，则x－y＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0， ∴点C对应区域在直线y＝x的上方，故选A. 10.(理)(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m，n)，b＝(p，q)．令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是( ) A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B.a⊙b=b⊙a C.对任意的∈R,有(a)⊙b=(a⊙b) D.(a⊙b)2+(ab)2=a2b [答案]B 解析]若a,b共线,则mg=m,即a⊙b=0,∵a⊙b=mq-mp, ∴b⊙a=pn-mq,故B错误;∵Aa=(m,Mn),∴(a)⊙b=mq-wp, 又(a⊙b)=mg-m,∴C正确;又(a⊙b)2+(ab)2=(mq-mp)2+(mp mq)2=m2(p2+q2)+m(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=a2b2,∴D正确, 故选B. [点评]本题是找错误选项,而B是指运算⊙满足交换律,显然mq np+Dn-qm,故选B,其它选项可不必讨论 、填空题 11.(2010·北京市顺义一中月考)设向量a=(1,x-1),b=(x+ 1,3),则“x=2是“a∥b”的 条件. [答案]充分不必要 解析]∵x=2时,a=(1,1),b=(3,3),b=3a,∴a∥b;而当a∥b 时,1×3=(x+1)x-1),∴x2=4,∴x=±2,即当x=-2时,也 有a∥b,故x=2是a∥b的充分不必要条件 12.(文)已知e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=2e1-5e2 =e1-e2,若三点A、B、D共线,则λ [答案]8 解析]∵A、B、D共线,∴与共线, ∴存在实数u,使=μ, ∴=-=(-2)e1+4e2, ∴3e1+2e2=1(-2)e1+4e2, ∴,∴,故填8 (理)已知4(-2,3),B(3,-1),点P在线段AB上,且P|PB= 12,则P点坐标为 [答案]
B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b) 2＋(a·b) 2＝|a| 2 |b| 2 [答案] B [解析] 若a，b共线，则mq＝np，即a⊙b＝0，∵a⊙b＝mq－np， ∴b⊙a＝pn－mq，故B错误；∵λa＝(λm，λn)，∴(λa)⊙b＝λmq－λnp， 又λ(a⊙b)＝λmq－λnp，∴C正确；又(a⊙b) 2＋(a·b) 2＝(mq－np) 2＋(mp ＋nq) 2＝m2 (p 2＋q 2 )＋n 2 (p 2＋q 2 )＝(m2＋n 2 )(p 2＋q 2 )＝|a| 2 |b| 2，∴D正确， 故选B. [点评] 本题是找错误选项，而B是指运算⊙满足交换律，显然mq －np≠pn－qm，故选B，其它选项可不必讨论． 二、填空题 11．(2010·北京市顺义一中月考)设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋ 1,3)，则“x＝2”是“a∥b”的________条件． [答案] 充分不必要 [解析] ∵x＝2时，a＝(1,1)，b＝(3,3)，b＝3a，∴a∥b；而当a∥b 时，1×3＝(x＋1)(x－1)，∴x 2＝4，∴x＝±2，即当x＝－2时，也 有a∥b，故x＝2是a∥b的充分不必要条件． 12．(文)已知e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝2e1－5e2， ＝λe1－e2，若三点A、B、D共线，则λ＝________. [答案] 8 [解析] ∵A、B、D共线，∴与共线， ∴存在实数μ，使＝μ， ∵＝－＝(λ－2)e1＋4e2， ∴3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2， ∴，∴，故填8. (理)已知A(－2,3)，B(3，－1)，点P在线段AB上，且|AP| |PB|＝ 1 2，则P点坐标为________． [答案]
[解析]设P(x,y),则=(x+2,y-3),=(3-x,-1-y), ∵P在线段AB上,且P|PB=12 ∴(x+2,y-3)=, ∴,∴,即P 13.(2010·湖北八校联考)如图,在△ABC中,H为BC上异于B、C的 任一点,M为AH的中点,若=2+,则A+p [答案] [解析]M是AH的中点,所以==x+(1-x).又AM=2+ 所以2+=x+(1-x)= 14.已知a=(2,-3),b=(sina,cos2a),a∈,若a∥b,则 tand [答案] 解析]∵a∥b,∴=,∴2cos2a=-3sina, ∴2sin2a-3sina-2=0, ∴|sina≤1,∴sina ∵a∈,∴coSa=,∴tana 三、解答题 15.已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N是AB、AC的中 点,D是BC的中点,MN与AD交于点F,求 [解析]因为4(7,8),B(3,5)C(4,3) 所以=(-4,-3),AC=(-3,-5). 又因为D是BC的中点,有=(+)=(-3.5,-4),而M、N分别 为AB、AC的中点,所以F为AD的中点,故有==一=(175,2) [点评]注意向量表示的中点公式,M是A、B的中点,O是任一 点,则=(+) 16.已知O(0,0)、A(2,-1)、B(1,3)、=+t,求 (1)为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第四象限? (2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点,说明你的理
[解析] 设P(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(3－x，－1－y)， ∵P在线段AB上，且|AP| |PB|＝1 2， ∴＝， ∴(x＋2，y－3)＝， ∴，∴，即P. 13．(2010·湖北八校联考)如图，在△ABC中，H为BC上异于B、C的 任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________. [答案] [解析] M是AH的中点，所以＝＝x＋(1－x).又AM＝λ＋μ， 所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝. 14．已知a＝(2，－3)，b＝(sinα，cos2α)，α∈，若a∥b，则tanα＝ ________. [答案] － [解析] ∵a∥b，∴＝，∴2cos2α＝－3sinα， ∴2sin 2α－3sinα－2＝0， ∵|sinα|≤1，∴sinα＝－， ∵α∈，∴cosα＝，∴tanα＝－. 三、解答题 15．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中 点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求. [解析] 因为A(7,8)，B(3,5)C(4,3) 所以＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)． 又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝(－3.5，－4)，而M、N分别 为AB、AC的中点，所以F为AD的中点，故有＝＝－＝(1.75,2)． [点评] 注意向量表示的中点公式，M是A、B的中点，O是任一 点，则＝(＋)． 16．已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、＝＋t，求 (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？ (2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理
由 [解析](1)=+t=(+2,31-1). 若点P在x轴上,则31-1=0,∴t= 若点P在y轴上,则t+2=0,∴t=-2; 若点P在第四象限,则, 2<1< (2)=(2,-1), 1,-31+4) ∵四边形OABP为平行四边形,∴= ∴无解 ∴四边形OABP不可能为平行四边形 同理可知,当t=1时,四边形OAPB为平行四边形,当t=-1时,四 边形OPAB为平行四边形.综上知,当t=±1时,四点O、A、B、P能成 为平行四边形的四个顶点 17.(文)已知圆C:(x-3)2+(-3)2=4及定点A(1,1),M为圆C上任 意一点,点N在线段MA上,且=2,求动点N的轨迹方程 [解析]设Nx,y),Mxo,y),则由=2得(1-x0.1-yo)=2(x- ∴,即 代入(x-3)2+(y-3)2=4,得x2+y2 [点评]平面向量与解析几何结合是新的命题方向,解答此类问题 关键是利用向量共线或垂直的关系建立点的坐标之间的关系式,然后用 解析几何的方法解答.请再练习下题 已知⊙C:(x+2)2+(y-1)2=9及定点A(-1,1),M是⊙C上任意 点,点N在射线AM上,且AM=2MM,动点N的轨迹为C,求曲线C的 方程.解答如下: 设Nx,y),Mxo,y),∵N在射线AM上,且AM=2MN,∴=2 =(x0+1,y-1),=(x-xo,y-y), ∴或 ∴或
由． [解析] (1)＝＋t＝(t＋2,3t－1)． 若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝； 若点P在y轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2； 若点P在第四象限，则，∴－2<t<. (2)＝(2，－1)，＝(－t－1，－3t＋4)． ∵四边形OABP为平行四边形，∴＝. ∴无解． ∴ 四边形OABP不可能为平行四边形． 同理可知，当t＝1时，四边形OAPB为平行四边形，当t＝－1时，四 边形OPAB为平行四边形．综上知，当t＝±1时，四点O、A、B、P能成 为平行四边形的四个顶点． 17．(文)已知圆C：(x－3) 2＋(y－3) 2＝4及定点A(1,1)，M为圆C上任 意一点，点N在线段MA上，且＝2，求动点N的轨迹方程． [解析] 设N(x，y)，M(x0，y0 )，则由＝2得(1－x0,1－y0 )＝2(x－ 1，y－1)， ∴，即， 代入(x－3) 2＋(y－3) 2＝4，得x 2＋y 2＝1. [点评] 平面向量与解析几何结合是新的命题方向，解答此类问题 关键是利用向量共线或垂直的关系建立点的坐标之间的关系式，然后用 解析几何的方法解答．请再练习下题： 已知⊙C：(x＋2) 2＋(y－1) 2＝9及定点A(－1,1)，M是⊙C上任意一 点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，动点N的轨迹为C，求曲线C的 方程．解答如下： 设N(x，y)，M(x0，y0 )，∵N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，∴＝2 或＝－2， ＝(x0＋1，y0－1)，＝(x－x0，y－y0 )， ∴或， ∴或