第四章第二节平面向量基本定理及坐标表示 、选择题 1.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,那么a·b的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且AB=a,AD=b,则BE= a. b a B. b+ C. a+ 3.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+b)∥c则A=() B 4.已知向量a=(1,1-cos0),b=(1+c02,且a∥b,则锐角0等于() B.45 C.60 D.75 5.已知a,b是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+ub,μ∈R,那么A、B、C三点 共线的充要条件为() A.λ+u=2 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(V3b-c,cosC), n=(a,cosA),m∥n,则cosA的值等于() 3 √3 D 填空题 7.若三点A(2,2,B(a,0),CO,b)(ab≠0)共线,则+的值等于 8.在△ABC中,CA=a,CB=,M是(B的中点,N是AB的中点,且CN、M交于点P, 则AP (用a,b表示)
1 第四章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题 1．已知向量 a＝(1，k)，b＝(2,2)，且 a＋b 与 a 共线，那么 a·b 的值为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 边的中点，且 AB ＝a， AD ＝b，则 BE ＝ ( ) A．b－ 1 2 a B．b＋ 1 2 a C．a＋ 1 2 b D．a－ 1 2 b 3．已知向量 a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若 λ 为实数，(a＋λb)∥c 则 λ＝( ) A. 1 4 B. 1 2 C．1 D．2 4．已知向量 a＝(1,1－cos θ)，b＝(1＋cos θ， 1 2 )，且 a∥b，则锐角 θ 等于( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 5．已知 a，b 是不共线的向量， AB ＝λa＋b， AC ＝a＋μb，μ∈R，那么 A、B、C 三点 共线的充要条件为( ) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 6．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，m＝( 3b－c，cos C)， n＝(a，cos A )，m∥n，则 cos A 的值等于( ) A. 3 6 B. 3 4 C. 3 3 D. 3 2 二、填空题 7．若三点 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1 a ＋ 1 b 的值等于________． 8．在△ABC 中， CA＝a，CB ＝b，M 是 CB 的中点，N 是 AB 的中点，且 CN、AM 交于点 P， 则 AP ＝_______(用 a，b 表示)．
9.已知向量a 1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,则m 三、解答题 10.已知向量a=(1,2),b=(2,3),λ∈R,若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线, 1.已知P为△ABC内一点,且3AP+4BP+5CP=0.延长AP交BC于点D,若AB=a, AC=b,用a、b表示向量AP、AD 12.已知0为坐标原点,A(O,2),B(4,6),OM=tOA+t2AB (1)求点M在第二或第三象限的充要条件 (2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线 (3)若tl=a2,求当OM⊥AB且△ABM的面积为12时a的值 详解答案 、选择题 解析:依题意得a+b=(3,k+2).由a+b与a共线,得1×(k+2)-3×k=0,由此解 得k=1,a·b=2+2k=4 答案 解析:BE=B+1D+DE=4+b+2=b-2 答案:A 3.解析:可得a+b=(1+,2),由(a+入b)∥c得(1+)×4-3×2=0,∴=D
2 9．已知向量 a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则 m＝________. 三、解答题 10．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)，λ∈R，若向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线， 求 λ. 11．已知 P 为△ABC 内一点，且 3 AP ＋4 BP ＋5 CP ＝0.延长 AP 交 BC 于点 D，若 AB ＝a， AC ＝b，用 a、b 表示向量 AP 、 AD . 12．已知 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM ＝t1 OA ＋t2 AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当 t1＝1 时，不论 t2 为何实数，A、B、M 三点都共线； (3)若 t1＝a2，求当 OM ⊥ AB 且△ABM 的面积为 12 时 a 的值． 详解答案 一、选择题 1．解析：依题意得 a＋b＝(3，k＋2)．由 a＋b 与 a 共线，得 1×(k＋2)－3×k＝0，由此解 得 k＝1，a·b＝2＋2k＝4. 答案：D 2．解析： BE ＝ BA ＋ AD ＋ DE ＝－a＋b＋ 1 2 a＝b－ 1 2 a. 答案：A 3．解析：可得 a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c 得 (1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝ 1 2
答案:B 4.解析:∵;a/b,:(-c050)(+c050)=1 即sin20=2,又:0为锐角, √2 sin 答案:B 解析:∵AB=A AC=a+ub, 且A、B、C三点共线 ∴存在实数m,使AB=mAC,即 λa+b=m(a+μb) 答案:D 6.解析:m∥n→(√3b-c)cosA- -acos c=0,再由正弦定理得3 sin bosa= sin ccos a +cos Csin A=3sin Bcos A=sin(C+A)=sin B, Ep cos a= 答案 填空题 7.解析:AB=(a-2,-2) =(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,即 ab-2a-2b=0,所以- 答案: 8.解析:如图所示,AP=AC+CP=-CA+2CN二CA+3 1+CB,=-G1+1CB=-3C+1CB 答案 9.解析:由已知a+b=(1,m-1),c=(-1,2) 由(a+b)∥c得1×2-(m-1)×(-1)=m+1=0, 所以m=-1 答案:-1 、解答题 10.解:λa+b=(x+2,2x+3) 又向量λa+b与向量c=(-4,一7)共线 所以-7(X+2)-(-4)(2λ+3)=0,解得λ=2
3 答案：B 4．解析：∵a∥b，∴(1－cos θ)(1＋cos θ)＝ 1 2 . 即 sin2θ＝ 1 2 ，又∵θ 为锐角， ∴sin θ＝ 2 2 ，θ＝45°. 答案：B 5．解析：∵ AB ＝λa＋b， AC ＝a＋μb， 且 A、B、C 三点共线． ∴存在实数 m，使 AB ＝m AC ，即 λa＋b＝m(a＋μb) ∴ λ＝m 1＝mμ ，∴λμ＝1. 答案：D 6．解析：m∥n⇒( 3b－c)cos A－acos C＝0，再由正弦定理得 3sin BcosA＝sin Ccos A ＋cos Csin A⇒ 3sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即 cos A＝ 3 3 . 答案：C 二、填空题 7．解析： AB ＝(a－2，－2)， AC ＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即 ab－2a－2b＝0，所以1 a ＋ 1 b ＝ 1 2 . 答案：1 2 8．解析：如图所示， AP ＝ AC ＋ CP ＝－ CA ＋ 2 3 CN ＝－CA ＋ 2 3 × 1 2 ( CA ＋ CB )＝－ CA ＋ 1 3 CA ＋ 1 3 CB ＝－ 2 3 CA ＋ 1 3 CB ＝－ 2 3 a＋ 1 3 b. 答案：－2 3 a＋ 1 3 b 9．解析：由已知 a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)， 由(a＋b)∥c 得 1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0， 所以 m＝－1. 答案：－1 三、解答题 10．解：λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)， 又向量 λa＋b 与向量 c＝(－4，－7)共线， 所以－7(λ＋2)－(－4)(2λ＋3)＝0，解得 λ＝2
11.解:∵BP=AP-AB AP-aCP=AP-AC= AP-b 又3AP+4BP+5CP=0, AP+4(AP-a)+5(AP-b)=0, 化简,得AP1⊥5 设AD=tAP(t∈R),则AD=ta+tb.① 又设BD=kBC(k∈B,由BC=AC-AB=b-a,得 BD=k(b-a). U AD= AB+BD=a+ BD AD=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.2 代入①,有AD12t=k解得t= 由①② 12.解:(1)OM=t1OA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2) 当点M在第二或第三象限时,有4t2<0,2t1+4t2≠0 故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0 (2)证明:当t1=1时,由(1)知OM=(4t2,4t2+2) AB=OBO4=(4,4), AM=OM-0A=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2AB, ∴不论t2为何实数,A、B、M三点共线 (3)当tl=a2时,OM=(4t2,4t2+2a) 又∵AB=(4,4),OM⊥AB, 4t2×4+(4t2+2a2)×=0,∴t2=-7a2 OM=(-a2,a2) 又∵:|AB|=VE 点M到直线AB:x-y+2=0的距离
4 11．解：∵ BP ＝ AP － AB ＝ AP －a，CP ＝ AP － AC ＝ AP －b， 又 3 AP ＋4 BP ＋5 CP ＝0， ∴3 AP ＋4( AP －a)＋5( AP －b)＝0， 化简，得 AP ＝ 1 3 a＋ 5 12b. 设 AD ＝t AP (t∈R)，则 AD ＝ 1 3 ta＋ 5 12tb.① 又设 BD ＝k BC (k∈R)，由 BC ＝ AC － AB ＝b－a，得 BD ＝k(b－a)．而 AD ＝ AB ＋ BD ＝a＋ BD ， ∴ AD ＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.② 由①②，得1 3 t＝1－k， 5 12t＝k 解得 t＝ 4 3 . 代入①，有 AD ＝ 4 9 a＋ 5 9 b. 12．解：(1) OM ＝t1 OA ＋t2 AB ＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2，2t1＋4t2)． 当点 M 在第二或第三象限时，有 4t2＜0,2t1＋4t2≠0 故所求的充要条件为 t2＜0 且 t1＋2t2≠0. (2)证明：当 t1＝1 时，由(1)知 OM ＝(4t2,4t2＋2)． ∵ AB ＝OB－OA＝(4,4)， AM ＝OM －OA＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2 AB ， ∴不论 t2 为何实数，A、B、M 三点共线． (3)当 t1＝a2 时， OM ＝(4t2,4t2＋2a2)． 又∵ AB ＝(4,4)，OM ⊥ AB ， ∴4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0，∴t2＝－ 1 4 a2. ∴ OM ＝(－a2，a2)． 又∵| AB |＝4 2， 点 M 到直线 AB：x－y＋2＝0 的距离
√2 S△ABM=12, 24B|…d=2×4V2xv2a2-1=12,解得a=士2,故所求a的值为士2
5 d＝ |－a2－a2＋2| 2 ＝ 2|a2－1|. ∵S△ABM＝12， ∴ 1 2 | AB |·d＝ 1 2 ×4 2× 2|a2－1|＝12，解得a＝±2，故所求 a 的值为±2