2.2平面向量的线性运算 第1课时向量加法运算及其几何意义 核心必知——自读教材找关键 问题思考——辨析问题解疑惑 课前反思—锁定目标稳启程 预习导引区 Bn自主学习梳理主干 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材P~P83的内容,回答下列问题 (1)观察教材P图2.2-1,思考:某对象从A点经B点到C点,两次位移AB、BC的 结果是什么?与从A点直接到C点的位移有什么关系? 提示:丛A点经B点到C点,两次位移AB、BC的结果是位移AC,与从A点直接到 C点的位移AC相等 (2)观察教材P。0“探究”的内容,思考: ①力F对橡皮条产生的效果,与力F1与F共同产生的效果相同吗? 提示:产生的效果相同 ②力F与力F、B有怎样的关系? 提示:力F是以与的合力、力F在以尻、尻为邻边的平行四边形的对角线上,并且 大小等于平行四边形对角线的长 (3)数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以认为是F1与P的什么运算? 提示:F可以认为是F与乃的和,即位移、力的合成可看作向量的加法 2.归纳总结,核心必记 (1)向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法 (2)向量加法的运算法则
1 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2.2 平面向量的线性运算 第 1 课时 向量加法运算及其几何意义 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P80～P83 的内容，回答下列问题． (1)观察教材 P80 图 2.2－1，思考：某对象从 A 点经 B 点到 C 点，两次位移 的 结果是什么？与从 A 点直接到 C 点的位移有什么关系？ 提示：从 A 点经 B 点到 C 点，两次位移 的结果是位移 ，与从 A 点直接到 C 点的位移 相等． (2)观察教材 P80“探究”的内容，思考： ①力 F 对橡皮条产生的效果，与力 F1与 F2共同产生的效果相同吗？ 提示：产生的效果相同． ②力 F 与力 F1、F2有怎样的关系？ 提示：力 F 是 F1 与 F2的合力．力 F 在以 F1、F2 为邻边的平行四边形的对角线上，并且 大小等于平行四边形对角线的长． (3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F 可以认为是 F1与 F2的什么运算？ 提示：F 可以认为是 F1与 F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法． 2．归纳总结，核心必记 (1)向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)向量加法的运算法则
已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC 叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC 角形 法则 向量求和的 这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则 对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a. 则平行四/以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作ACB,则以0为起点的对 边形法角线OC就是a与b的和.我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的垩 则|行四边形法则 (3)向量加法的运算律 ①交换律:a+b=b+B: ②结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) [问题思考] (1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗? 提示:因为向量既有大小,又有方向,所以两个向量相加不是模的相加。两个向量相加 应满足三角形法则或平行四边形法则 (2)当两非零向量a,b共线时,向量加法的平行四边形法则还能用吗?三角形法则呢? 提示:平行四边形法则不能用,但三角形法则可用 3)式子AB+BA=0正确吗? 提示:AB+BA的和为零向量,即AB+BA=0,0不能 写成0,故式子AB+BA=0不正确 [课前反思] (1)向量加法的定义 (2)求向量和的三角形法则: (3)求向量和的平行四边形法则: 2
2 向 量 求 和 的 法 则 三角形 法则 已知非零向量 a、b，在平面内任取一点 A，作 ＝a， ＝b，则向量 叫做 a 与 b 的和，记作 a＋b，即 a＋b＝ ＋ ＝ _. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝0＋a＝a． 平行四 边形法 则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则以 O 为起点的对 角线 _就是 a 与 b 的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则. (3)向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． [问题思考] (1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加 应满足三角形法则或平行四边形法则． (2)当两非零向量 a，b 共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？ 提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用． (3)式子 ＝0 正确吗？ [课前反思] (1)向量加法的定义： ； (2)求向量和的三角形法则： ； (3)求向量和的平行四边形法则：
4)向量加法的交换律 (5)向量加法的结合律: 课堂互动区 知识突破 能力提升 式A 重点知识 拔高知识 步步探究稳根基深化提能夺高分 师生共研突破重难s6 ishenggangga【 pozhongrar 知识点1 求作向量的和 κ重点知识·讲透练会】 [思考1]求作两个向量和的方法有哪些? 提示:三角形法则和平行四边形法则 [思考2]三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同? 名师指津:(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两 个不共线的向量求和 2)当两个向量不共线时,两个法则是一致的 如图所示,AC=AB+AD(平行四边形法则) 又∵BC=AD, AC=AB+BC(三角形法则) 3)在使用三角形法则时,应注意“首尾连接”:在使用平行四边形法则时应注意范围 的限制及和向量与两向量的起点相同 1.(1)如图①,利用向量加法的三角形法则作出a+b (2)如图②,利用向量加法的平行四边形法则作出a+b [尝试解答](1)如图a所示,设OA=a,∵a与b有公共点A,故过A点作AB=b, 连接OB即为a+b (2)如图b,设OA=a,过0点作OB=b,则以OA、OB为邻边作口OACB,连接O,则
3 ； (4)向量加法的交换律： ； (5)向量加法的结合律： ． [思考 1] 求作两个向量和的方法有哪些？ 提示：三角形法则和平行四边形法则． [思考 2] 三角形法则和平行四边形法则的适用条件有什么不同？ 名师指津：(1)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两 个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示， (平行四边形法则)， (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围 的限制及和向量与两向量的起点相同. 讲一讲 1．(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出 a＋b； (2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出 a＋b. [尝试解答] (1)如图ⓐ所示，设 ＝a，∵a 与 b 有公共点 A，故过 A 点作 ＝b， 连接 即为 a＋b. (2)如图ⓑ，设 ＝a，过 O 点作 ＝b，则以 OA、OB 为邻边作▱OACB，连接 OC，则
OC=OA+OB=a+b 类题·通法 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连 的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量 (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合 (3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单 练一练 1.如图,已知a、b、c,求作向量a+b+c 解:作法:在平面内任取一点O,如图所示 作OA=a,AB=b,BC=c,则OC=a+b+c 知识点2向量加法运算 【重点知识·讲逶练会 [思考]向量加法有哪些运算律? 名师指津:向量加法的交换律:a十b=b十a:向量加法的结合律:(a十b)+∝=a+(b 2.化简下列各式 (1)AB+DF-+CD+BC+FA: (2)(AB+DE)+CD+BC+EA 尝试解答](1)AB+DF+CD+BC+FA AB+BC+CD+DF+FA AC+CD+(DF+FA AD+DA=0
4 ＝a＋b. 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到 n 个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即 n 个首尾相连 的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第 n 个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单． 练一练 1．如图，已知 a、b、c，求作向量 a＋b＋c. 解：作法：在平面内任取一点 O，如图所示． 作 ＝a＋b＋c. [思考] 向量加法有哪些运算律？ 名师指津：向量加法的交换律：a＋b＝b＋a；向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b ＋c)． 讲一讲 2．化简下列各式：
(2)(AB+DE)+CD+BC+EA =(AB+BC)+(CD+DE)+EA AC+CE+EA =AE+EA=0 类題·通法 解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺 序,特别注意勿将0写成0 练一练 2.如图,在△ABC中,O为重心,D、E、F分别是BC、AC、AB的中点,化简下列三式 (1)BC+CE+EA (2)OE-+AB+EA: (3)AB+FE+DO 94: (1)BC+CE+EA=BE+EA=BA. (2)0E+AB+EA=(OE+EA+AB=OA+AB=OB (3)AB+FE+DC= AB+BD+DC=AD+DC=AC 知识点3 向量加法的应用 拔高知识·拓宽提能】 讲一讲 3.在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接 到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院,求这架飞机飞 行的路程及两次位移的和 [尝试解答]如图所示,设AB,BC分别表示飞机从A地按北偏东35°方向飞行800 m,从B地按南偏东55°的方向飞行800km 东 则飞机飞行的路程指的是AB|+BC;两次飞行的位移的和指的是AB+BC=AC
5 解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算． (2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺 序，特别注意勿将 0 写成 0. 练一练 2．如图，在△ABC 中，O 为重心，D、E、F 分别是 BC、AC、AB 的中点，化简下列三式： 讲一讲 3．在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接 到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞 行的路程及两次位移的和． [尝试解答] 如图所示，设 分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km. 则飞机飞行的路程指的是 ；两次飞行的位移的和指的是
依题意,有AB|+BC|=800+800=1600(km) 又a=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90 所以AC=AB2+1BC1=(00+80=80km) 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80 从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为800V2km,方向为北偏 东8 类题·通 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 用向量表示实际问题中既有大小又有方向 的量 运算 利用平行四边形法则或三角形法则求向量 的和,并用直角三角形等知识解决问题 作答 根据题意作答 练一练 3.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40km到达B处,再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处,求此时轮船与A港的相对位置 解:如图所示,设AB、BC分别是轮船的两次位移,则AC表示最终位移,且AC=AB 在Rt△ABD中,DB|=20km AD|=203km, 在Rt△ACD中,AC /AD12+1DC12=403km, 即此时轮船位于A港东偏北60°,且距离A港40√3km处 [课堂归纳·感悟提升] 1.本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算,难点是向量和的应用 2.要掌握向量加法的三个问题
6 依题意，有 ＝800＋800＝1 600 (km)． 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. ＝ 8002＋8002＝800 2(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏 东 80°. 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 练一练 3．轮船从 A 港沿东偏北 30°方向行驶了 40 km 到达 B 处，再由 B 处沿正北方向行驶 40 km 到达 C 处，求此时轮船与 A 港的相对位置． 解：如图所示，设 分别是轮船的两次位移，则 表示最终位移，且 ＝ ＋ . ∠CAD＝60°， 即此时轮船位于 A 港东偏北 60°，且距离 A 港 40 3 km 处． ——————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————— —— 1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用． 2．要掌握向量加法的三个问题
(1)求作向量的和,见讲1 (2)向量加法运算,见讲2 (3)向量加法的应用,见讲3 3.求作向量时应注意以下两点 (1)利用三角形法则求和向量时,关键要抓住“首尾相接”,并且和向量是由第一个 向量的起点指向最后一个向量的终点 (2)利用平行四边形法则求和向量时,应注意“共起点” 训练提能区 达标练 能力练 学业水平小测,让学 课下能力提升,提速 生趁热打铁消化所学 提能,每课一检测,步 既练速度又练准度 步为营步步赢 分层练习固本提能 fencexglianxi guest inen 课下能力提升(十四 [学业水平达标练] 题组1求作向量的和 1.如图,已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+b 解:在平面内任取一点O, 作OA=a,AB=b 则OB=a+b. 2.已知两非零向量a,b(如图所示)求作a+b 解:如图 所示:在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,则OB=a+b 题组2向量加法运算 3.化简AE+EB+BC等于 A B O C. AC D. BE 解析:选C(AE+EB)+BC=AB+BC=AC.故选C 4.下列等式错误的是()
7 (1)求作向量的和，见讲 1； (2)向量加法运算，见讲 2； (3)向量加法的应用，见讲 3. 3．求作向量时应注意以下两点 (1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个 向量的起点指向最后一个向量的终点． (2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”． 课下能力提升(十四) [学业水平达标练] 题组 1 求作向量的和 1． 如图，已知两个不共线的非零向量 a，b，求作 a＋b. 解：在平面内任取一点 O， 2．已知两非零向量 a，b(如图所示)求作 a＋b. 解：如图 所示：在平面内任取一点 O，作 题组 2 向量加法运算 4．下列等式错误的是( )
A.a+0=0+a=a B AB+BC+AC=0 CAB+BA=0 D CA+AC=MN+NP+PM 解析:选BAB+BC+AC=2AC≠0. 5.在矩形ABCD中,AB|=4,BC|=2,则向量AB+AD AC的长度等于 解析:选B因为AB+AD=AC,所以AB+AD+AC的 长度为AC的模的2倍,故答案是4√5 6.根据图示填空. (1)AB+OA (2)BO-+OD+DO- (3)A0-+B0-+2 OD 解析:由三角形法则知 ()AB+OA=OA+AB=OB: (2)BO+OD+DO=BO (3)A0+B0+2 OD=AD+BD 答案:(1)OB(2)BO(3)AD+BD 7.已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,AC=c,BC=b,则|a+b+c为 解析:|a+b+c|=|AB+BC+AC|=|AC+AC|=2AC=2VE. 答案:2V2 8.如图,O为正六边形 ABCDEF的中心,根据图示计算:
8 A．a＋0＝0＋a＝a A．2 5 B．4 5 C．12 D．6 6．根据图示填空． 解析：由三角形法则知 7．已知正方形 ABCD 的边长为 1， ＝a， ＝c， ＝b，则|a＋b＋c|为________． 解析：|a＋b＋c|＝ ＝ ＝2 2. 答案：2 2 8．如图，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，根据图示计算：
(1)0A+OC (2)BC+F (3)0A+F 解:(1)因为四边形OABC是以OA,OC为邻边的平行四边形,OB为其对角线,所以 OA+OC=OB (2)因为BC与FE方向相同且长度相等,所以BC与FE 是相等向量,故BC+FE与BC方向相同,长度为BC长 度的2倍,因此BC+FE可用DA表示,所以BC+FE (3)因为OA与FE长度相等且方向相反,所以OA+FE 题组3向量加法的应用 9.若a等于“向东走8km”,b等于“向北走8km”则|a+b= a+b的方 向是 解析:如图所示,设AB=a,BC=b,则AC=a+b,且△AC为等腰直角三角形, 则|AC|=8V2km,∠BC=45° 答案:8V2km北偏东45° 10.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4.0m/s,现在 有风,风使雨滴以2m的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向 解:如图,用OA表示雨滴下落的速度,OB表示风使雨滴水平向东的速度.以OA OE为邻边作平行四边形OACB,OC就是雨滴下落的实际速度 在R△OE中,1O1=4,1AC=5
9 解：(1)因为四边形 OABC 是以 OA，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以 题组 3 向量加法的应用 9．若 a 等于“向东走 8 km”，b 等于“向北走 8 km”则|a＋b|＝________，a＋b 的方 向是________． 解析：如图所示，设 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b，且△ABC 为等腰直角三角形， 则| |＝8 2 km，∠BAC＝45°. 答案：8 2 km 北偏东 45° 10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是 4.0 m/s，现在 有风，风使雨滴以4 3 3 m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向． 解：如图，用 表示雨滴下落的速度， 表示风使雨滴水平向东的速度．以 ， 为邻边作平行四边形 OACB， 就是雨滴下落的实际速度． 在 Rt△OAC 中，| |＝4，| |＝ 4 3 3
=+C下+()-5 43 tan∠AOC= AC|_33 ∠AOC=30° 故雨滴着地时的速度大小是ym/s,方向与垂直方向成30°角向东 [能力提升综合练 1.设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为( ①a∥b;②a+b=a:③a+b=b④a+b</a+|b:⑤/a+b=|a+|b A.①②B.①③ C.①③⑤D.③④⑤ 解析:选Ca=(AB+CD)+(BC+DA)=AB+BC+CD+DA)=0, ①③⑤是正确的 2.已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中不正确的是( AFD+DA-FA B FD+DE+EF: C DE+DA=EC D DA+DE- FD 解析:选D由向量加法的平行四边形法则可知,DA+DE=DF≠FD 3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则OA+BC+AB=() A CD B C. DA D CO 解析:选BOA+BC+AB -OA+AB+ BC OB+BC=( 4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB=PC,则下列结论
10 ∴∠AOC＝30°. 故雨滴着地时的速度大小是8 3 3 m/s，方向与垂直方向成 30°角向东. [能力提升综合练] 1．设 a＝ ，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( ) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|. A．①② B．①③ C．①③⑤ D．③④⑤ 解析：选 C a＝ ＝0， ∴①③⑤是正确的． 2．已知 D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( ) 解析：选 D 由向量加法的平行四边形法则可知， 3．如图，四边形 ABCD 是梯形，AD∥BC，则 ＝( ) 4．已知△ABC 的三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P 满足 ，则下列结论