课题:21平面向量的实际背景及基本概念 教学目的: 1.了解平面向量的实际背景; 2.掌握向量的几何表示; 3.理解向量的有关概念; 逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力和“知识重组”意识和“数 形结合”能力 教学重点:向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示 教学难点:向量的概念和共线向量的概念。 授课类型:新授课 授课方式:讲授式、探究式 教具:多媒体、实物投影仪 内容分析 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,反过来,向量的理论和方 法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有 套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通 过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量,它是一种新的量,关于数量的代数运算在向量范围内不都 适用。因此,本章在介绍向量概念时,重点说明了向量与数量的区别,然后又重 新给出了向量代数的部分运算法则,包括加法、减法、实数与向量的积、向量的 数量积的运算法则等。之后,又将向量与坐标联系起来,把关于向量的代数运算 与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来,这就为研究和解决有关几何问题又提 供了两种方法一一向量法和坐标法。 本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”,内容包括 向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。 本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发,抽象出向量的 概念,并重点说明了向量与数量的区别,然后介绍了向量的几何表示、向量的长 度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念, 在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义;在“向量的几何表示”中, 主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别 与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量:在“相等向量与共线向量” 中,主要介绍相等向量,共线向量定义等 教学过程: 、引入 同学们都知道,数学是一门基础学科,是解决其它一些学科问题的有力工具 其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的。成为理论后又反过来 对其它学科起作用。比如同学们学习的物理,它与数学就有非常密切的关系。 新授课 (一)向量的物理背景与概念 (提问)请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量
课 题：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目的： 1．了解平面向量的实际背景； 2．掌握向量的几何表示； 3．理解向量的有关概念； 4．逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力和“知识重组”意识和“数 形结合”能力。 教学重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。 教学难点：向量的概念和共线向量的概念。 授课类型：新授课 授课方式：讲授式、探究式 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方 法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有 一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通 过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都 适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重 新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的 数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算 与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提 供了两种方法——向量法和坐标法。 本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括 向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。 本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的 概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长 度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。 在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中， 主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别 与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量” 中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。 教学过程： 一、引入 同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具。 其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的。成为理论后又反过来 对其它学科起作用。比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系。 二、新授课 （一）向量的物理背景与概念 （提问）请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量？
在现实生活中,我们会遇到很多量,其 中一些量在取定单位后用一个实数就可以表 示出来,如长度、质量等。还有一些量,如 图2.1-2 我们在物理中所学习的位移、力是一个既有 大小又有方向的量,例如:物体受到的重力 是竖直向下的(图2.1-1),物体的质量越大 WH 它受到的重力越大;物体在液体中受到的浮 力是竖直向上的(图2.1-2),物体浸在液体 中的体积越大,它受到的浮力越大;被拉长的弹簧的弹力是向左的(图2.1-3), 被压缩的弹簧的弹力是向右的(图2.1-4),并且在弹性限度内,弹簧拉长或压 缩的长度越大,弹力越大 我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象,形成一种 新的量。这种量就是我们本章所要研究的一—向量 向量是数学中的重要概念之一,向量和数一样也能进行运算,而且用向量的 有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题,在这一章,我们将学 习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课,我们将学习向量的有关概念 向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量(物理学中常称为矢量) (而把那些只有大小,没有方向的量如:年龄、身高长度、面积、体积、质 量等,称为数量。物理学中常称为标量) 注意:19数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数 运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小 (二)向量的几何表示 引入:(由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常常用数轴上的一个点表示, 而且不同的点表示不同的数量。) 对于向量,我们常用带箭头的线段——有向线段来表示,线段按一定比例(标 度)画出,它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向 有向线段:带有方向的线段叫有向线段。(如图) B终点 我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为起点、 B为终点的有向线段记作AB,起点写在终点的前面。 A起点 已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作A 有向线段的三要素:起点、方向、长度。(知道了有向线段的起点、方向和 长度,它的终点就唯一确定。) 向量的表示方法: 几何表示:①用有向线段表示 字母表示:②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如:ABCD ③用字母a、b、c等表示 问题1:“向量就是有向线段,有向线段就是向量。”的说法对吗?(提问) (①向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与起点无关:只要大小和 方向相同,则这两个向量就是相同的向量; ②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同
在现实生活中，我们会遇到很多量，其 中一些量在取定单位后用一个实数就可以表 示出来，如长度、质量等。还有一些量，如 我们在物理中所学习的位移、力是一个既有 大小又有方向的量，例如：物体受到的重力 是竖直向下的（图 2.1-1），物体的质量越大， 它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮 力是竖直向上的（图 2.1-2），物体浸在液体 中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图 2.1-3）， 被压缩的弹簧的弹力是向右的（图 2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压 缩的长度越大，弹力越大。 我们可以对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种 新的量。这种量就是我们本章所要研究的——向量。 向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的 有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学 习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课，我们将学习向量的有关概念。 向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量） （而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质 量等，称为数量。物理学中常称为标量） 注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数 运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 （二）向量的几何表示 引入：（由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示， 而且不同的点表示不同的数量。） 对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表示，线段按一定比例（标 度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。 有向线段：带有方向的线段叫有向线段。（如图） 我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记作 AB ，起点写在终点的前面。 已知 AB ，线段 AB 的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作 AB . 有向线段的三要素：起点、方向、长度。（知道了有向线段的起点、方向和 长度，它的终点就唯一确定。） 向量的表示方法： 几何表示：①用有向线段表示； 字母表示：②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如： AB,CD ； ③用字母 a 、b 、c 等表示。 问题 1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？（提问） （①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和 方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同， A 起点 B 终点
也是不同的有向线段) 向量的长度(或称模):向量AB的大小,也就是向量AB的长度(或称模):记 作 AB。 零向量、单位向量概念: ①长度为0的向量叫零向量,记作0 注意0与0的区别(及书写方法)。 ②长度等于1个单位的向量,叫单位向量。 说明:零向量、单位向量的定义都是只限制大小,不确定方向。 例1如图21-6,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用向量表示 A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km) A 解:AB表示A地至B地的位移,且AB≈240km AC表示A地至C地的位移,且AC≈300km 三)平行向量、共线向量与相等向量 平行向量定义 ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定0与任一向量平行 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量a.b.c平行,记作a∥b∥C 共线向量定义: 平行向量也叫做共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系 相等向量定义:
也是不同的有向线段） 向量的长度（或称模）：向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度（或称模）：记 作 AB 。 零向量、单位向量概念： ①长度为 0 的向量叫零向量，记作 0 。 注意 0 与 0 的区别（及书写方法）。 ②长度等于 1 个单位的向量，叫单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。 例 1 如图 2.1-6，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示 A 地至 B、C 两地的位移，并求出 A 地至 B、C 两地的实际距离（精确到 1km） 解： AB 表示 A 地至 B 地的位移，且 AB 240km . AC 表示 A 地至 C 地的位移，且 AC 300km . （三）平行向量、共线向量与相等向量 平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定 0 与任一向量平行。 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量 a,b,c 平行，记作 a // b // c 。 共线向量定义： 平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 相等向量定义： c b a
长度相等且方向相同的向量叫相等向量 说明:(1)向量a与b相等,记作a=b (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线 段的起点无关。在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量, 因为向量完全由它的方向和模确定。 问题2:两个向量是否可以比较大小?(向量不能比较大小,我们知道,长 度相等且方向相同的两个向量表示相等向量,但是两个向量之间只有相等关系, 没有大小之分,“对于向量a、b,a>b或a<b”这种说法是错误的。) 例2判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由 ①向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上 ②单位向量都相等; ③若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形 ④若一个向量的模为0,则该向量的方向不确定 ⑤共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两 个向量AB、AC在同一直线上。 ②不正确.单位向量模均相等且为1,但方向并不确定 ③不正确.④正确.⑤不正确.如图AC与BC共线,虽起点不同,但其终点却 相同. B 评述:本题考査基本概念,对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的 概念特征及相互关系必须把握好。 三、练习: 1.下列各量中不是向量的是() A.浮力B.风速C.位移D.密度 2.下列说法中错误的是() A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图 形是() A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点 个单位圆 4.已知非零向量a∥b,若非零向量c∥a,则c与b必定 5.已知a、b是两非零向量,且a与b不共线若非零向量c与a共线,则c与b必 定 6.设在平面上给定了一个四边形ABCD点K、L、MN分别是AB、BC、CDDA
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：（1）向量 a 与 b 相等，记作 a = b ； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线 段的起点无关。在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量， 因为向量完全由它的方向和模确定。 问题 2：两个向量是否可以比较大小？（向量不能比较大小，我们知道，长 度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系， 没有大小之分，“对于向量 a 、b ，a b 或 a b ”这种说法是错误的。） 例 2 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等； ③若 AB ＝ DC ，则四边形 ABCD 是平行四边形； ④若一个向量的模为 0，则该向量的方向不确定； ⑤共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两 个向量 AB 、 AC 在同一直线上。 ②不正确.单位向量模均相等且为 1，但方向并不确定。 ③不正确.④正确.⑤不正确.如图 AC 与 BC 共线，虽起点不同，但其终点却 相同. 评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的 概念特征及相互关系必须把握好。 三、练习： 1．下列各量中不是向量的是（ ） A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 2.下列说法中错误．．的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为 0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图 形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆 4．已知非零向量 a // b ,若非零向量 c // a ，则 c 与 b 必定 . 5．已知 a 、b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必 定 . 6.设在平面上给定了一个四边形 ABCD,点 K、L、M、N 分别是 AB、BC、CD、DA A B C
的中点,则|KL= 参考答案:1.D2.A3.D4.平行5.不共线6.|MM|,NM 四、小结: 1.了解平面向量的实际背景 2.掌握向量的几何表示 3.理解向量的有关概念。 五、作业 P86习题21相关内容,预习p85例2 六、板书设计(略)
的中点,则 | KL|= _______, KL = ________ 参考答案：1.D 2.A 3.D 4.平行 5.不共线 6. | NM | ， NM 四、小结 ： 1．了解平面向量的实际背景； 2．掌握向量的几何表示； 3．理解向量的有关概念。 五、作业 P86 习题 2.1 相关内容，预习 p85 例 2 六、板书设计（略）