第二章平面向量 §21平面向量的实际背景及基本概念 【课时目标】1通过对物理模型和几何模型的探究,了解向量的实际背景,掌握向量的有关 概念及向量的几何表示2掌握平行向量与相等向量的概念 知识梳理 1.向量:既有 ,又有 的量叫向量. 2.向量的几何表示:以A为起点,B为终点的向量记作 3.向量的有关概念: (1)零向量:长度为 的向量叫做零向量,记作 (2)单位向量:长度为的向量叫做单位向量 (3)相等向量: 的向量叫做相等向量 (4)平行向量(共线向量):方向 的 向量叫做平行向量,也叫共线向量 ①记法:向量a平行于b,记作 ②规定:零向量与 作业设计 选择题 1.下列物理量:①质量:②速度:③位移;④力:⑤加速度:⑥路程:⑦密度;⑧功.其 中不是向量的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列条件中能得到a=b的是() a= bl B.a与b的方向相同 C.a=0,b为任意向量 D.a=0且b=0 3.下列说法正确的有() ①方向相同的向量叫相等向量:②零向量的长度为0:③共线向量是在同一条直线上的向量 ④零向量是没有方向的向量:⑤共线向量不一定相等;⑥平行向量方向相同 A.2 个 B.3个 C.4个 D.5个 4.命题“若a∥b,b∥c,则a∥c”() A.总成立 B.当a≠0时成立 C.当b≠0时成立 D.当c≠0时成立 5.下列各命题中,正确的命题为() A.两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同 B.模为0的向量与任一向量平行 C.向量就是有向线段 D.a=|b→a=b 6.下列说法正确的是() A.向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 B.长度相等的向量叫做相等向量 C.零向量长度等于0 D.共线向量是在一条直线上的向量
第二章 平面向量 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究，了解向量的实际背景，掌握向量的有关 概念及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念． 1．向量：既有________，又有________的量叫向量． 2．向量的几何表示：以 A 为起点，B 为终点的向量记作________． 3．向量的有关概念： (1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______． (2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量． (3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量． (4)平行向量(共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量 a 平行于 b，记作________． ②规定：零向量与__________平行． 一、选择题 1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其 中不是向量的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．下列条件中能得到 a＝b 的是( ) A．|a|＝|b| B．a 与 b 的方向相同 C．a＝0，b 为任意向量 D．a＝0 且 b＝0 3．下列说法正确的有( ) ①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为 0；③共线向量是在同一条直线上的向量； ④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 4．命题“若 a∥b，b∥c，则 a∥c”( ) A．总成立 B．当 a≠0 时成立 C．当 b≠0 时成立 D．当 c≠0 时成立 5．下列各命题中，正确的命题为( ) A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 B．模为 0 的向量与任一向量平行 C．向量就是有向线段 D．|a|＝|b|⇒a＝b 6．下列说法正确的是( ) A．向量AB→∥CD→ 就是AB→所在的直线平行于CD→ 所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量长度等于 0 D．共线向量是在一条直线上的向量
二、填空题 7.给出以下5个条件:①a=b;②叫=b;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a与 b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是 (填序号 在四边形ABCD中,AB=DC且AB=AD,则四边形的形状为 9.下列各种情况中,向量的终点在平面内各构成什么图形 ①把所有单位向量移到同一起点 ②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点; ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点 10.如图所示,E、F分别为△ABC边AB、AC的中点,则与向量EF共线的向量有 (将图中符合条件的向量全写出来) 三、解答题 11.在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1 (1)试以B为终点画一个向量b,使b=a; (2)在图中画一个以A为起点的向量c,使l=√5,并说出向量c的终点的轨迹是什么? 12.如图所示,△ABC的三边均不相等,E、F、D分别是AC、AB、BC的中点 (1)写出与EF共线的向量 (2)写出与EP的模大小相等的向量 (3)写出与EF相等的向量
题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．给出以下 5 个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a 与 b 的方向相反；④|a|＝0 或|b|＝0；⑤a 与 b 都是单位向量．其中能使 a∥b 成立的是________．(填序号) 8．在四边形 ABCD 中，AB→＝DC→ 且|AB→|＝|AD→|，则四边形的形状为________． 9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形． ①把所有单位向量移到同一起点； ②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点； ③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点． ①__________；②____________；③____________. 10．如图所示，E、F 分别为△ABC 边 AB、AC 的中点，则与向量EF→共线的向量有 ________________(将图中符合条件的向量全写出来)． 三、解答题 11. 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 b＝a； (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？ 12. 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点． (1)写出与EF→共线的向量； (2)写出与EF→的模大小相等的向量； (3)写出与EF→相等的向量．
【能力提升】 13.如图,已知AA=BB=CC 求证:(1)△ABC≌△A′B′C (2)AB=A′B′,AC=AC 14.如图所示,O是正六边形 ABCDEF的中心,且OA=a,OB=b,OC=c. (1)与a的模相等的向量有多少个? (2)与a的长度相等,方向相反的向量有哪些? (3)与a共线的向量有哪些? (4)请一一列出与a,b,c相等的向量 D反思感悟L 1.向量是既有大小又有方向的量,解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑 2.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.如a>b没有意义,而l>b有意义 3.共线向量与平行向量是同一概念,规定:零向量与任一向量都平行 §2.1平面向量的实际背景及基本概念 答案 知识梳理 1.大小方向2AB 3.(1)00(2)1(3)长度相等方向相同(4)相同或相反非零①ab②任一向量
能力提升 13. 如图，已知AA′ → ＝BB′ → ＝CC′ → . 求证：(1)△ABC≌△A′B′C′； (2)AB→＝A′B′ → ，AC→＝A′C′ → . 14. 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且OA→＝a，OB→ ＝b，OC→ ＝c. (1)与 a 的模相等的向量有多少个？ (2)与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与 a 共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与 a，b，c 相等的向量． 1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑． 2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如 a>b 没有意义，而|a|>|b|有意义． 3．共线向量与平行向量是同一概念，规定：零向量与任一向量都平行． §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 答案 知识梳理 1．大小 方向 2.AB→ 3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a∥b ②任一向量
作业设计 1.D2.D 3.A[②与⑤正确,其余都是错误的.] 4.C[当b=o时,不成立,因为零向量与任何向量都平行.] 5.B[由于模为o的向量是零向量,只有零向量的方向不确定,它与任一向量平行,故选 6.C[向量B∥C包含B所在的直线平行于C所在的直线和B所在的直线与C所在的 直线重合两种情况;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同;共线向量也称为平行向 量,它们可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,所以A、B、D 均错.] 7.①③④ 解析相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定是共线向量, ③能使a∥b;零向量与任一向量平行,④成立 8.菱形 解析∵AB=DC,∴AB絨DC 四边形ABCD是平行四边形 AB=AD,∴四边形ABCD是菱形 9.单位圆相距为2的两个点一条直线 10.FE, BC, CB 解析∵E、F分别为△ABC对应边的中点, ∴EF∥BC ∴符合条件的向量为FE,BC,CB 11.解(1)根据相等向量的定义,所作向量与向量a平行,且长度相等(作图略) (2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心,半径为5的圆(作图 略). 12.解(1)因为E、F分别是AC、AB的中点, 所以EF缺BC又因为D是BC的中点, 所以与E共线的向量有:E,B,DB,D,C,BC,CB (2)与EF模相等的向量有:应,BD,DB,DC,C (3)与EF相等的向量有:DB与CD 13.证明(1)∵AA′=BB′, ∵A|=|BB,且AA′∥B′ 又∵A不在BB′上,∴AA′∥BB 四边形AA′B′B是平行四边形. AB=′B′ 同理AC=MC′|,BC=B′C′| ∴△ABC≌△A′B′C (2)∵四边形AA′B′B是平行四边形, AB∥A′B′,且B=A′B′ AB=A′B′.同理可证AC=A′C 14.解(1)与a的模相等的向量有23个 (2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD,BC,AO,FE
作业设计 1．D 2.D 3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．] 4．C [当 b＝0 时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．] 5．B [由于模为 0 的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选 B.] 6．C [向量AB→∥CD→ 包含AB→所在的直线平行于CD→ 所在的直线和AB→所在的直线与CD→ 所在的 直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向 量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以 A、B、D 均错．] 7．①③④ 解析 相等向量一定是共线向量，①能使 a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量， ③能使 a∥b；零向量与任一向量平行，④成立． 8．菱形 解析 ∵AB→＝DC→ ，∴AB 綊 DC ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵|AB→|＝|AD→|，∴四边形 ABCD 是菱形． 9．单位圆 相距为 2 的两个点 一条直线 10.FE→，BC→，CB→ 解析 ∵E、F 分别为△ABC 对应边的中点， ∴EF∥BC， ∴符合条件的向量为FE→，BC→，CB→. 11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等(作图略)． (2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 5的圆(作图 略)． 12．解 (1)因为 E、F 分别是 AC、AB 的中点， 所以 EF 綊 1 2 BC.又因为 D 是 BC 的中点， 所以与EF→共线的向量有：FE→，BD→ ，DB→ ，DC→ ，CD→ ，BC→，CB→. (2)与EF→模相等的向量有：FE→，BD→，DB→ ，DC→ ，CD→ . (3)与EF→相等的向量有：DB→ 与CD→ . 13．证明 (1)∵AA′ → ＝BB′ → ， ∴|AA′ → |＝|BB′ → |，且AA′ → ∥BB′ → . 又∵A 不在BB′ → 上，∴AA′∥BB′. ∴四边形 AA′B′B 是平行四边形． ∴|AB→|＝|A′B′ → |. 同理|AC→|＝|A′C′ → |，|BC→|＝|B′C′ → |. ∴△ABC≌△A′B′C′. (2)∵四边形 AA′B′B 是平行四边形， ∴AB→∥A′B′ → ，且|AB→|＝|A′B′ → |. ∴AB→＝A′B′ → .同理可证AC→＝A′C′ → . 14．解 (1)与 a 的模相等的向量有 23 个． (2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有OD→ ，BC→，AO→ ，FE→
(3)与a共线的向量有E,B,,F,G,D,AO,DA,A (4)与a相等的向量有E,DO,CB;与b相等的向量有DC,EO,应;与c相等的向量有FO ED, AB
(3)与 a 共线的向量有EF→，BC→，OD→ ，FE→，CB→，DO→ ，AO→，DA→ ，AD→ . (4)与 a 相等的向量有EF→，DO→ ，CB→；与 b 相等的向量有DC→ ，EO→ ，FA→；与 c 相等的向量有FO→ ， ED→ ，AB→. 精品推荐 强力推荐 值得拥有