高考研究课(三) 变量间的相关关系、统计案例 [全国卷5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 回归分析5年3考求回归方程并应用估值 统计案例未考查
高考研究课(三) 变量间的相关关系、统计案例 [全国卷5年命题分析] 考点 考查频度 考查角度 回归分析 5年3考 求回归方程并应用估值 统计案例 未考查
题型一 相关关系的判断 [典例(1)对四组数据进行统计,获得如图所示的散点图, 关于其相关系数的比较,正确的是 A.r2<r4<0<r3≤1 B.r4<r2<0<n1<r3 5101520253035 5101520253035 相关系数为r1 相关系数为r2 C.r4<r2<0<r≤r1 D.n2<r4<0<n1<r3 5101520253035 5101520253035 相关系数为r3 相关系数为r1 解析]由相关系数的定义,以及散点图所表达的含义可知n2< r4<0<r3<n答案A
[典例] (1)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图， 关于其相关系数的比较，正确的是 ( ) 相关关系的判断 A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 [解析] 由相关系数的定义，以及散点图所表达的含义可知 r2＜ r4＜0＜r3＜r1. [答案] A
(2)(2015湖北高考)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y 与x正相关.下列结论中正确的是 A.x与y正相关,x与x负相关B.x与y正相关,x与z正相关 C.x与p负相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关 [解析]因为y=-01x+1的斜率小于0,故x与y负相关 因为y与z正相关,可设z=by+a,b>0, 则z=by+a=-01bx+b+a,故x与z负相关 [答案]C
(2)(2015·湖北高考)已知变量 x 和 y 满足关系 y＝－0.1x＋1，变量 y 与 z 正相关．下列结论中正确的是 ( ) A．x 与 y 正相关，x 与 z 负相关 B．x 与 y 正相关，x 与 z 正相关 C．x 与 y 负相关，x 与 z 负相关 D．x 与 y 负相关，x 与 z 正相关 [解析] 因为 y＝－0.1x＋1 的斜率小于 0，故 x 与 y 负相关． 因为 y 与 z 正相关，可设 z＝b ^ y＋a ^，b ^＞0， 则 z＝b ^ y＋a ^＝－0.1b ^ x＋b ^＋a ^，故 x 与 z 负相关． [答案] C
[方法技巧] 相关关系的判断的2种方法 (1)散点图法 (2)相关系数法:利用相关系数判定,当越趋近于 1相关性越强
相关关系的判断的 2 种方法 (1)散点图法． (2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于 1 相关性越强． [方法技巧]
[即时演练] 1.下列四个散点图中,变量x与y之间具有负的线性相关关系的是 解析:观察散点图可知,只有D选项的散点图表示的是变量x与y 之间具有负的线性相关关系. 答案:D
[即时演练] 1．下列四个散点图中，变量 x 与 y 之间具有负的线性相关关系的是 ( ) 解析：观察散点图可知，只有 D 选项的散点图表示的是变量 x 与 y 之间具有负的线性相关关系． 答案：D
2.(2017湖北七市联考)为研究语文成绩和英语成绩y 之间是否具有线性相关关系,统计某班学生的两科 成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度 相同),用回归直线方程分=bx+a近似地刻画其相 关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是() A.线性相关关系较强,b的值为125 B.线性相关关系较强,b的值为083 C.线性相关关系较强,b的值为-087 D.线性相关关系较弱,无研究价值
2．(2017·湖北七市联考)为研究语文成绩和英语成绩 之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科 成绩得到如图所示的散点图(x 轴、y 轴的单位长度 相同)，用回归直线方程^y＝bx＋a 近似地刻画其相 关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是 ( ) A．线性相关关系较强，b 的值为 1.25 B．线性相关关系较强，b 的值为 0.83 C．线性相关关系较强，b 的值为－0.87 D．线性相关关系较弱，无研究价值
解析:由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近, 所以线性相关关系较强,且应为正相关,所以回归直线方程的斜 率应为正数,且从散点图观察,回归直线方程的斜率应该比y=x 的斜率要小一些,综上可知应选B 答案:B
解析：由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近， 所以线性相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜 率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比 y＝x 的斜率要小一些，综上可知应选 B. 答案：B
题型二1线性回归分析 [典例(2017湖北八校联考)由某种设备的使用年限x(年)与所 支出的维修费y(万元)的数据资料算得如下结果,∑x2=90,∑x=12, ∑x=20,∑v=25 (1)求所支出的维修费y对使用年限x的线性回归方程少=6x+a; (2)①判断变量x与y之间是正相关还是负相关; ②当使用年限为8年时,试估计支出的维修费是多少 ∑x-nxy i=1 (附:在线性回归方程=6x+中,6 ,a=y-6x, ∑x2-nx 其中x,y为样本平均值
线性回归分析 [典例] (2017·湖北八校联考)由某种设备的使用年限 xi(年)与所 支出的维修费 yi(万元)的数据资料算得如下结果， i＝1 5 x 2 i＝90， i＝1 5 xiyi＝112， i＝1 5 xi＝20， i＝1 5 yi＝25. (1)求所支出的维修费 y 对使用年限 x 的线性回归方程^y＝^bx＋^a； (2)①判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； ②当使用年限为 8 年时，试估计支出的维修费是多少． (附：在线性回归方程^y＝^bx＋^a中，b^＝ i＝1 n xiyi－n x y i＝1 n x 2 i－n x 2 ，a^＝ y －b^ x ， 其中 x ， y 为样本平均值)
解](1)∵∑x=20,∑=25,∴x=5∑x=4,y=∑=5, ∑x-5xy 112-5×4×5 90-5×42 1.2, ∑x2-5x2 a=y-6x=5-12×4=02.∴线性回归方程为少=12x+02 (2①由()知6=1,2>0,∴变量x与之间是正相关 ②由(1)知,当x=8时,=9.8,即使用年限为8年时,支出 维修费约是98万元
[解] (1)∵ i＝1 5 xi＝20， i＝1 5 yi＝25，∴ x ＝ 1 5 i＝1 5 xi＝4， y ＝ 1 5 i＝1 5 yi＝5， ∴^b＝ i＝1 5 xiyi－5 x y i＝1 5 x 2 i－5－x 2 ＝ 112－5×4×5 90－5×4 2 ＝1.2， ^a＝ y －^b x ＝5－1.2×4＝0.2. ∴线性回归方程为^y＝1.2x＋0.2. (2)①由(1)知^b＝1.2>0，∴变量 x 与 y 之间是正相关． ②由(1)知，当 x＝8 时，^y＝9.8，即使用年限为 8 年时，支出 维修费约是 9.8 万元．
[方法技巧 (1)正确理解计算分,a的公式和准确的计算是求线性回归 方程的关键. (2)回归直线方程y=bx+必过样本点中心(x,y) (3)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出 散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具有线性相 关关系,则可通过线性回归方程来估计和预测
(1)正确理解计算^b，^a的公式和准确的计算是求线性回归 方程的关键． (2)回归直线方程 y＝^bx＋^a必过样本点中心( x， y )． (3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出 散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相 关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测． [方法技巧]