2.1平面向量的实际背景及基本概念 难易度及题号 考查知识点及角度 基础 中档 稍难 向量的有关概念 匚向量的表示方法 相等向量或共线向量2、3、4 向量的应用 7、11 2 基磁巩固》 1.下列说法中正确的个数是() ①身高是一个向量.②∠AOB的两条边都是向量.③温度含零上和零下温度,所以温度 是向量.④物理学中的加速度是向量 解析:身高只有大小,没有方向,故①不是向量,同理③不是向量:对②,∠AOB的两 条边只有方向,没有大小,不是向量:④是向量,故选B 答案:B 2.命题“若a∥b,b∥c,则a∥c A.总成立 B.当a≠0时成立 C.当b≠0时成立 D.当c≠0时成立 解析:对于此命题,只有当b≠0时,才有a∥b,b∥c→a∥c,故选C. 答案:C 3.以下说法错误的是() A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 解析:平行向量方向相同或相反 答案:C 4.给出以下5个条件:①a=b:②a=|b:③a与b的方向相反:④|a=0或|b 0:⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是 (填序号) 解析:对①,a=b→a∥b;对②,|a=|b,不一定有两向量共线:对③,若a与b方 向相反,则有a∥b:对④,若a=0或b=0,则有a∥b;对⑤,两单位向量不一定共线.综 上可知①③④正确
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 考查知识点及角度 难易度及题号 基础 中档 稍难 向量的有关概念 1 6、8 向量的表示方法 10 相等向量或共线向量 2、3、4 9 向量的应用 5 7、11 12 1．下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量．②∠AOB 的两条边都是向量．③温度含零上和零下温度，所以温度 是向量．④物理学中的加速度是向量． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：身高只有大小，没有方向，故①不是向量，同理③不是向量；对②，∠AOB 的两 条边只有方向，没有大小，不是向量；④是向量，故选 B. 答案：B 2．命题“若 a∥b，b∥c，则 a∥c”( ) A．总成立 B．当 a≠0 时成立 C．当 b≠0 时成立 D．当 c≠0 时成立 解析：对于此命题，只有当 b≠0 时，才有 a∥b，b∥c⇒a∥c，故选 C. 答案：C 3．以下说法错误的是( ) A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等 C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量 解析：平行向量方向相同或相反． 答案：C 4．给出以下 5 个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a 与 b 的方向相反；④|a|＝0 或|b| ＝0；⑤a 与 b 都是单位向量．其中能使 a∥b 成立的是______．(填序号) 解析：对①，a＝b⇒a∥b；对②，|a|＝|b|，不一定有两向量共线；对③，若 a 与 b 方 向相反，则有 a∥b；对④，若|a|＝0 或|b|＝0，则有 a∥b；对⑤，两单位向量不一定共线．综 上可知①③④正确．
答案:①③④ 5.在四边形ABC中,AB=D且AB=|AD,则四边形的形状为 解析:∵AB=D,∴AB絨DC∴四边形ABD是平行四边形.又=mD,即AB=AD, 该四边形是菱形 答案:菱形 6.如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,在这6个向量中: (1)有两个向量的模相等,这两个向量是 它们的模都等于 (2)存在着共线向量,这些共线的向量是,它们的模的和等于 解析:结合图形可知 CH (2)与应哄线,=2VE,应=32,故+|=5E 答案:(1),在√10(2)D,应52 7.如图所示,在梯形ABCD中,若E、F分别为腰AB、DC的三等分 点,且|AD=2,|BC=5,求|EF 解:如图,过D作DH∥AB,分别交EF、BC于点G、B AD|=2, ∴|EGl|=|BH=2. 又|BC|=5,∴|BC=3 又E、F分别为腰AB、DC的三等分点, G为DH的三等分点 GF∥BC且|OF=3|BC1
答案：①③④ 5．在四边形 ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为______． 解析：∵AB →＝DC →，∴AB 綊 DC.∴四边形 ABCD 是平行四边形．又|AB →|＝|AD →|，即 AB＝AD， ∴该四边形是菱形． 答案：菱形 6．如图所示，每个小正方形的边长都是 1，在其中标出了 6 个向量，在这 6 个向量中： (1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________． (2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________． 解析：结合图形可知： (1)|CH →|＝|AE →|＝ 10. (2)DG →与HF →共线，|DG →|＝2 2，|HF →|＝3 2，故|DG →|＋|HF →|＝5 2. 答案：(1)CH →，AE → 10 (2)DG →，HF → 5 2 7.如图所示，在梯形 ABCD 中，若 E、F 分别为腰 AB、DC 的三等分 点，且|AD →|＝2，|BC →|＝5，求|EF →|. 解：如图，过 D 作 DH∥AB，分别交 EF、BC 于点 G、H， ∵|AD →|＝2， ∴|EG →|＝|BH →|＝2. 又|BC →|＝5，∴|HC →|＝3. 又 E、F 分别为腰 AB、DC 的三等分点， ∴G 为 DH 的三等分点． ∴GF →∥HC →且|GF →|＝ 1 3 |HC →|. ∴|GF →|＝1
E=E+6=2+1=3. 能力提升》 8.在平面内已知点O固定,且|OA|=2,则A点构成的图形是( A.一个点 B.一条直线 D.不能确定 解析:由于|OA=2,所以A点构成一个以O为圆心,半径为2的圆 答案:C 9.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量A是平行向量,与B是共线向量,则 解析:∵A,B,C不共线 AB与BC不共线 又m与AB,BC都共线 答案:0 10.在直角坐标系中画出下列向量,使它们的起点都是原点O,并求终点的坐标 (1)|a|=2,a的方向与x轴正方向的夹角为60°,与y轴正方向的夹角为30° (2)|a|=4,a的方向与x轴正方向的夹角为30°,与y轴正方向的夹角为120 (3)|a|=4V2,a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135 解:如图所示: 4135 2) (4,4) 11.已知四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,从G分 别是AD、DC的中点 求证:EF=G 证明:在△ABC中,由三角形中位线定理知,EF∥AC,BF=AG 同理,BG∥AC,m=1 所以酬=成且和成同向,故E=成 探究拓展》
∴|EF →|＝|EG →|＋|GF →|＝2＋1＝3. 8．在平面内已知点 O 固定，且|OA →|＝2，则 A 点构成的图形是( ) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 解析：由于|OA →|＝2，所以 A 点构成一个以 O 为圆心，半径为 2 的圆． 答案：C 9．已知 A，B，C 是不共线的三点，向量 m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则 m＝________. 解析：∵A，B，C 不共线， ∴AB →与BC →不共线． 又 m 与AB →，BC →都共线， ∴m＝0. 答案：0 10．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点 O，并求终点的坐标． (1)|a|＝2，a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 60°，与 y 轴正方向的夹角为 30°； (2)|a|＝4，a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 30°，与 y 轴正方向的夹角为 120°； (3)|a|＝4 2，a 的方向与 x 轴、y 轴正方向的夹角都是 135°. 解：如图所示： 11.已知四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，H、G 分 别是 AD、DC 的中点． 求证：EF →＝HG →. 证明：在△ABC 中，由三角形中位线定理知，EF∥AC，EF＝ 1 2 AC； 同理，HG∥AC，HG＝ 1 2 AC. 所以|EF →|＝|HG →|且EF →和HG →同向，故EF →＝HG →
12.如图所示,平行四边形ABCD中,O是两对角线AC,BD的交点 设点集s=4.B.B体,向量集合产圆爬∈,且从M不重,∠ 合}.试求集合T中元素的个数 解:由题可知,集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段,共有20个, EUAB, AC, AD, A0, BA, BC, BD, BO, CA, CB, CD, Co, DA, DB, DC, DO, OA, OB, 0C, OD. 由平行四边形的性质可知,共有8对向量相等,即=B,=B,=花,B=,= ,=,D=m,=成又集合元素具有互异性,故集合T中的元素共有12个 感悟升华 平面向量是既有大小又有方向的一种量,因此,在学习时要注意思维方式的改变,既要 考虑数量的大小,又要考虑方向的影响. 1.本节内容涉及的概念较多,必须认真辨析易混淆的概念,如向量与数量、向量与矢 量、向量与有向线段、平行向量与共线向量和相等向量等.这些内容是平面向量的起始内容 是构建向量理论体系的基础,要注意认真体会概念的内涵 2.关注几个特殊向量 (1)零向量:模为零的向量称为零向量,规定零向量与任一向量平行 (2)单位向量:模为1的向量,两个单位向量不一定相等 (3)相等向量:模相等,方向相同的向量 (4)共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当 然,同一直线上的向量也是平行向量
12.如图所示，平行四边形 ABCD 中，O 是两对角线 AC，BD 的交点， 设点集 S＝{A，B，C，D，O}，向量集合 T＝{MN →|M，N∈S，且 M，N 不重 合}．试求集合 T 中元素的个数． 解：由题可知，集合 T 中的元素实质上是 S 中任意两点连成的有向线段，共有 20 个， 即AB →，AC →，AD →，AO →，BA →，BC →，BD →，BO →，CA →，CB →，CD →，CO →，DA →，DB →，DC →，DO →，OA →，OB →，OC →，OD →. 由平行四边形的性质可知，共有 8 对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝ OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.又集合元素具有互异性，故集合 T 中的元素共有 12 个． 平面向量是既有大小又有方向的一种量，因此，在学习时要注意思维方式的改变，既要 考虑数量的大小，又要考虑方向的影响． 1．本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢 量、向量与有向线段、平行向量与共线向量和相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容， 是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵． 2．关注几个特殊向量 (1)零向量：模为零的向量称为零向量，规定零向量与任一向量平行． (2)单位向量：模为 1 的向量，两个单位向量不一定相等． (3)相等向量：模相等，方向相同的向量． (4)共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当 然，同一直线上的向量也是平行向量．