223向量数乘运算及其几何意义 课后篇巩固探究 A组基础巩固 1(2a+8b)(4a2等于() A2a-b B 2b-a C b-a D. a-b 解析原式=(2a+8b)34a2b)=彐+b-彐+b=a+2b=2b-a 答案B 2.下列说法正确的个数为() ①0a=0;②0a=0;③a0=0;④a0=0 A.1 B.2 C 3 D.4 解析本题考査数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此 本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B 答案B 3在△ABC中,D是线段BC的中点,且AB+Ac44E则() AAD=2 B AD=4AE C AD=2EA DAD=4EA 解析由已知得AB+AC=2AD所以AD=2AE 答案A 4已知AB=a+5b,BC=2a+8b,CD=3(ab),则 AACD三点共线 BB,CD三点共线 CAB,C三点共线 DA,B,D三点共线 解析因为BD=BC+CD=(2a+8b)+3(ab)=a+5b,所以AB=BD 又AB与BD有公共点B
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课后篇巩固探究 A 组 基础巩固 1. 等于( ) A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b 解析原式= (2a+8b)- (4a-2b)= a+ b- a+ b=-a+2b=2b-a. 答案 B 2.下列说法正确的个数为( ) ①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0. A.1 B.2 C.3 D.4 解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此 本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选 B. 答案 B 3.在△ABC 中,D 是线段 BC 的中点,且 =4 ,则( ) A. =2 B. =4 C. =2 D. =4 解析由已知得 =2 ,所以 =2 . 答案 A 4.已知 =a+5b, =-2a+8b, =3(a-b),则 ( ) A.A,C,D 三点共线 B.B,C,D 三点共线 C.A,B,C 三点共线 D.A,B,D 三点共线 解析因为 =(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以 . 又 有公共点 B
所以AB,D三点共线 答案D 5 在四边形ABCD中AB∥CDAB=3DCE为BC的中点,则E等于() A.348+ 1AB+2AD C6AB+]AD D 1AB+5AD 解析BC=BA+AD+D= +而后=丽+丽=届+=丽++ 答案A 6若AB=5e,CD7e,且两=,则四边形ABCD的形状是 解析由已知得AB=5C因此ABCD,且AC所以四边形ABCD是梯形 答案梯形 7.已知向量ab是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2m)b共线则实数m的值 为 解析因为向量ma3b与a+(2-m)b共线且向量ab是两个不共线的向量,所以m=-m,解 得m=1或m=3 答案-1或3 8. )导学号68254069在△ABC中,点M为边AB的中点,若OPOM且 0P=x0A+yoB(x≠0),则 解析:M为AB的中点,0=O+0
所以 A,B,D 三点共线. 答案 D 5. 在四边形 ABCD 中,AB∥CD,AB=3DC,E 为 BC 的中点,则 等于( ) A. B. C. D. 解析 =- )= . 答案 A 6.若 =5e, =-7e,且| |=| |,则四边形 ABCD 的形状是 . 解析由已知得 =- ,因此 ,且| |≠| |,所以四边形 ABCD 是梯形. 答案梯形 7.已知向量 a,b 是两个不共线的向量,且向量 ma-3b 与 a+(2-m)b 共线,则实数 m 的值 为 . 解析因为向量 ma-3b 与 a+(2-m)b 共线且向量 a,b 是两个不共线的向量,所以 m= ,解 得 m=-1 或 m=3. 答案-1 或 3 8. 导学号 68254069 在△ABC 中,点 M 为边 AB 的中点,若 ,且 =x +y (x≠0),则 = . 解析∵M 为 AB 的中点,∴ )
又DnoM,:存在实数A使0=AoM, 0p=2(OA+02A+0B 答案 如图,已知DE分别为△ABC的边ABAC的中点,延长CD到M使DM=CD延长BE至 N使BE=EN,求证:MAN三点共线 证明:D为MC的中点,且D为AB的中点 AB= AM+Ac AM= AB-AC=CB 同理可证明AN=AC-AB=BC AM AMA共线,又AM与A有公共点A ∴MAN三点共线 10(1)已知a=3+2]b=2H求(后ab)-(a3b(2 (2)已知向量a,b,且5x+2y=a3xy=b,求xy. 解(1)原式=aba+面+2ba=(31b+(1++2b=a+b a=3i+2j, b=2i-j 原式=3(3H+2)+2H)= 5+3i+ (3 (2)将3Xy=b两边同乘2得6x2y=2b
又 ,∴存在实数 λ,使 =λ , ∴ )= , ∴x=y= , ∴ =1. 答案 1 9. 如图,已知 D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 的中点,延长 CD 到 M 使 DM=CD,延长 BE 至 N 使 BE=EN,求证:M,A,N 三点共线. 证明∵D 为 MC 的中点,且 D 为 AB 的中点, ∴ . ∴ . 同理可证明 . ∴ =- . ∴ 共线,又 有公共点 A. ∴M,A,N 三点共线. 10.(1)已知 a=3i+2j,b=2i-j,求 +(2b-a); (2)已知向量 a,b,且 5x+2y=a,3x-y=b,求 x,y. 解(1)原式= a-b-a+ b+2b-a= a+ b=- a+ b. ∵a=3i+2j,b=2i-j, ∴原式=- (3i+2j)+ (2i-j)= i+ j=- i-5j. (2)将 3x-y=b 两边同乘 2,得 6x-2y=2b
与5x+2y=a相加得11x=a+2b, 1 1 =3X-b=3 B组能力提升 1如图AB是oO的直径点C,D是半圆弧AB的两个三等分点AB=aAC=b,则4D=() A a-b C a+ab D2a+b 解析由已知易得四边形AODC为菱形, 所以 AD=A0+ac=1AB+ac 答案D 2已知点P是△ABC内的一点=A+则△ABC的面积与△PB的面积之比 为() A.2 B.3 D.6 解析设BC的中点为D,则AB+AC=2AD 3(AB+ 如图过点A作AE⊥BC,交BC于点E过点P作PF⊥BC,交BC于点F
与 5x+2y=a 相加,得 11x=a+2b, ∴x= a+ b. ∴y=3x-b=3 -b= a- b. B 组 能力提升 1.如图,AB 是☉O 的直径,点 C,D 是半圆弧 AB 的两个三等分点, =a, =b,则 =( ) A.a- b B. a-b C.a+ b D. a+b 解析由已知易得四边形 AODC 为菱形, 所以 a+b. 答案 D 2.已知点 P 是△ABC 内的一点, ),则△ABC 的面积与△PBC 的面积之比 为( ) A.2 B.3 C. D.6 解析设 BC 的中点为 D,则 =2 . ∵ )= , 如图,过点 A 作 AE⊥BC,交 BC 于点 E,过点 P 作 PF⊥BC,交 BC 于点 F
则A 5△ABC3BCAE s△ PBC BCr PF=3 答案B 3已知M=30+30B设A则实数A的值为 解析因为=30+30,所以3OM+0=30+30于是30M-30=308-30M即 3AM=3MB,所以M=,所以=AB故A= 答案3 4在平行四边形ABCD中DE=ECBF=R若AC=+其中A∈R则 A+= 解析由平面向量的加法运算,有AC=AB+AD 因为 +DE +u( AB+ BR AD+=AB A 3+)A+(x+分 所以A68+AD=(+) +(2+2AD +=1 即 得(=故A+= 答案引 5在△ABC中点P是AB上一点,且CP=3CA+CBQ是BC的中点AQ与CP的交点 为M,且CM=C,求t的值
则 . ∴ =3. 答案 B 3.已知 ,设 =λ ,则实数 λ 的值为 . 解析因为 ,所以 ,于是 ,即 ,所以 ,所以 ,故 λ= . 答案 4.在平行四边形 ABCD 中, ,若 =λ +μ ,其中 λ,μ∈R,则 λ+μ= . 解析由平面向量的加法运算,有 . 因为 =λ +μ =λ( )+μ( )=λ +μ = . 所以 , 即 解得 故 λ+μ= . 答案 5.在△ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且 ,Q 是 BC 的中点,AQ 与 CP 的交点 为 M,且 =t ,求 t 的值
解:CF=32A+CB ∴3CP2cA+cB即2cF2cA=CB-c AP =PB,即P为AB的一个三等分点(靠近点A),如图所示 AM,Q三点共线 ∴设CM=xc+(1-x)CA=2C4(×1)Ac 又CB=厢-0∴C=2+(1) 又CP=AF-AC=3B-AC且cM+E 2AB+G2-1)Ac=t GAB-Ac 11=七解得t 6 导学号68254070已知△OBC中,点A是线段BC的中点点D是线段 OB的一个三等分点(靠近点B)设AB=a,AC=b (1)用向量a与b表示向量0c (2)若 OE=30A 判断C,DE是否共线并说明理由 解(1):AB=a,A0b,点A是BC的中点, =OA+ AC=-a-b (2)假设存在实数A使CE=ACD
解∵ , ∴3 =2 ,即 2 -2 . ∴2 ,即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近点 A),如图所示. ∵A,M,Q 三点共线, ∴设 =x +(1-x) +(x-1) , 又 ,∴ . 又 ,且 =t , ∴ =t . ∴ 解得 t= . 6. 导学号 68254070 已知△OBC 中,点 A 是线段 BC 的中点,点 D 是线段 OB 的一个三等分点(靠近点 B),设 =a, =b. (1)用向量 a 与 b 表示向量 ; (2)若 ,判断 C,D,E 是否共线,并说明理由. 解(1)∵ =a, =b,点 A 是 BC 的中点, ∴ =-a. ∴ =-a-b. (2)假设存在实数 λ,使 =λ
CE=C0+oE= 了-b) CD=CB+BD=CB+ + 3(a+b)=a+3, ∴a+b 入=1 3此方程组无解 ∴不存在实数A满足CE=ACD:CDE三点不共线
∵ =a+b+ (-b)=a+ b, = ) =2a+ (-a+b)= a+ b, ∴a+ b=λ , ∴ 此方程组无解, ∴不存在实数 λ,满足 =λ .∴C,D,E 三点不共线