2.2平面向量的线性运算 [要点梳理] 1.向量的有关概念 (1)向量是如何定义的? 提示:由 (2)零向量:长度为0的向量,其方向是的 3)单位向量:长度等于鱼 的向量 (4)平行向量:方向由 的非零向量 (5)相等向量:长度回 且方向应 的向量 6)相反向量:长度西且方向的的向量 温馨提醒:零向量和单位向量,它们的模是确定的,但是方向不确定,因此在解题时要注 它们的特殊性 2.向量的加法与减法 (1)加法 ①向量的加法服从哪两种运算法则? 提示:曲 ②向量的加法满足哪两种运算律? 提示: (2)减法:减法与加法互为逆运算,服从三角形法则 温馨提醒:(1)利用三角形法则进行加法运算时,两向量要首尾相连,和向量由第一个向量 的起点指向第二个向量的终点 (2)利用三角形法则进行减法运算时,两个向量要有相同的起点,然后连接两向量的终 点,并指向被减向量即为差向量 3.实数与向量的积 (1)IAa=l allal (2)当旦时,Aa与a的方向相同;当时,Aa与a的方向相反;当 λ=0时,Aa=0 (3)运算律:设A,∈R,则: ②(A+u)B
1 。 。 内部文件，版权追溯 2.2 平面向量的线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量是如何定义的？ 提示：□1 ____________________________________________ (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是□2 ________的． (3)单位向量：长度等于□3 ____________的向量． (4)平行向量：方向□4 __________的非零向量． (5)相等向量：长度□5 ________且方向□6 ________的向量． (6)相反向量：长度□7 ________且方向□8 ________的向量． 温馨提醒：零向量和单位向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意 它们的特殊性． 2．向量的加法与减法 (1)加法 ①向量的加法服从哪两种运算法则？ 提示：□9 ____________________________________________ ②向量的加法满足哪两种运算律？ 提示：□10____________________________________________ (2)减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则． 温馨提醒：(1)利用三角形法则进行加法运算时，两向量要首尾相连，和向量由第一个向量 的起点指向第二个向量的终点． (2)利用三角形法则进行减法运算时，两个向量要有相同的起点，然后连接两向量的终 点，并指向被减向量即为差向量． 3．实数与向量的积 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当□11________时，λa 与 a 的方向相同；当□12________时，λa 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0. (3)运算律：设λ，μ∈R，则： ①λ(μa)＝□13________； ②(λ＋μ)a＝□14________；
③A(a+b)=互 4.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得 温馨提醒:向量的平行与直线的平行不同,向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种 情形 双基自测 1.D是△ABC的边AB上的中点,则向量CD等于 成一B 成一成 D. BC+-BA 2.判断下列四个命题 ①若a∥b,则a=b;②若|a=|b,则a=b:③若|a=|b|,则a∥b;④若a=b,则|a 正确的个数是 A.1B.2C.3D.4 3.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 A EF= OF+OE B EF= OF-OF C EF=-OF+OE D EF=-OF-OF 4.(2011·四川)如图,正六边形 ABCDEF中,BA+CD+EFP= B BE D CF 5.设a与b是两个不共线向量,且向量a+Ab与2a-b共线,则A= 考向一平面向量的概念 【例1】下列命题中正确的是() A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 【训练1】给出下列命题: ①若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=D是四边形ABCD为平行四边形的充要条件 ②若a=b,b=c,则a=c ③a=b的充要条件是|a=|b|且a∥b
2 ③λ(a＋b)＝□15________． 4．两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得□16________． 温馨提醒：向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种 情形． 双基自测 1． D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD →等于 ( )． A．－BC →＋ 1 2 BA → B．－BC →－ 1 2 BA → C. BC →－ 1 2 BA → D. BC →＋ 1 2 BA → 2．判断下列四个命题： ①若 a∥b，则 a＝b；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③若|a|＝|b|，则 a∥b；④若 a＝b，则|a| ＝|b|. 正确的个数是 ( )． A．1 B．2 C．3 D．4 3．若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )． A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE → 4．(2011·四川)如图，正六边形 ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( )． A．0 B.BE → C.AD → D.CF → 5．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与 2a－b 共线，则 λ＝________. 考向一 平面向量的概念 【例 1】下列命题中正确的是( )． A．a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 【训练 1】 给出下列命题： ①若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ②若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ③a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b；
④若a与b均为非零向量,则a+b与|a+|b一定相等. 其中正确命题的序号是 考向二平面向量的线性运算 【例2】如图 D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则() A AD+ BE+CF=0 B. BD-CE+ DF=0 C AD+ CE- CF=0 D BD- BE- FC=0 【训练2】在△ABC中,AB=c,AC=b,若点D满足BD=2D,则AD= A -b+-c B b D -b+-c 考向三共线向量定理及其应用 【例3】·设两个非零向量a与b不共线 (1)若加=a+b,成=2a+8b,d=3(a-b) 求证:A,B,D三点共线 (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线
3 ④若 a 与 b 均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中正确命题的序号是________． 考向二 平面向量的线性运算 【例 2】如图， D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则( )． A.AD →＋BE →＋CF →＝0 B.BD →－CF →＋DF →＝0 C.AD →＋CE →－CF →＝0 D.BD →－BE →－FC →＝0 【训练 2】 在△ABC 中，AB →＝c，AC →＝b，若点 D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝ ( )． A. 2 3 b＋ 1 3 c B. 5 3 c－ 2 3 b C. 2 3 b－ 1 3 c D. 1 3 b＋ 2 3 c 考向三 共线向量定理及其应用 【例 3】►设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若AB →＝ a ＋ b ，BC →＝2 a ＋8 b ，CD →＝3( a －b )． 求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 k a ＋ b 和 a ＋k b 共线．
【训练3】已知a,b是不共线的向量,AB=Aa+b,AC=a+b(A,∈R),那么A,B, C三点共线的充要条件是() A.A+4=2 A=1 基础达标演练 选择题 1.如图所示,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是() A、=bB、,+=龙C、AD=成D、A+=0 2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设P是△ABC所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则( A. PA-+PB=0 B PC+ PA=0 C.+P=0 D.P++P=0 4.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,Cm=3CH+1CB,则A=() C 填空题 5.在ABCD中,加=a,=b,=3花,M为BC的中点,则 (用a,b表示) 6.给出下列命题 ①向量A长度与向量BA的长度相等 ②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同: ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量 ⑤向量店与向量C是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上
4 【训练 3】已知 a，b 是不共线的向量，AB →＝λa＋b，AC →＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么 A，B， C 三点共线的充要条件是( )． A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 基础达标演练 一、选择题 1．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是( )． A、AB →＝DC → B、.AD →＋AB →＝AC → C、AB →－A D →＝BD → D、AD →＋CB →＝0 2．对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设 P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )． A.PA →＋PB →＝0 B.PC →＋PA →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.PA →＋PB →＋PC →＝0 4．在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝ 1 3 CA →＋λCB →，则 λ＝( )． A. 2 3 B. 1 3 C．－ 1 3 D．－ 2 3 二、填空题 5．在▱ABCD 中，AB →＝a，AD →＝b，AN →＝3NC →，M 为 BC 的中点，则 MN →＝________.(用 a，b 表示) 6．给出下列命题： ①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等； ②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量AB →与向量CD →是共线向量，则点 A、B、C、D 必在同一条直线上．
其中不正确的个数为 7.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若AC=4AE+4AF,其中A, ∈R,则A+u 三、解答题 8.如图所示,△ABC中,AD==AB,DE∥BC交AC于E,AM是BC边上的中线,交DE于M设 AB=a,AC=b,用a,b分别表示向量AE,BC,DE,DM,AM,AM 答案 【要点梳理】 由既有大小又有方向的量2任意已1个单位长度由相同或相反西相等相 同西相等凶相反服从三角形法则和平行四边形法则 a+b=b+a(交换律);(a+b)+c=a+(b+c)(结合律)莒λ>0λ<0 目(λp)a国λa+Ha酉λa+Ab凹b= 双基自测1、A2、A3、B4、D5、_1 【例1】解析由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确:由于数学中研究的向量是自 由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,所以B不正 确;向量的平行只要求方向相同或相反,与起点是否相同无关,所以D不正确;对于C,其 条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假设a与b不都是非零向量,即a 与b中至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可知a与b共线,符合已知条 件,所以有向量a与b不共线,则a与b都是非零向量,故选C. 答案C 【训练1】答案①② 【例2】解析∵AB+BC+CA=0,∴2AD+2BE+2CF=0 即AD+B+CF=0 答案A 【训练2】解析∵BD=2D,∴ADAB=2(AC-AD ∴3AD=2AC+AB AD=-AC+-AB=-b+-c
5 其中不正确的个数为________． 7．在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中 λ， μ∈R，则 λ＋μ＝________. 三、解答题 8．如图所示，△ABC 中，AD →＝ 2 3 AB →，DE∥BC 交 AC 于 E，AM 是 BC 边上的中线，交 DE 于 N.设 AB →＝a，AC →＝b，用 a，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM →，AN →. 答案 【要点梳理】 □1 既有大小又有方向的量 □2 任意 □3 1 个单位长度 □4 相同或相反 □5 相等 □6 相 同 □7 相等 □8 相反 □9 服从三角形法则和平行四边形法则 □10a＋b＝b＋a(交换律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律) □11λ＞0 □12λ＜0 □13(λμ)a □14λa＋μ a □15λa＋λb □16b＝λa 双基自测 1、A 2、A 3、B 4、D 5、－ 1 2 【例 1】解析 由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自 由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以 B 不正 确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以 D 不正确；对于 C，其 条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设 a 与 b 不都是非零向量，即 a 与 b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知 a 与 b 共线，符合已知条 件，所以有向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，故选 C. 答案 C 【训练 1】答案 ①② 【例 2】解析 ∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴2AD →＋2BE →＋2CF →＝0， 即AD →＋BE →＋CF →＝0. 答案 A 【训练 2】解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB → ∴AD →＝ 2 3 AC →＋ 1 3 AB →＝ 2 3 b＋ 1 3 c
答案A 【例3】(1)证明∵加=a+b,B=2a+8b,C=3(ab) 成=成+D=2a+8b+3(a-b)=5(a+b=5B ∴AB,B共线,又它们有公共点,∴A,B,D三点共线 (2)解∵阳+b与+晒共线 存在实数A,使阳a+b=1(a+Ab), 即(k-A)a=(Ak-1)b 又a,b是两不共线的非零向量 ∴k-A=Ak-1=0.∴2-1=0.∴.k=±1 【训练3】解析由A=1a+b,C=a+山b(,∥∈R)及A,B,C三点共线得:AB=tC, 所以Aa+b=t(a+b)=ta+tb,即可得 1=tu 所以Ay=1.故选D. 基础达标演练 、选择题1、C2、A3、B4、A 4 填空题 a+=6 三、解答题 8、解在=2b,成=b-a,=2(b-a,D=(b-a), AM-(a+6), AN=-(a+b) 6
6 答案 A 【例 3】(1)证明 ∵AB →＝a＋b，BC →＝2a＋8b，CD →＝3(a－b)． ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点，∴A，B，D 三点共线． (2)解 ∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又 a，b 是两不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.∴k 2－1＝0.∴k＝±1. 【训练 3】解析 由AB →＝λa＋b，AC →＝a＋μb(λ，μ∈R)及 A，B，C 三点共线得：AB →＝t AC →， 所以 λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得 λ＝t， 1＝tμ， 所以 λμ＝1.故选 D. 基础达标演练 一、选择题 1、C 2、A 3、B 4、A 二、填空题 5、 － 1 4 a＋ 1 4 b 6、3 7 、 4 3 三、解答题 8、解 AE →＝ 2 3 b，BC →＝b－a，DE →＝ 2 3 (b－a)，DN →＝ 1 3 (b－a)， AM →＝ 1 2 (a＋b)，AN →＝ 1 3 (a＋b)．