数学学科必修4模块第二单元教学设计方案 第五学时~第六学时 2.2平面向量的线性运算 (一)学习目标 11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 13.会用坐标表示平面向量共线的条件,进而解决一些相关问题 14.了解平面向量的基本定理及其意义 22.通过探究学生体会正交分解定理的形成过程,培养学生观察,类比联想 等发现规律的一般方法,培养学生提出问题,分析问题和解决问题的能力. 23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养,激发学生的学习兴趣和钻 研精神 (二)重点难点 1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用 2.难点是平面向量的基本定理及其意义 (三)教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 前面对轴上向量通过单位向量可以建立 复与实数的一一对应,从而给出了轴上向量的/让学生回忆轴从一维向二 习坐标表示从而对平面上的任一方向的向/上向量及其坐 引量,都可以用相应的轴给出坐标表示,那么/标表示相关的维,从已知到 入能否仅仅使用两条互相垂直的轴数量化表概念及思想方未知,引入新 课题 示平面上所有向量呢?这种表示唯一吗? 借助已经学过的平面直角坐标系 师生共同探究 1)分别确认x轴和y轴上的单位向量e、对平面上向量 e2那么这两条轴上的向量都可以用相应的的正交分解的 坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同.存在唯一性,有 例如横轴、纵轴上的向量坐标3分别表示3所感受.确认坐 er、3e2 标表示向量的/感受正交分 (2)与轴不平行的平面向量,可以分解为两可行性,及其具 解产生的合 新/个轴上的向量之和(从而表示成两个基向体表示方法理性.使学生 量的线性组合。即:a=xe1+ye) 容易接受平 ()取平面上两条互相垂直的单位向量 面向量的坐 标表示,使部 究 e,那么对该平面内的任意向量a,都存在 准一的一对实数x、y,使a= gerty e 分学生感受 例如课本103页练习A第一题 数学证明的 证明课本96页,97页 严谨性和必 (4)这里{e,e}叫做这一平面内所有向量这里给出了课 要性 的一组正交基底:xe+ye叫做a关于基底本97页的两个 e,en}的分解式:(x,y)叫做a关于基概念,学生知道 底{a,e}下的坐标,即a=(x,y);x(y)这些名词就可 是向量a在横(纵)轴上的正投影向量的在 以了
数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案 第五学时～第六学时 2．2 平面向量的线性运算 （一）学习目标 11.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 12.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 13.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题. 14.了解平面向量的基本定理及其意义. 22.通过探究 学生体会正交分解定理的形成过程，培养学生观察,类比联想 等发现规律的一般方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力. 23.使学生逐步养成独立思考与互助学习的素养，激发学生的学习兴趣和钻 研精神. （二）重点难点 1.重点是让学生掌握平面向量正交分解下的坐标表示及其应用 2.难点是平面向量的基本定理及其意义. （三）教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 复 习 引 入 前面 对轴上向量 通过单位向量 可以建立 与实数的一一对应,从而给出了轴上向量的 坐标表示.从而对平面上的任一方向的向 量，都可以用相应的轴给出坐标表示，那么 能否仅仅使用两条互相垂直的轴 数量化表 示平面上所有向量呢?这种表示唯一吗? 让学生回忆轴 上向量及其坐 标表示相关的 概念及思想方 法 从一维向二 维,从已知到 未知，引入新 课题 新 课 探 究 借助已经学过的平面直角坐标系. (1)分别确认 x 轴和 y 轴上的单位向量 e1、 e2 那么这两条轴上的向量都可以用相应的 坐标表示,不同轴上的向量坐标意义不同. 例如横轴、纵轴上的向量坐标 3 分别表示 3 e1、3e2 (2)与轴不平行的平面向量,可以分解为两 个轴上的向量之和.(从而表示成两个基向 量的线性组合。即：a=xe1+ye2） (3)取平面上两条互相垂直的单位向量 e1、 e2，那么对该平面内的任意向量 a，都存在 唯一的一对实数 x、y，使 a=xe1+ye2。 例如 课本 103 页练习 A 第一题 证明 课本 96 页，97 页 (4)这里｛e1，e2｝叫做这一平面内所有向量 的一组正交基底；xe1+ye2 叫做 a 关于基底 ｛e1，e2｝的分解式；（x,y）叫做 a 关于基 底｛e1，e2｝下的坐标，即 a＝（x,y）；x(y) 是向量 a 在横(纵)轴上的正投影向量的在 师生共同探究, 对平面上向量 的正交分解的 存在唯一性,有 所感受.确认坐 标表示向量的 可行性,及其具 体表示方法 这里给出了课 本 97 页的两个 概念，学生知道 这些名词就可 以了 感受正交分 解产生的合 理性.使学生 容易接受平 面向量的坐 标表示,使部 分学生感受 数学证明的 严谨性和必 要性
(横纵)轴上的坐标。显然 0=(0,0),er=(1,0),er=(0,1) 5)平面直角坐标系中有序实数对(x,y)向量的直角坐 就有了双重意义,既表示点(x,y,又可以标表示及其运 表示向量x,y),叙述中应在前面注明 算性质,学生应 (6)容易证明:两个向量和与差的坐标等于该容易接受,甚 两个向量坐标的和与差;数乘向量的坐标等至给出证明 于该数与向量相应坐标的乘积。即: 些学生可能不 如果a=(x,y),b=(x,y2),那么 理解证明的必 a±b=(x土x2,y±y2),λa=(x,Ay) 要性和合法性 a∥b的充要条件是xy2=x2y1(需要证明) (不易深究)。 7)介绍:任意给定平面中两个不平行的向 量e、a,那么平面中所有向量a都可以用一般学生以了 这两个向量表示。即a=xe+ya1这里x、y解为主,重在以 是唯一确定的一对有序实数。{e,e2}叫做具体问题为载 这一平面内所有向量的一组基底:xe+ye2体,落实基本定 叫做a关于基底{e1,e}的分解式 理的思想方法 例如课本96页图2-34,证明同(3)。(消点法) 例11.课本100页例1。 复习巩固初 在直角坐标系x0y中, 中特殊角三 向量a,b,c的方向 所有例题,角函数,学会 和长度如图所示。 以教师为主导,用坐标表 分别求它们的坐标。 关注优秀生|向量,为数量 积作准备 例12.课本102页例5,含101页例2、4 是否能 已知口ABCD的三个顶点 从想得通可以进行多 A(-2,1),B(0,3),C(3,4) 到写得通种解法,以达 求(1)向量BA的坐标、方向和长度 再到讲得通到复习巩固 深(2)向量BD的坐标、顶点D的坐标。 适当的给他们向量的坐标 化 机会锻炼展示;表示,并用于 向量的加减 理 解|总结:一个向量的坐标等于向量终点的坐关注一般同学及数乘运算 标减去向量起点的坐标。即 是否能 使学生加深 AB=A0+B=0B-0A=(x1-x2,y1-y) 从想不通 例13.课本102页例6,含101页例3 到想得通 已知 D,B(,4,求线段的中点再到写得通这里,初中学 注:OM=0A+M=0A+0.5AB=0.5(0A+0B),间来思考学习生已经接触 和三等分点P、Q的坐标 过中点坐标 这里的向量分解变形是重点也是难点。 公式。学生基 注:例题到此,应进行学生独立练习巩固 教师协调|础好,可以另 全班讨论 用向量的方 法给出证明
(横纵)轴上的坐标。显然 0=(0,0),e1=(1,0),e2=(0,1) (5)平面直角坐标系中 有序实数对（x,y） 就有了双重意义，既表示点(x,y)，又可以 表示向量(x,y),叙述中应在前面注明。 (6)容易证明：两个向量和与差的坐标等于 两个向量坐标的和与差；数乘向量的坐标等 于该数与向量相应坐标的乘积。即： 如果 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 那么 a±b=(x1±x2,y1±y2),λa=(λx1,λy1) a∥b 的充要条件是 x1y2=x2y1(需要证明) (7)介绍：任意给定平面中两个不平行的向 量 e1、e2，那么平面中所有向量 a 都可以用 这两个向量表示。即 a=xe1+ye2.这里 x、y 是唯一确定的一对有序实数。｛e1，e2｝叫做 这一平面内所有向量的一组基底；xe1+ye2 叫做 a 关于基底｛e1，e2｝的分解式. 例如 课本 96 页图 2－34，证明同(3)。 向量的直角坐 标表示及其运 算性质，学生应 该容易接受，甚 至给出证明。一 些学生可能不 理解证明的必 要性和合法性 （不易深究）。 一般学生以了 解为主，重在以 具体问题为载 体，落实基本定 理的思想方法 （消点法）。 深 化 理 解 例 11.课本 100 页例 1。 在直角坐标系 xOy 中， 向量 a，b，c 的方向 和长度如图所示。 分别求它们的坐标。 所有例题， 以教师为主导， 关注优秀生 是否能 从想得通 到写得通 再到讲得通 适当的给他们 机会锻炼展示； 关注一般同学 是否能 从想不通 到想得通 再到写得通 给他们充分时 间来思考学习 教师协调 全班讨论 复习巩固初 中特殊角三 角函数，学会 用坐标表示 向量，为数量 积作准备 例 12. 课本 102 页例 5，含 101 页例 2、4 已知 ▱ABCD 的三个顶点 A(-2,1),B(0,3),C(3,4)， 求(1)向量 BA 的坐标、方向和长度； (2)向量 BD 的坐标、顶点 D 的坐标。 总结:一个向量的坐标等于向量终点的坐 标减去向量起点的坐标。即 AB＝AO+OB＝OB－OA＝(x1－x2,y1－y2) 可以进行多 种解法，以达 到复习巩固 向量的坐标 表示，并用于 向量的加减 及数乘运算， 使学生加深 理解 例 13．课本 102 页例 6，含 101 页例 3 已知 A(-2,1),B(4,4)，求线段 AB 的中点 M 和三等分点 P、Q 的坐标。 注：OM＝OA＋AM＝OA＋0.5AB＝0.5(OA+OB)， 这里的向量分解变形是重点也是难点。 注：例题到此，应进行学生独立练习巩固 这里，初中学 生已经接触 过中点坐标 公式。学生基 础好，可以另 用向量的方 法给出证明 y 30 x 30 45
例21.课本104页例1 已知向量AB=(2,5),向量a=(1,y) 熟悉巩固向 若向量AB∥a.求a的纵坐标y 量平行或共 线的坐标条 例22.课本104页例2直角坐标系x0y内, 件,通过证明 已知A(-2,-3),B(0,1),C(2,5)。 共线,感受向 求证A,B,C三点共线 量法的优势 例31.课本97页例1 已知口ABCD的两条对角线相交于点M,试用 基底{AB,AD}表示向量MA,MB,MC,MD 这是基本定 理的例子,渗 透了消元法 例32.课本97页例2 (消点法)思 已知直线AB上任意点P及直线AB外一点O。 想,练习量依 以{OA,OB}为基底,写出向量OP的分解式 据学生具体 情况而定 课/练习1:课本103页练习A2,4,5;BL,2,3,4对于部分习题对应学生的 堂/东习2:课本105页练习Al,2,3:Bl,2 师生可以在充差异性,同学 练 练习3:课本98页练习A1,3,5:B1,3,4分独立思考的们在合作交 习 基础上,进行小流中获得不 组讨论 同的发展 今天学会了: ①向量的坐标表示 这是学生总 归②坐标表示的向量的加减及数乘运算 结本课堂研 纳③向量平行的坐标条件 究内容的练 小④平面向量的基本定理 师生共同完成习机会,使学 生反思学习 进程的反馈 时间 作业1:课本105页习题2-2A2,3,4,5,6. 作作业2:课本106页习题22,3 温习巩固 业 127页9,11,19 学生自主完成逐步理解 课后反馈
例 21．课本 104 页例 1 已知 向量 AB=(2,5),向量 a=(1,y), 若 向量 AB∥a.求 a 的纵坐标 y. 例 22．课本 104 页例 2 直角坐标系 xOy 内， 已知 A(-2,-3),B(0,1),C(2,5)。 求证 A,B,C 三点共线 例 31．课本 97 页例 1 已知 ▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，试用 基底｛AB,AD｝表示向量 MA,MB,MC,MD. 例 32．课本 97 页例 2 已知直线 AB 上任意点P 及直线 AB 外一点 O。 以｛OA，OB}为基底，写出向量 OP 的分解式 熟悉巩固向 量平行或共 线的坐标条 件，通过证明 共线，感受向 量法的优势 这是基本定 理的例子，渗 透了消元法 （消点法）思 想，练习量依 据学生具体 情况而定 课 堂 练 习 练习 1：课本 103 页练习 A2,4,5;B1,2,3,4 练习 2：课本 105 页练习 A1,2,3；B1,2 练习 3：课本 98 页练习 A1,3,5;B1,3,4 对于部分习题 师生可以在充 分独立思考的 基础上，进行小 组讨论. 对应学生的 差异性，同学 们在合作交 流中获得不 同的发展 归 纳 小 结 今天学会了： ①向量的坐标表示 ②坐标表示的向量的加减及数乘运算 ③向量平行的坐标条件 ④平面向量的基本定理 师生共同完成 这是学生总 结本课堂研 究内容的练 习机会，使学 生反思学习 进程的反馈 时间 作 业 作业 1：课本 105 页习题 2-2A2,3,4,5,6. 作业 2：课本 106 页习题 2-2B2,3. 127 页 9，11，19 学生自主完成 温习巩固， 逐步理解 课 后 反 馈
2.2.2平面向量的正交分解及其坐标表示 例1 例3 相关名词介绍 板‖插入课本图2-38 书 例2 设2.坐标表示的向量 3.向量坐标运算的性质 2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件 向量共线条件: 平面基本定理介绍 例 例 板书设计 例2 例4 归纳小结 归纳小结: 《标准》表述《标准》要求的具体化和深广度分析。。《大纲》相应的要求] ①了解平面向如:某人在静水中游泳,速度为每小时3m,了解平面向量的基 量的基本定理水流的速度为每小时4km,如果他要垂直游到对本定理 及其意义 岸,则他的实际速度是多少?(实际速度的正交②理解平面向量的坐 ②掌握平面向分解) 标的概念 量的正交分解②如:已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别③掌握平面向量的坐 及其坐标表为A-2,1),B(3,4),C(-1,3),则顶点D标运算 的坐标为 (向量的坐标表示)④理解两个向量共线 ③会用坐标表 示平面向量的 如:已知A0),BG3-)且点C在∠DB的/的充要条件 加、减与数乘 运算 平分线上,若OC=2,则向量 ④理解用坐标 表示的平面向 (定比分点) 量共线的条 件 ④已知向量OA=(k,12),OB=(4,5) OC=(-k,10)且A,B,C三点共线,则 (向量共线)
板 书 设 计 一 2．2．2 平面向量的正交分解及其坐标表示 例 1 例 3 例 2 板 书 设 计 二 2．2．3 用平面向量坐标表示向量共线条件 向量共线条件： 平面基本定理介绍 例 1 例 3 例 2 例 4 归纳小结： 归纳小结： 《标准》表述 《标准》要求的具体化和深广度分析 《大纲》相应的要求 ①了解平面向 量的基本定理 及其意义． ②掌握平面向 量的正交分解 及其坐标表 示． ③会用坐标表 示平面向量的 加、减与数乘 运算． ④理解用坐标 表示的平面向 量共线的条 件． ①如：某人在静水中游泳，速度为每小时 3km， 水流的速度为每小时 4km ，如果他要垂直游到对 岸，则他的实际速度是多少？（实际速度的正交 分解） ②如：已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标分别 为 A(-2，1)，B（3，4），C（-1，3），则顶点 D 的坐标为___________．（向量的坐标表示） ③如：已知 A(0,1) ，B(3, 4) − 且点 C 在 AOB 的 平分线上，若 OC = 2 ，则向量 OC =_________．（定比分点） ④ 已 知 向 量 OA k = ( ,12) ， OB = (4,5) ， OC k = −( ,10) 且 A ， B ， C 三 点 共 线 ， 则 k =_________．（向量共线） ①了解平面向量的基 本定理 ②理解平面向量的坐 标的概念 ③掌握平面向量的坐 标运算 ④理解两个向量共线 的充要条件 1．相关名词介绍 插入课本图 2－38 2．坐标表示的向量 3．向量坐标运算的性质