平面向量的正交分解及坐标表示,平面向量的坐标运算 学习目标: 理解并掌握向量的正交分解 理解并掌握向量的坐标表示 课前导学 (一)基础梳理: 如果、是同一个平面内的两个的向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数小,使= 2+λ其中不共线向量、称为这个平面的一组 谷案:不共线;基底 如图边长为1的两个正方形拼接为矩形ABCD 击=e1,AM=e,龙=x1e1+2e2,则数对(1, 谷案:0 (二)预习 向量的正交分解 把一个向量分解为的向量,叫做把向量正交分解 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底,对于平面内的一个向量,有 且只有一对实数、,使得=+,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作=,其中叫做在轴上的坐标,叫做 在轴上的坐标 答案:、两个互相垂直;、();(,)。 平面向量的坐标运算 已知=(,),=(),则 0+=,一=即两个向量和、差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和、差 Oi=(∈).即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标, 答案:()(十,+);(-,一).()(, (3)若A点坐标为(x1,y),B点坐标为(x2,y2), O为坐标原点则O= =亦-=(x2,y)-(r1,p)= 即一个向量的坐标等 于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标 答案:();();( 已知(),(,),那么点(一,一)如何作出? 提示: AB=(x2-x1,y2-y),把石平移至A与O点 重合,得向量OP, 则GP=(x2-x1,y2-y), P(x2-x1,y2-y1)
平面向量的正交分解及坐标表示，平面向量的坐标运算 一、学习目标： .理解并掌握向量的正交分解． ．理解并掌握向量的坐标表示． 二、课前导学： (一)基础梳理： ．如果、是同一个平面内的两个的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数 λ、λ，使＝ λ＋λ.其中不共线向量、称为这个平面的一组 答案：不共线；基底 答案：()． （二）预习 ．向量的正交分解 把一个向量分解为的向量，叫做把向量正交分解． ．向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有 且只有一对实数、，使得＝＋，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作＝，其中叫做在轴上的坐标，叫做 在轴上的坐标． 答案：、两个互相垂直；、(，)；(，)。 ．平面向量的坐标运算 已知＝(，)，＝(，)，则 ()＋＝，－＝即两个向量和、差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和、差． ()λ＝(λ∈)．即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 答案：（）(＋，＋)；(－，－)．（）(λ，λ) 答案：(，)；(，)；(－，－)． ．已知(，)，(，)，那么点(－，－)如何作出？ 2. 如图边长为1的两个正方形拼接为矩形ABCD， AD→ ＝e1，AM→ ＝e2，AC→ ＝λ1e1＋λ2e2，则数对(λ1， λ2)为_______ (3)若 A 点坐标为(x1，y1)，B 点坐标为(x2，y2)， O 为坐标原点，则OA→ ＝_______，OB→ ＝_______， AB→ ＝ OB→ － OA→ ＝ (x2 ， y2) － (x1 ， y1) ＝ ______________________即一个向量的坐标等 于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标． 提示： A B→ ＝(x2－x1，y2－y1)，把AB→ 平移至 A 与 O 点 重合，得向量OP→ ， 则OP→ ＝(x2－x1，y2－y1)， ∴P(x2－x1，y2－y1)．
设A(2,1),B(-1,0),O0,0),将向量O4的 起点O移到B点,OA的坐标为多少? 提示:平移向量是相等向量,O4坐标仍为(2,1) (三)自测 O,O,则的坐标是() 解析:选=(-0=(-) 已知平面向量=O,=(,-),则向量一等于() 解析:选0-(,一)=(一,十)=(-) 在中,已知=O,=(-),对角线、相交于点,则=() 解析:选∴∵ (+)=-×(-)-×0=(-,一),∴选 若+=(-,-),一=0,则向量=,向量 解析:+=( ①+②,得=×[( )+0]=(,-) ①一②,得=×(一,-)-O]=(一,一) 答案:(,一)(-, 三、合作探究: 在平面直角坐标系内,每一个向量都可以用一个有序实数对表示,即坐标可以把向量的起点 平移到坐标原点,看其终点坐标即可,也可以把一个向量分解到两个轴上,看其对应的实数 对 探究一、向量的正交分解 例:在直角坐标系中,向量,,的方向如图所示,且=,=,=,分别计算出它们的坐标 【思路分析】本题主要考查向量的正交分解,把它们 分解成横、纵坐标的形式 b30 【解】设a=(a1,a2)b=(b1,b2),c=(c1 则a=cods2×2=l, 30° a2=lin45°=×y2=V2; b1=|bcos1200=3×(-)
（三）自测： ．()，()，则的坐标是( ) ．(－) ．(，－) ．(，－) ．(－) 解析：选＝()－()＝(－)． ．已知平面向量＝()，＝(，－)，则向量－等于( ) ．(－，－) ．(－) ．(－) ．(－) 解析：选()－(，－)＝(－，＋)＝(－)． ．在▱中，已知＝()，＝(－)，对角线、相交于点，则＝( ) ．(－，) ．(－，－) ．(，－) ．(，) 解析：选.∵＝－＝－(＋)＝－×(－)－×()＝(－，－)，∴选. ．若＋＝(－，－)，－＝()，则向量＝，向量＝. 解析：＋＝(－，－)，① －＝()．② ①＋②，得＝×[(－，－)＋()]＝(，－)； ①－②，得＝×[(－，－)－()]＝(－，－)． 答案：(，－) (－，－) 三、合作探究： 在平面直角坐标系内，每一个向量都可以用一个有序实数对表示，即坐标可以把向量的起点 平移到坐标原点，看其终点坐标即可，也可以把一个向量分解到两个轴上，看其对应的实数 对． 探究一、向量的正交分解 例：在直角坐标系中，向量，，的方向如图所示，且＝，＝，＝，分别计算出它们的坐标． 【思路分析】 本题主要考查向量的正交分解，把它们 分解成横、纵坐标的形式． 2．设 A(2,1)，B(－1,0)，O(0,0)，将向量OA→ 的 起点 O 移到 B 点，OA→ 的坐标为多少？ 提示：平移向量是相等向量，OA → 坐标仍为(2,1)． 【解】 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1， c2)， 则 a1＝|a|cos45°＝2× 2 2 ＝ 2， a2＝|a|sin45°＝2× 2 2 ＝ 2； b1＝|b|cos120°＝3×(－ 1 2 )＝－ 3 2 ， b2＝|b|sin120°＝3× 3 2 ＝ 3 3 2 ；
c1=co=30)=4×2=2V3, c2=csn(-30)=4×(-2)=-2 因此a=2,V2),b=(-2,2),c=(2 【思维总结】 (1)向量的坐标就是向量在x轴和y轴上的分量, B 而与向量的位置无关,如图AB的坐标为(B A2,B1-41) A (2)利用任意角的三角函数定义,若a=(a1,a2) a的方向相对于x轴正向的转角为B,则有 a1=acos, B2 变式已知是坐标原点,点在第一象限 √,∠=°,求向量的坐标 解:设点4(x,y),则x=4√3cos60°=23,y= 43sin60°=6,即A23,6),OA=(23,6) 探究二、平面向量的坐标运算 平面向量用坐标形式表示,向量的运算就能转化为代数形式的运算 例、(1)已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5 C(1,8), 求在、花+花霜一花、2+,花; (2)已知a=(1,2),b=(-3,4),求向量a+b,a b,3a-4b的坐标 【思路分析】(1)先计算出AB,AC,再进行 向量的线性运算 (2)直接利用向量的坐标运算 【解】(1):A(4,6)、B(7,5)、C(1,8) ∴AB=(7,5)-(4,6=(3,-1) 干8)丰(4)≡(=3,2); +Cs)=的)+)+3,2)=(0,1) 提 区示】用点的坐标求向量坐粽时,本题易出现颠倒顺序的错误 变 2(3,-1)+2(-32) 结 免三南量坐标运的综合拉用 给出了向量的另一种表示—坐标表示式,向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算, 使得向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合起来,这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的
探究二、平面向量的坐标运算 平面向量用坐标形式表示，向量的运算就能转化为代数形式的运算． 例、 ()＋＝()＋(－)＝(－)； －＝()－(－)＝(，－)； －＝()－(－)＝(，－)． 【误区警示】 用点的坐标求向量坐标时，本题易出现颠倒顺序的错误． 变式、 小结： *探究三、向量坐标运算的综合应用 给出了向量的另一种表示——坐标表示式，向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算， 使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的 c1＝|c|cos(－30°)＝4× 3 2 ＝2 3， c2＝|c|sin(－30°)＝4×(－ 1 2 )＝－2. 因此 a＝( 2， 2)，b＝(－ 3 2 ， 3 3 2 )，c＝(2 3， －2)． 【思维总结】 (1)向量的坐标就是向量在x轴和y轴上的分量， 而与向量的位置无关，如图AB→ 的坐标为(B2－ A2，B1－A1)． (2)利用任意角的三角函数定义，若 a＝(a1，a2)， a 的方向相对于 x 轴正向的转角为 θ，则有 a1＝|a|cosθ， a2＝|a|sinθ. 解：设点 A(x，y)，则 x＝4 3cos60°＝2 3，y＝ 4 3sin60°＝6，即 A(2 3，6)，OA→ ＝(2 3，6)． 变式 已知 是坐标原点，点在第一象限， → ＝ ，∠ ＝° ，求向量→的坐标． (1)已知平面上三个点 A(4,6)、B(7,5)、 C(1,8)， 求AB→ 、AC→ 、AB→ ＋AC→、AB→ －AC→、2 AB→ ＋ 1 2 AC→ ； (2)已知 a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量 a＋b，a －b,3a－4b 的坐标． 【思路分析】 (1)先计算出AB→ ，AC→ ，再进行 向量的线性运算． (2)直接利用向量的坐标运算． 【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴AB→ ＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； AC→ ＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； AB→ ＋AC→＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； AB→ －AC→＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)； 2 AB →＋ 1 2 AC→ ＝2(3，－1)＋ 1 2 (－3,2) ＝(6，－2)＋(－ 3 2 ，1)＝( 9 2 ，－1)．
数量运算 例、已知平面上三个点的坐标分别为O,(),(,一),求点的坐标,使得这四个点为构成平行四边形的四 个顶点 【思路分析】 四个点能构成平行四边形的情况有三种:四边形为平行四边形,四边形为平行四边形 四边形为平行四边形 【解】设点D的坐标为(x,y) (1)当平行四边形为ABCD时,AB=DC, (4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y), D(0,-1); (2)当平行四边形为ABDC时,仿(1)可得D(2,一3); (3)当平行四边形为ADBC时,仿(1)可得D(6,15) 综上可知,D点可能为(0,-1)或(2,-3)或(6,15) 【思维总结】向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形是代数运算法则的直观含义,坐标运算是 图形关系的精确表示,二者的法则互为补充,要充分利用这一点,有效解决问题 方法技巧 向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形,即基底,垂直的情况.单位正交基底坐标: 0,=0,零向量坐标=0.如例 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向 量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.如例 失误防范 点的坐标与向量坐标的联系与区别 0表示形式不同,向量=(,)中间用等号连结,而点的坐标(,)中间没有等号 0意义不同,点(,)的坐标(,)表示点在平面直角坐标系中的位置,=()的坐标(,)既表示向量的大小, 也表示向量的方向,另外(,)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(,)或向量(,) 0联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 已知两点坐标求向量的坐标时,一定要注意是用终点坐标减去起点坐标,同时要加强向量坐标与该向量 起点,终点的关系的理解,以及坐标运算的灵活运用,向量的坐标运算可转化为实数的运算 四、课堂小结 五、课外作业 下列各式中正确的是() (一),=0,则+=0 O,=(,则一=(-) O,=0,则+= =O,=(,则+=0 解析:选.由向量坐标运算公式,易知是正确的 若(,),向量=(,),则点的坐标为() 解析:选=十=(,)+(,)=(十,+),故选 已知向量=0,=(,),=(-,-),则等于()
数量运算． 例、已知平面上三个点的坐标分别为()，(，)，(，－)，求点的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四 个顶点． 【思路分析】 、、、四个点能构成平行四边形的情况有三种：四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 四边形为平行四边形． 【思维总结】 向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形是代数运算法则的直观含义，坐标运算是 图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题． 方法技巧 ．向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形，即基底，垂直的情况．单位正交基底坐标： ＝()，＝()，零向量坐标＝()．如例 ．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向 量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．如例 失误防范 ．点的坐标与向量坐标的联系与区别 ()表示形式不同，向量＝(，)中间用等号连结，而点的坐标(，)中间没有等号． ()意义不同，点(，)的坐标(，)表示点在平面直角坐标系中的位置，＝(，)的坐标(，)既表示向量的大小， 也表示向量的方向，另外(，)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(，)或向量(，)． ()联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同． ．已知两点坐标求向量的坐标时，一定要注意是用终点坐标减去起点坐标，同时要加强向量坐标与该向量 起点，终点的关系的理解，以及坐标运算的灵活运用，向量的坐标运算可转化为实数的运算． 四、课堂小结 五、课外作业 ．下列各式中正确的是( ) ．＝(－)，＝()，则＋＝() ．＝()，＝()，则－＝(－) ．＝()，＝()，则＋＝() ．＝()，＝()，则＋＝() 解析：选.由向量坐标运算公式，易知是正确的． ．若(，)，向量＝(，)，则点的坐标为( ) ．(－，－) ．(－，－) ．(＋，＋) ．(－，＋) 解析：选＝＋＝(，)＋(，)＝(＋，＋)，故选. ．已知向量＝()，＝(，)，＝(－，－)，则等于( ) ．(＋－) ．(－－) ．(－，－) ．(－－，－＋) 【解】 设点 D 的坐标为(x，y)． (1)当平行四边形为 ABCD 时，AB→ ＝DC→ ， ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)， ∴ 1－x＝1， －2－y＝－1， ∴ x＝0， y＝－1. ∴D(0，－1)； (2)当平行四边形为 ABDC 时，仿(1)可得 D(2，－3)； (3)当平行四边形为 ADBC 时，仿(1)可得 D(6,15)． 综上可知，D 点可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
解析:选∴≡十十=(+-+-),∴=-=( 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(一),O,(,一),则第四个顶点的坐标是( O或( 解析:选.设(一),(,(,一),第四个顶点为,O若口,则=,∴(一,一):O若口,则=,∴(,-):O 则=,∴(.综上所述:则点坐标为O或(,一)或(一,一) 、作用于原点的三个力、、平衡.若=(,),=(-,),则 解析:由于三力平衡,则++=,∴= 答案:(,一) 已知=(),=(-),=(-),则以,为基底,将分解为+4的形式为 解析:设=λ+(,L∈), 则(一)=0)+(-) (4-M2+4) ∴(W一=λ-λ,=+λ,)解得((=(,,A=0.) ∴=+答案: 已知两点(,一)和(一,一),点满足=,求点的坐标 解:由已知两点(,一)和(一,一),可得 设点的坐标是(,), 则=(一,+) 由已知=,可得 +=0,) 解得( 0.) 所以点的坐标是(一,一) *正方形中,为对角线上的一点,四边形是矩形 证明:建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设正方形的边长为,=,则(O,(,),O,(,) 若=O,=(,-),=(-),则等于() 解析:选 =,)解得((=0,=-0.) 、设向量=(,一),=(-),=(-,一).若表示向量一(-),的有向线段首尾相接能构成四边形,求 向量 解:四条有向线段首尾相接构成四边形 则对应向量之和为零向量,即 (-)+=+- ∴=-(,-)-(-)+( 、已知(,一),O,点在线段上且=,则点坐标为 解析:设(,),则=(一,+),=(--),因为点在线段上且 所以=,∴((一=-+=(-)),∴((=0=) (,).答案:(,)
解析：选.∵＝＋＋＝(＋－＋－)，∴＝－＝(－－，－＋)． ．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－)，()，(，－)，则第四个顶点的坐标是( ) ．()或() ．()或(－，－) ．(，－)或(－，－) ．()或(，－)或(－，－) 解析：选.设(－)，()，(，－)，第四个顶点为，()若▱，则＝，∴(－，－)；()若▱，则＝，∴(，－)；() 若▱，则＝，∴()．综上所述：则点坐标为()或(，－)或(－，－)． 、作用于原点的三个力、、平衡．若＝(，)，＝(－，)，则＝. 解析：由于三力平衡，则＋＋＝，∴＝－－＝－(，)－(－，)＝(，－)． 答案：(，－) 、已知＝()，＝(－)，＝(－)，则以，为基底，将分解为 λ＋λ 的形式为＝. 解析：设＝λ＋λ(λ，λ∈)， 则(－)＝λ()＋λ(－) ＝(λ－λλ＋λ)， ∴(\\(－＝λ－λ，＝λ＋λ，)) 解得(\\(λ＝()，,λ＝().)) ∴＝＋.答案：＋ ．已知两点(，－)和(－，－)，点满足＝，求点的坐标． 解：由已知两点(，－)和(－，－)，可得 ＝(－－，－＋)， 即＝(－，)． 设点的坐标是(，)， 则＝(－，＋)． 由已知＝，可得 (\\(－＝－，＋＝()，)) 解得(\\(＝－，＝－().)) 所以点的坐标是(－，－)． *．正方形中，为对角线上的一点，四边形是矩形， 证明：＝. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形的边长为，＝，则()，(，)，()，(，)， ∴＝(－，－)，＝(－－)， ∴＝，＝， ∴＝.∴＝. ．若＝()，＝(，－)，＝(－)，则等于( ) －－．－＋．－＋ 解析：选.设＝＋(，∈)，则(－)＝(，)＋(，－)＝(＋，－)， ∴(\\(＋＝－，－＝，)) 解得(\\(＝()，＝－().)) 、设向量＝(，－)，＝(－)，＝(－，－)．若表示向量－(－)，的有向线段首尾相接能构成四边形，求 向量. 解：四条有向线段首尾相接构成四边形， 则对应向量之和为零向量，即 ＋－＋(－)＋＝＋－＋＝， ∴＝－(，－)－(－)＋(－，－) ＝(－，－)． 、已知(，－)，()，点在线段上且＝，则点坐标为． 解析：设(，)，则＝(－，＋)，＝(－－)，因为点在线段上且＝， 所以＝，∴(\\(－＝－＋＝(－))) ，∴(\\(＝()＝)) ， ∴(，)．答案：(，) 天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。 良言一句三冬暖，恶语伤人六月寒，下面是板报网为大家分享的有关激励人的名言，激励人心的句子，希望能够在大家的生活学习工作中起到鼓励的作用。不要心存侥幸， 避免贪婪的心作怪，这会令你思考发生短路。如果你不是步步踏实，学习确是件困难的事，但不怕不会，就怕不学，有谁生下来就是文学家，任何一件事情都要经历一个过程，学习同样如此，在学习的过程中，暴露出的 问题也会越来越多，但如果不经历这样的磨练，学习就失去了意义。 沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。 我长大有写东西我们无能为力于是最后躲避最后的最后面对也只能面对，因 为我们要活着。活着就不能被打败。这个季节梧桐大片大片的飘落花渐渐的凋零，没有声音。好象在编织着一个诱人的梦。也许是金榜题名的美梦啊,前事不忘，后事之师
