高中数学2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义导学案 新人教A版必修4 安学习目标 1.在物理中功的概念的基础上,理解向量数量积的概念及几 何意义 掌握数量积的运算式及变式;掌握并能熟练运用数量积的 运算律;掌握模长公式 和学习过程 、课前准备(预习教材P103—P105) 复习:如右图,如果一个物体在力F的作用 下产生位移s,那么力F所做的功 W 其中是与的夹角□ 二、新课导学 ※探索新知 探究:平面向量数量积的含义 题1:功是一个标量,它由力和位移两个向量来确定,这 给我们一种启示,能否把“功”看成是这两个向量的一种运 算的结果呢?
1 高中数学 2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及含义导学案 新人教 A 版必修 4 学习目标 1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几 何意义； 2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的 运算律；掌握模长公式. 学习过程 一、课前准备（预习教材 P103—P105） 复习：如右图，如果一个物体在力 F 的作用 下产生位移 s ，那么力 F 所做的功 W= ，其中 是 F 与 s 的夹角. 二、新课导学 ※ 探索新知 探究：平面向量数量积的含义 问题 1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这 给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运 算的结果呢？
1、平面向量数量积的定义:已知两个向量a与b,我们把 叫a与b的数量积。(或 )记作 即ab 其中e是a与b的夹角 叫做向量a在b方向上的 我们规定:零向量与任意向量的籹量积为_。 问题2:向量的教量积是一个没量,那么它什么时候为正?什么时候为 负? 2、平面向量数量积的性质:设a与b均为非零向量: ①a⊥b→_ ②当a与b同向时,ab= 当a与b反向时,ab= 特别地,a:a=或同 ④cos ⑤.ab的几何意义 问题3:运算律和运算紧密相连,引进向量数量积后,自然 要看一看它满足怎么样的运算律,同学们能推导向量数量积 的下列运算律吗? 3、向量的数量积满足下列运算律:已知向量ac与实数A
2 2、平面向量数量积的性质：设 a b 与 均为非零向量： ① a b ⊥ _ __________ ②当 a b 与 同向时， a b ＝________ 当 a b 与 反向时，a b ＝ _______ _， 特别地， a a =______或 a= ___________。 ③ a b ___________ _ ④ cos = _______ ____ ⑤. a b 的几何意义：_____________ ________。 问题 3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然 要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积 的下列运算律吗？ 3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量 a b c ，， 与实数
①ab= ② 问题4:我们知道,对任意ab∈R,恒有(a+b)2=a2+2mb+b2, (a+b)(a-b)=a2-b2 对任意向量ab,是否也有下面类似的结论? (2/+b)-b)= ※典型例题 例1、已知园=6,=8,且a与b的夹角=120°,求ab 变式1:若=6,=8,且a/b,则ab是多少?
3 ① a b ＝__________ _； ② (a b ) ＝___________； ③ (a+b c ) ＝___________。 问题 4：我们知道，对任意 a b R , ，恒有 ( ) 2 2 2 a b a ab b + = + + 2 ， ( )( ) 2 2 a b a b a b + − = − 对任意向量 ab, ，是否也有下面类似的结论？ ⑴ ( + ) = 2 a b ； ⑵ (a + b)(a −b)= . ※ 典型例题 例 1、已知 a = 6， b = 8 ，且 a 与 b 的夹角 = 120 ，求 a b . 变式 1：若 a = 6， b = 8 ，且 a b // ，则 a b 是多少？
变式2:若=6,-8,且a⊥5,则是多少? 变式3:若同-6,阳-8,且与的夹角=60,求后+25-35) 变式4:若同=6,=4,且G+26)-5)=-2,求a与的夹 角 2、在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=2,∠BAD=120,求 变式:判断下列命题的真假,并说明理由 (1)MABC中,若AB.BC0,则△ABC是钝角三角形;
4 变式 4：若 a = 6， b = 4 ，且 (a + 2b)(a −3b)= −72 ，求 a 与 b 的夹 角。 2、在平行四边形 ABCD 中， AB = 4，BC = 2， = BAD 120 ，求 AB AD . 变式：判断下列命题的真假，并说明理由. （1） ABC 中，若 AB BC 0 ，则 ABC 是锐角三角形； （2） ABC 中，若 AB BC 0 ，则 ABC 是钝角三角形；
(3)MABC为直角三角形,则AB.BC=0 三、小结反思 1、平面向量数量积的含义与物理意义, 性质与运算律及其应用。 3、平面向量数量积的概念 ※当堂检测(时量:5分钟满分:10分)计分: 1、已知l=2,问=3,a与b的夹角为60,求 (1)a,b (2)a2-b2; (3)(20+6)(a+35) (4)+b 2.已知l=6.a与b的夹角为60,且(a+2)(a-35)=-2,则为
5 （3） ABC 为直角三角形，则 AB BC = 0 . 三、小结反思 1、平面向量数量积的含义与物理意义， 2、性质与运算律及其应用。 3、平面向量数量积的概念 ※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1、已知 a = 2， b = 3，a 与 b 的夹角为 60 ，求： ⑴ a b ； ⑵ 2 2 a b − ； ⑶ (2 3 a b a b + + ) ( ) ； (4) a b + . 2. 已知 a = 6, a 与 b 的夹角为 60 ，且 (a b a b + − = − 2 3 72 ) ( ) ，则 b 为 （ ）
B 3已知团==√,且(-b)与a垂直,则a与的夹角为() A. C.135 D.45 4.已知=2=5ab=-3,则+b,1-b 课后作业 1、已知问=41-=5,且与b不共线,k为何值时,向量a+A6 与akb互相垂直? 2.设mn是两个单位向量,其夹角为60,求向量a=2m+n与 b=2n-3m的夹角
6 A. 16 B. 6 C. 5 D. 4 3 已知 a b = = 1, 2 ，且 (a b − ) 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角为（ ） A. 60 B. 30 C. 135 D. 45 4. 已知 a b a b = = = − 2, 5, 3 ，则 a b + = ， a b − = . 课后作业 1、已知 a = 4, b = 5 ，且 a 与 b 不共线， k 为何值时，向量 a kb + 与 a kb − 互相垂直？ 2. 设 mn, 是两个单位向量，其夹角为 60 ，求向量 a m n = + 2 与 b n m = − 2 3 的夹角