3平面向量的数量积 高三备课组
3.平面向量的数量积 高三备课组
1、知识精讲: (1)平面向量的数量积的定义 ①向量a,b的夹角:已知两个非零向量a,b, 过0点作OA=a,OB=b,则∠AOB=0 (00≤0≤180)叫做向量a、b的夹角。 当且仅当两个非零向量a,b同方向时,0=0°, 当且仅当反方向时0=180,同时0与其它任何 非零向量之间不谈夹角这一问题
1、知识精讲： （1）平面向量的数量积的定义 ①向量 的夹角：已知两个非零向量 ， 过 O 点 作 ， 则 ∠ AOB=θ （0 0≤θ≤1800）叫做向量 的夹角。 当且仅当两个非零向量 同方向时，θ=0 0 ， 当且仅当反方向时θ=1800 ，同时 与其它任何 非零向量之间不谈夹角这一问题。 a,b a,b OA = a OB = b, a,b a,b 0
(2)a与b垂直;如果a,b的夹角为90·则称垂直, 记作a⊥b。 (3与b的数量积:两个非零向量a,b,它们 的夹角为0,则团b·c叫做称a与b的 数量积(或内积),记作a.b, 即a·b=a·b1-cos 规定0·a=0 非零向量a与b当且仅当a⊥b时 0=900,这时a·b=0
(2) 垂直；如果 的夹角为900,则称垂直， 记作 。 (3) 的数量积：两个非零向量 ，它们 的夹角为θ，则 叫做称 的 数量积（或内积），记作 ， 即 = 规定 =0 非零向量 当且仅当 时， θ=900 ，这时 =0。 a与b a,b a⊥b a与b a,b a b cos a与b a b a b a b cos 0 a a与b a⊥b a b
a·b ④b在a方向上的投影:OP= bose ∈R (注意OP是射影) 所以,g的几何意义:a·b等于a的长 度与b在a方向上的投影的乘积
④ 在 方向上的投影： （注意 是射影） 所以， 的几何意义： 等于 的长 度与 在 方向上的投影的乘积。 b a R a a b OP b = cos = OPa b a b a b a
平面向量数量积的性质 设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是 有:①ea=ae=acos0②ab分a.b=0 ③当a与同向时,ab=ab; 当a与饭向时,ab=-a 特别地 a·a=a= a·b (4)cosB
平面向量数量积的性质 设 是两个非零向量， 是单位向量，于是 有：① ② ③当 同向时， ； 当 反向时， ， 特别地， 。 (4) ⑤ a,b e e a = a e = a cos a⊥b a b = 0 a与b a b = a b a与b a b = − a b 2 2 a a = a = a a b a b cos = a b a b
平面向量数量积的运算律 ①交换律成立:a·b=b ②对实数的结合律成立: )b= 1b=a·bM∈R ③分配律成立: a土bc=ac±bc=c·a±b
平面向量数量积的运算律 ①交换律成立： ②对实数的结合律成立： ③分配律成立： a b = b a (a)b = (a b)= a (b)( R) (a b) c = a c b c = c (a b)
特别注意: (1)结合律不成立a6)(be; (2)消去律不成立ab=a·C不能得到b=c (3)ab=0不能得到a=0或b=0 ④但是乘法公式成立: →2 2 a+bla-b b=al -bl ±b)=a±2a·b+b ±2a·b+b
特别注意： （1）结合律不成立： ； （2）消去律不成立 不能得到 （3） =0不能得到 = 或 = ④但是乘法公式成立： ； ； a (b c) (a b) c a b = a c b = c a b a 0 b 0 ( ) ( ) 2 2 2 2 a + b a − b = a − b = a − b ( ) 2 2 2 a b = a 2a b + b 2 2 = a 2a b + b
平面向量数量积的坐标表示 若=(x1,y)b=(x2y2)则a·b三x1x2+yy2 ②着=(,则1=x+=+y ③若A(x,y),B(,y2,则=V-x)+03 ④若=(x1,y1),b=(x2,y2)则 aLb台x1x2+yy2=0(a∥b呢) (5)若=(x1,y),b=(x2y2)则 mix+ Vly COS 2 2 +yI vx2 +y2
平面向量数量积的坐标表示: ①若 =(x1 ,y1 ), =(x2 ,y2 )则 =x1 x2 +y1 y2 ②若 =(x,y),则| |= . =x2+y2 , ③若A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),则 ④若 =(x1 ,y1 ), =(x2 ,y2 )则 （ 呢） (5)若 =(x1 ,y1 ), =(x2 ,y2 ) 则 a a a a 2 a a 2 2 a = x + y ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 AB = x − x + y − y b a⊥b x1 x2 + y1 y2 = 0 a // b b a b a b 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 cos x y x y x x y y + + + =
2、重点、难点:平面向量的数量积及其几何 意义,向量垂直的充要条件。利用平面向量 的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。 3、思维方法:化归思想,数形结合。 4、特别提示:数量积不满足结合律
2、重点、难点：平面向量的数量积及其几何 意义，向量垂直的充要条件。利用平面向量 的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题。 3、思维方法：化归思想，数形结合。 4、特别提示：数量积不满足结合律
例1:判断下列各命题正确与否: (1)0.a=0; (2)0·a=0; (3)若a≠0,a·b=a·C,则b=c; 4)若b=a·c,则当且仅c时0成立 (5)(a·b)C=a·(b·c)对任意向量a,b,c 都成立; (6)对任意向量a,有a=a
例1：判断下列各命题正确与否： （1） ； （2） ； （3）若 ，则 ； 4）若 ，则当且仅当 时 成立； （5） 对任意向量 都成立； （6）对任意向量 ，有 。 0 a = 0 0 a = 0 a 0,a b = a c b = c a b = a c b c a = 0 (a b) c = a (b c) a,b,c a 2 2 a = a