24平面向量的数量积
2.4平面向量的数量积 y
已知两个非零向量和b,作OA=a,OB= 量b则∠AOB=(005180°) 叫做向量a与b的夹角。 是 性意在两向量的夹角 定义中两向量必须是 同起点的 当0=0°时,与b同向;0AB 当0=180°时,a与b反向; B B 当0=90°时,称与b垂直, 记为a⊥b
已知两个非零向量a和b ，作OA= a ， OB= b ，则∠AOB=θ（0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。 O B A θ 当θ＝0°时，a与b同向； O A B 当θ＝180°时，a与b反向； A O B B 当θ＝90°时，称a与b垂直， 记为a⊥b. O a A b 注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的
我们学过功的概念,即一个物体在力F 的作用下产生位移S(如图) 力F所做的功W可用下式计算 W= NIcos其中是另的夹角 从力所做的功出发,我们引入向量“数 量积”的概念
我们学过功的概念，即一个物体在力 的作用下产生位移 （如图） θ 从力所做的功出发，我们引入向量“数 量积”的概念。 S F S S F 力 所做的功W可用下式计算 W=| | | |cosθ 其中θ是 与 的夹角 F F S F S
注意:向量 向量d与b,它们的 的数量积是数量(和叫做 个数量 (内积),记作·b 1b d·b=a cOSO B blos g Ba4 规定零向量与任一向量的数量积为0
已知两个非零向量 与 ，它们的 夹角为θ，我们把数量| | | |cosθ叫做 与 的数量积（或内积），记作 · · =| | | | cosθ a r a r a r a r a r a r b r b r b r b r b r b r 注意：向量 的数量积是 一个数量 （实数）。 规定:零向量与任一向量的数量积为0
)注意:数量积 b lose A一种新的运算 总“·”不能省略不写,也不能写成“X ②a·b表示数量而不表示向量与实数b 不同,a+b、a-b表示向量 0.d=0 A注意公式变形,知三求
注意：数量积 a · b =| a || b |cos a b表示数量而不表示向量，与实数a b r r 不同，a b、a b表示向量； r r r r + − 0 0 = a 注意公式变形，知三求一. “ · ”不能省略不写，也不能写成“×” 一种新的运算
运算与向量的加减及数乘运 结果有什么不同?影响数量积的大小 的因素有哪些? 向量的加微及数乘运算结果还是向量。但向 量的数量积结果是一个数量(实数)。 (这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关)
向量的数量积运算与向量的加减及数乘运 算的结果有什么不同？影响数量积的大小 的因素有哪些？ 向量的加减及数乘运算结果还是向量，但向 量的数量积结果是一个数量（实数）。 （这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关）
具守 数量积是一个实数,那么它什 么时候为正,什么时候为负? d·b=a|bc0s 当0°8<90°时为; 当90°<0≤180时为兔。 当θ=90°时a为零
向量的数量积是一个实数，那么它什 么时候为正，什么时候为负？ a · =| | | | cosθ r a r b r b r 当θ =90°时 a为零。 r b r · 当90°＜θ ≤180°时 为负。 a r b r · 当0°≤θ ＜ 90°时 为正； a r b r ·
例1已知a=5,b=4,a与b的夹角 6=120°,求a·b。 解:ab= a boost =5×4×c0s120° 5×4×(-1/2) 10
解：a·b = |a| |b|cosθ = 5×4×cos120° =5×4×（-1/2） = －10 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b
典型例题分析 例2、如图在平行四边形ABCD中已知AB=4,AD=3,∠DAB=60, X*: (0).ADBC (2).ABCD (3).ABDA 解:(因为AD与BC平行且方向相同 D AD与BC的夹角为0 ∴AD·BC=AD·BC·cos0=3×3×1=9 60 或ADBC=AD|=9 B (2):AB5D行,且方向相反 AB与Cm夹角是180 ABCD=4 BCOcos180=4×4×(-1)=-16进行向量数量积 计算时,既要考 或ABCD=-AB|=-16 虑向量的模,又 ():与的夹是60,与D的夹角是12(方向确定其夹角 AB.DA=ABD4c0-120°=4×3×
解:(1)因为AD与BC平行且方向相同, 0 . AD与BC的夹角为 = cos0 = 331= 9 AD BC AD BC (2)AB与CD平行,且方向相反 AB与CD的夹角是180 = cos180 = 44(−1) = −16 AB CD AB CD (3) AB AD 60 , 与 的夹角是 AB与DA的夹角是120 6 2 1 cos120 4 3 = − = = − AB DA AB DA 典型例题分析 进行向量数量积 计算时,既要考 虑向量的模,又 要根据两个向量 方向确定其夹角。 9 2 或ADBC = AD = 16 2 或ABCD = − AB = − 120 例2、 ( ) AD BC ABCD AB AD DAB = = = : 1 . , , 4, 3, 60 , 求 如图 在平行四边形 中已知 (2).ABCD (3).ABDAA B D C 60
方法技巧:(1)求平面向量数量积的步骤 是 ①求a与b的夹角0,θ∈[°,1809]; ②分别求阳a和; ③求数量积,即a·b=|ab|cos0 温馨提示:a∥b时,易漏掉θ=0°和θ =180°中的一种情况
• 方法技巧：(1)求平面向量数量积的步骤 是： • ①求a与b的夹角θ，θ∈[0° ,180°]； • ②分别求|a|和|b|； • ③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ. • 温馨提示：a∥b时，易漏掉θ＝0°和θ ＝180°中的一种情况