第三节平面向量的数量积与平面向量应 用举例 [考纲传真]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的 数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的 运算4能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的 力学问题与其他一些实际问题 课前」知识全通关 夯实基础·扫除盲点 KEQIAN 向量的夹角 已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a与b的 夹角,向量夹角的范围是0°,1809,其中当a与b的夹角是90时,a与b垂直, 记作aLb,当a与b的夹角为0时,a的b,且a与b同向,当a与b的夹角为 180°时,ab,且a与b反向 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为O,则数量如 bl cose叫做a 定义与b的数量积或内积,记作ab规定:零向量与任一向量的数量积为 投影|@s叫做向量a在b方向上的投影; bcosθ叫做向量b在a方向上的投影 几何 数量积ab等于a的长度la与b在a的方向上的投影bosO的乘积 意义 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律:ab=ba (2)数乘结合律:(a)b=ab)=g(b (3)分配律:a(b+c)=ab+ac 平面向量数量积的性质及其坐标表示
第三节 平面向量的数量积与平面向量应 用举例 [考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的 数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的 力学问题与其他一些实际问题． 1．向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA → ＝a，OB → ＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的 夹角，向量夹角的范围是[0°，180°]，其中当 a 与 b 的夹角是 90°时，a 与 b 垂直， 记作 a⊥b，当 a 与 b 的夹角为 0°时，a∥b，且 a 与 b 同向，当 a 与 b 的夹角为 180°时，a∥b，且 a 与 b 反向． 2．平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|·cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为 0 投影 |a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影； |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何 意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a=(x1,y),b=(x2,y2),0=(a,b) 结论 几何表示 坐标表示 模 a=a'a a=vxi+y? 数量积 ab=abcs 0 ab=xix2ty1 夹角 a- b cos e xlx2tyv2 x2+y2√x2+y2 a⊥b ab=0 xx2+n2=0 x1x2tyiyl ab与lb的关系ab≤ ≤V+y1+2 [常用结论] 两个向量a,b的夹角为锐角∽→ab>0且a,b不共线 两个向量a,b的夹角为钝角→ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab<0,则a和b的夹角为钝角 (4)rb=ac(a≠0),则b= 答案](1)×(2)√(3)×(4) 2.(教材改编)设a=(5,一7),b=(-6,1),若cb=-2,则t的值为() A[ab=5×(-6)-7=-2,解得l=-4,故选A
设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ a·a |a|＝ x 2 1＋y 2 1 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ a·b |a||b| cos θ＝ x1x2＋y1y2 x 2 1＋y 2 1· x 2 2＋y 2 2 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2| ≤ x 2 1＋y 2 1· x 2 2＋y 2 2 [常用结论] 1．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a，b 不共线； 两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a 2－b 2 . (2)(a＋b) 2＝a 2＋2a·b＋b 2 . (3)(a－b) 2＝a 2－2a·b＋b 2 . 3．当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|； 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|. [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量AB → 与BC → 的夹角为∠B. ( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( ) (3)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角． ( ) (4)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c. ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．(教材改编)设 a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若 a·b＝－2，则 t 的值为( ) A．－4 B．4 C. 32 7 D．－ 32 7 A [a·b＝5×(－6)－7t＝－2，解得 t＝－4，故选 A.]
3.(教材改编)已知a=2,b=6,ab=-63,则a与b的夹角为() 2π B [cos 8 b-633 a|2×62 又0≤θ≤π,则θ=。,故选D] 4.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m 2[由a⊥b得ab=0,即-6+3m=0 解得m=2] 5.(教材改编)已知a=5,师=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量 a方向上的投影为 一2[由数量积的定义知,b在a方向上的投影为bcosθ=4×cos120 课堂题型全突破 考点全面·方法简 KETANG 题型1 平面向量数量积的运算 1.(2018全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足l=1,ab=-1,则a(2 A.4 B.3 C.2 B[因为l=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2a2-ab=2×12-(-1)=3, 故选B] 2.已知AB=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量AB在CD方向上的投影为 3 B.-35 C[因为点C(-1,0),D(4,5),所以CD=(5,5),又AB=(2,1),所以向量AB在 CD方向上的投影为
3．(教材改编)已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6 3，则 a 与 b 的夹角 θ 为( ) A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 D [cos θ＝ a·b |a||b| ＝ －6 3 2×6 ＝－ 3 2 ， 又 0≤θ≤π，则 θ＝ 5π 6 ，故选 D.] 4．已知向量 a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且 a⊥b，则 m＝________. 2 [由 a⊥b 得 a·b＝0，即－6＋3m＝0， 解得 m＝2.] 5．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为________． －2 [由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－ 2.] 平面向量数量积的运算 1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a －b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 B [因为|a|＝1，a·b＝－1，所以 a·(2a－b)＝2|a| 2－a·b＝2×1 2－(－1)＝3， 故选 B.] 2．已知AB → ＝(2,1)，点 C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB → 在CD → 方向上的投影为 ( ) A．－ 3 2 2 B．－3 5 C. 3 2 2 D．3 5 C [因为点 C(－1,0)，D(4,5)，所以 CD＝(5,5)，又AB → ＝(2,1)，所以向量AB → 在 CD → 方向上的投影为
LABlCOs(AB, CD)ABCD 15 CD5V22,故选C 3.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中 点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为() B 如图所示,AF=AD+DF 又D,E分别为AB,BC的中点, 且DE=2EF,所以AD=AB,DF=AC+AC=AC, 所以AF==AB+=AC 又BC=AC-AB, Dl.AFBC=lAB+2ACl-(AC-AB) CAB2+-AC2-=ACAB AC2-AB2一AC·AB 又AB=q=1,∠BAC=60°, 故AF·BC ×1×1×=8 故选B.] 规律方法]平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=l|bks(a,b)
|AB → |cos〈AB → ，CD → 〉＝AB → ·CD → |CD → | ＝ 15 5 2 ＝ 3 2 2 ，故选 C.] 3．已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中 点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE＝2EF，则AF → ·BC → 的值为( ) A．－ 5 8 B. 1 8 C. 1 4 D. 11 8 B [ 如图所示，AF → ＝AD → ＋DF → . 又 D，E 分别为 AB，BC 的中点， 且 DE＝2EF，所以AD → ＝ 1 2 AB → ，DF → ＝ 1 2 AC → ＋ 1 4 AC → ＝ 3 4 AC → ， 所以AF → ＝ 1 2 AB → ＋ 3 4 AC → . 又BC → ＝AC → －AB → ， 则AF → ·BC → ＝ 1 2 AB → ＋ 3 4 AC → ·(AC → －AB → ) ＝ 1 2 AB → ·AC → － 1 2 AB →2＋ 3 4 AC → 2－ 3 4 AC → ·AB → ＝ 3 4 AC →2－ 1 2 AB →2－ 1 4 AC → ·AB → . 又|AB → |＝|AC → |＝1，∠BAC＝60°， 故AF → ·BC → ＝ 3 4 － 1 2 － 1 4 ×1×1× 1 2 ＝ 1 8 . 故选 B.] [规律方法] 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=x1,y),b=(x,y2), 则ab=x1x2+yy2 (3)利用数量积的几何意义求解 题型2 平面向量数量积的应用 考法1求向量的模 【例1】(1)已知平面向量a,b的夹角为,且l=,面=2,在△ABC 中,AB=2a+2b,AC=2a-6b,D为BC中点,则AD等于() (2)(2019广州模拟)已知向量a,b的夹角为60°,l=2,la-2b=2,则b 等于() A.4 B.2 C.2 (1)A(2D[(1)因为AD=(AB+AO=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以 AD2=4a-b)=4(a2-2ba+b2)=4×3-2×2×3×x+4=4,则AD=2 (2)由a-2b=2, 得(a-2b)2=a2-4ab+4b2=4, 即a2-4l|bcos60°+4b=4, 即酽-|b=0,解得b=0(舍去)或b=1,故选D] 考法2求向量的夹角 【例2】(1)已知向量a,b满足(a+2b)(5a-4b)=0,且a==1,则a 与b的夹角O为( B D (2)若向量a=(3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则 k的取值范围是 (1)C u(-2,31):(a+2b)(5a-4b)=0
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解. 平面向量数量积的应用 ►考法 1 求向量的模 【例 1】 (1)已知平面向量 a，b 的夹角为π 6 ，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，AB → ＝2a＋2b，AC → ＝2a－6b，D 为 BC 中点，则|AD → |等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)(2019·广州模拟)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，则|b| 等于( ) A．4 B．2 C. 2 D．1 (1)A (2)D [(1)因为AD → ＝ 1 2 (AB → ＋AC → )＝ 1 2 (2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以 |AD → | 2＝4(a－b) 2＝4(a 2－2b·a＋b 2 )＝4× 3－2×2× 3×cos π 6 ＋4 ＝4，则|AD → |＝2. (2)由|a－2b|＝2， 得(a－2b) 2＝|a| 2－4a·b＋4|b| 2＝4， 即|a| 2－4|a||b|cos 60°＋4|b| 2＝4， 即|b| 2－|b|＝0，解得|b|＝0(舍去)或|b|＝1，故选 D.] ►考法 2 求向量的夹角 【例 2】 (1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则 a 与 b 的夹角 θ 为( ) A. 3π 4 B. π 4 C. π 3 D. 2π 3 (2)若向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知 2a－3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是________． (1)C (2) －∞，－ 9 2 ∪ － 9 2 ，3 [(1)∵(a＋2b)·(5a－4b)＝0
∴5a2+6ab-8b2=0 又=b=1, ∴cos6= ab 2 又6∈[0,π,∴6 故选C. (2)因为2a-3b与c的夹角为钝角,所以(2a-3b)c<0,即(2k-3,-6)(2,1) <0,所以4k-6-6<0,所以k<3.又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k= 9 当k=一时,2a-3b=(-12,-6)=-6c,即2a-3b与c反向 综,k的取值范围(-∞,-别( 考法3平面向量的垂直问题 【例3】(1)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(m+b),则实数t 的值为 (2)已知向量AB与AC的夹角为120°,且AB=3,MAC1=2若AP=MAB+AC, 且AP⊥BC,则实数λ的值为 ()-5212(1):a=(1,-1),b=(6,-4),l+b=(+6,--4) 又a⊥(a+b),则a(m+b)=0,即t+6+计+4=0,解得=-5 (2)由AP⊥BC得APBC=0,即(AB+AO)(AC-AB)=0 (-1)AB AC-1AB+AC=0, 即-3(4-1)-94+4=0 7 解得λ= 规律方法]平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角:cos=a·b la|b1,要注意∈[0,可 (2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b分ab=0÷a b=atb
∴5a 2＋6a·b－8b 2＝0. 又|a|＝|b|＝1， ∴a·b＝ 1 2 ， ∴cos θ＝ a·b |a||b| ＝ 1 2 . 又 θ∈[0，π]，∴θ＝ π 3 ，故选 C. (2)因为 2a－3b 与 c 的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1) ＜0，所以 4k－6－6＜0，所以 k＜3.又若(2a－3b)∥c，则 2k－3＝－12，即 k＝ － 9 2 .当 k＝－ 9 2 时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，即 2a－3b 与 c 反向． 综上，k 的取值范围为 －∞，－ 9 2 ∪ － 9 2 ，3 .] ►考法 3 平面向量的垂直问题 【例 3】 (1)已知向量 a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若 a⊥(ta＋b)，则实数 t 的值为________． (2)已知向量AB → 与AC → 的夹角为 120°，且|AB → |＝3，|AC → |＝2.若AP → ＝λAB → ＋AC → ， 且AP → ⊥BC → ，则实数 λ 的值为________． (1)－5 (2) 7 12 [(1)∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又 a⊥(ta＋b)，则 a·(ta＋b)＝0，即 t＋6＋t＋4＝0，解得 t＝－5. (2)由AP → ⊥BC → 得AP → ·BC → ＝0，即(λAB → ＋AC → )·(AC → －AB → )＝0， ∴(λ－1)AB → ·AC → －λAB →2＋AC →2＝0， 即－3(λ－1)－9λ＋4＝0. 解得 λ＝ 7 12.] [规律方法] 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角： ，要注意 θ∈[0，π]. (2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－ b|＝|a＋b|
(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有 ①a2 a|或a|=a ②|a±b=√(a±b) 2a·b+b2 ③若a=(x,y),则{al=x2+ [跟踪练习](1)(2017全国卷1)已知向量a,b的夹角为60°,a=2,b=1 则a+2b (2)2017山东高考)已知e,e2是互相垂直的单位向量若e1-e2与e1+e 的夹角为60°,则实数λ的值是 2523m法-:+2b=ya+2b =Va2+4ab+4b2 22+4×2×1×cos60°+4×12 法二:(数形结合法)由d=2b|=2,知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱 形OACB,如图,则a+2b=0q又∠AOB=60°,所以m+2b=23 (2)由题意知e|=e2|=1,ee2=0, Nel ele2 =3e-23ee+e=3-0+1=2 同理e1+e=V1+2 (3e1-e)(e1+le 所以cos60° lethe e1+(y3-1 )ee2-e_3- 1+22 2√1+n22
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1， 则|a＋2b|＝________. (2)(2017·山东高考)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量．若 3e1－e2 与 e1＋λe2 的夹角为 60°，则实数 λ 的值是________． (1)2 3 (2) 3 3 [(1)法一：|a＋2b|＝ (a＋2b) 2 ＝ a 2＋4a·b＋4b 2 ＝ 2 2＋4×2×1×cos 60°＋4×1 2 ＝ 12＝2 3. 法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱 形 OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC → |.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2 3. (2)由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， | 3e1－e2|＝ ( 3e1－e2) 2 ＝ 3e 2 1－2 3e1·e2＋e 2 2＝ 3－0＋1＝2. 同理|e1＋λe2|＝ 1＋λ 2 . 所以 cos 60°＝ ( 3e1－e2)·(e1＋λe2) | 3e1－e2||e1＋λe2| ＝ 3e 2 1＋( 3λ－1)e1·e2－λe 2 2 2 1＋λ 2 ＝ 3－λ 2 1＋λ 2 ＝ 1 2
解得=2] 平面向量与三角函数的综 题型3 合 【例4】(2017江苏高考)已知向量a=(osx,snx),b=(3,-V5),x∈[o, (1)若a∥b,求x的值; (2)记fx)=ab,求八x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解](1)因为a=(osx,sinx,b=(3,-√3),a∥b, 所以一3cosx=3sinx 若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾, 故cosx≠0 于是tanx= √3 又x∈0,,所以x=5 (2)(x)=ab=(osx,sinx)(3,-3) 3cos x 因为x∈[0,π],所以x+ 从而-1≤cox+ 3 于是,当66,即x=0时,fx)取到最大值3 当x6x,即X6时,/x)取到最小值-23 规律方法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直 或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表
解得 λ＝ 3 3 .] 平面向量与三角函数的综 合 【例 4】 (2017·江苏高考)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，x∈[0， π]． (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值． [解] (1)因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b， 所以－ 3cos x＝3sin x. 若 cos x＝0，则 sin x＝0，与 sin2 x＋cos2 x＝1 矛盾， 故 cos x≠0. 于是 tan x＝－ 3 3 . 又 x∈[0，π]，所以 x＝ 5π 6 . (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3) ＝3cos x－ 3sin x＝2 3cos x＋ π 6 . 因为 x∈[0，π]，所以 x＋ π 6 ∈ π 6 ， 7π 6 ， 从而－1≤cos x＋ π 6 ≤ 3 2 . 于是，当 x＋ π 6 ＝ π 6 ，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3； 当 x＋ π 6 ＝π，即 x＝ 5π 6 时，f(x)取到最小值－2 3. [规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直 或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表
达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数的定义域内的有界性,求得 值域等 顺练习】在平面直角坐标系0+,已里m(2,-2=x cosx),x∈(0,2 (1)若m⊥n,求tanx的值 (2)若m与n的夹角为,求x的值 [解](1)因为 2人,n=(snx,cosx),m1n 所以mn=0,即、sinx- CCOS x=0, 所以sinx=cosx,所以tanx=1 (2)因为m=m=1,所以m=cosx1 所以 因为0<x<所,r 所以 真题」自主验效果 近年考题·感悟规律 ZHEN T 1.(2016全国卷I已知向量B 则∠ABC=() 22 A.30° B.45° C.60 D.120° A[因为BA= ),C=(.别,所以面=+2-又四为 BABC=|BA| BC lcos∠ABC=1×1×cos∠ABC,所以cos∠ABC彡2 0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°故选A] 2.(2015全国卷)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()
达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得 值域等. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m＝ 2 2 ，－ 2 2 ，n＝(sin x， cos x)，x∈ 0， π 2 . (1)若 m⊥n，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为π 3 ，求 x 的值． [解] (1)因为 m＝ 2 2 ，－ 2 2 ，n＝(sin x，cos x)，m⊥n. 所以 m·n＝0，即 2 2 sin x－ 2 2 cos x＝0， 所以 sin x＝cos x，所以 tan x＝1. (2)因为|m|＝|n|＝1，所以 m·n＝cos π 3 ＝ 1 2 ， 即 2 2 sin x－ 2 2 cos x＝ 1 2 ，所以 sin x－ π 4 ＝ 1 2 ， 因为 0＜x＜ π 2 ，所以－π 4 ＜x－ π 4 ＜ π 4 ， 所以 x－ π 4 ＝ π 6 ，即 x＝ 5π 12. 1．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA → ＝ 1 2 ， 3 2 ，BC → ＝ 3 2 ， 1 2 ，则∠ABC＝( ) A．30° B．45° C．60° D．120° A [因为BA → ＝ 1 2 ， 3 2 ，BC → ＝ 3 2 ， 1 2 ，所以BA → ·BC → ＝ 3 4 ＋ 3 4 ＝ 3 2 .又因为 BA → ·BC → ＝ | BA → || BC → |cos∠ABC ＝ 1×1×cos∠ABC ，所以 cos∠ABC ＝ 3 2 . 又 0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选 A.] 2．(2015·全国卷Ⅱ)向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
C[法一::a=( 2. a b 从而(2a+b)a=2a2+ab=4-3=1 法二:∵a=(1,-1),b=(-1,2), 2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0), 从而(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=1,故选C] 3.(2014全国卷Ⅱ)设向量a,b满足a+b=y10,|a-b=y6,则ab=() C.3D.5 A[a+b=(a+b)2=a2+2ab+b2=10 a-b2=(a-b)2=a2-2ab+b2=6, 将上面两式左右两边分别相减,得4ab=4, 4.(2017全国卷I)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直, 则 7[a=(-1,2),b=(m,1), ∴a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3) 又a+b与a垂直,∴(a+b)a=0, 即(m-1)×(-1)+ 解得m=7]
A．－1 B．0 C．1 D．2 C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a 2＝2，a·b＝－3， 从而(2a＋b)·a＝2a 2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选 C.] 3．(2014·全国卷Ⅱ)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5 A [|a＋b| 2＝(a＋b) 2＝a 2＋2a·b＋b 2＝10， |a－b| 2＝(a－b) 2＝a 2－2a·b＋b 2＝6， 将上面两式左右两边分别相减，得 4a·b＝4， ∴a·b＝1.] 4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量 a＋b 与 a 垂直， 则 m＝________. 7 [∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又 a＋b 与 a 垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得 m＝7.]