25年面向量应用举例 251平面几何的向量方波
2.5平面向量应用举例 2.5.1平面几何的向量方法
平面几何中的向量方法 向量概念和运算,都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后,向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算,这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景,平面几何的许多性质,如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来,因此,利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题
平面几何中的向量方法 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题
问题:平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图,你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗? DB=AB-AD, AC=AB+AD, 猜想: 1长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系? 2类比猜想,平行四边形有相似关系吗?
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图，你能发现平行四边形对角 线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ DB AB AD = − , AC AB AD = + , A B 猜想： D C 1.长方形对角线的长度 与两条邻边长度之间有 何关系？ 2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 已知:平行四边形ABCD。 C 求证:AB2+BC2+CD2+DAH2=AC2+BD2 分析:因为平行四边形对边平行且相 等,故设AB=a.,AD=b其它线段对应向 A 量用它们表示。 解:设AB=a,AD=b,则BC=b,DA=a,AC=a+b,DB=a-b AB2+BC+CD2+DA2=2(a+6 AC2+BD2=a+b+a-b =a +2ab+b+a-2ab+b=2 a +b=2 a+ AB2+bC2 +cD+ Da2=Ac2 + bd2
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B 已知：平行四边形ABCD。 D C 求证： 2 2 2 2 2 2 AB + BC + CD + DA = AC + BD 解：设 AB = a, AD = b ，则 BC = b, DA = a, AC = a + b; DB = a − b 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 AB = a, AD = b 2( ) 2 2 2 2 2 2 AB + BC +CD + DA = a + b ( ) ( ) 2 2 2 2 AC + BD = a + b + a − b = + = + + + − + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2ab b a 2ab b 2 a b 2 a b ∴ 2 2 2 2 2 2 AB + BC + CD + DA = AC + BD
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗? 用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 简述:形到向量—向量的运算向量和数到形
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？ （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲” ： 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2如图, LABCD中,点E、F分别 是AD、DC边的中点,BE、BF分别 与AC交于R、T两点,你能发现AR RT、TC之间的关系吗? D 猜想: R ARERTETC
例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、DC边的中点，BE 、BF分别 与AC交于R 、T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ A B D C E F R T 猜想： AR=RT=TC
解:设AB=a,AD=b,AR=r,则AC=a+b 由于A屿裘线,故设r=n(a+b),n∈R 又因为ER与成线 所以设ER=mEB=m(a-b) R 因为AR=AE+ER 所以=b+m(a-b)A 因此n(a+b)=b+m(a-b)
解：设 AB a AD b AR r = = = , , , 则 AC a b = + 由于 AR 与 AC 共线，故设 r n a b n R = + ( ), 又因为 共线， 所以设 ER EB 与 12 ER mEB m a b = = − ( ) 因为 所以 AR AE ER = + 1 1 2 2 r b m a b = + − ( ) 1 1 2 2 因 此n a b b m a b ( ) ( ) + = + − A B D C E F R T
F R m-1 即(-m)a+(n+)b=0 2 由于向量xb不共线,1m+m=10 解得:n=m 3 所以AR=AC,同理TC=AC,于是RT=AC 3 3 故AT=RT=Tc
1 0 2 ( ) ( ) m n m a n b − 即 − + + = 由于向量a b, 不共 0 1 0 2 n m m n − = − + = 线， 1 解得：n= m = 3 1 1 1 3 3 3 所以AR AC TC AC RT AC = = = , , 同理 于是 故AT=RT=TC A B D C E F R T
练习、证明直径所对的圆周角 是直角 如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A B 分析:要证∠ACB=90°,只须证向 量AC⊥CB,即AC.CB=0。 解:设AO=a,OC=b 由此可得:1C(B=(+1-6)思考:能否用向量 则 Ac=atbcB=a-b, 2→2 坐标形式证明? a -b 即AC.CB=0,∠ACB=90°
练习、证明直径所对的圆周角 是直角 A B C O 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 AC ⊥ CB ，即 AC CB = 0 。 解：设 则 ， 由此可得： AO = a,OC = b AC = a + b,CB = a − b ACCB = (a + b)(a − b) 2 2 2 2 = a − b = a − b 0 2 2 = r − r = 即 AC CB = 0 ，∠ACB=90° 思考：能否用向量 坐标形式证明？ a b
小8 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表 示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关 系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何元素。 课本P1251,2
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 小结： 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ： 作业： 课本P125 1,2