1.1.2弧度 课程目质,后 1.了解弧度制,明确1弧度的含义 2.能进行弧度与角度的互化 3.掌握弧度数的计算公式及其应用 基础知识·理 1.弧度制 (1)定义:以为单位度量角的单位制叫做弧度制 (2)度量方法:长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.如图所示,圆0 的半径为r,AB的长等于r,∠AOB就是1弧度的角 名师点拨 定大小的圆心角a的弧度数是所对弧长与半径的比值,是唯一确定的,与半径大小 无关 (3)记法:弧度单位用符号 表示,或用“弧度”两个字表示在用弧度制表示角时, 单位通常省略不写 【做一做1】下列表述中正确的是 A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧 C.一弧度是一度的弧与一度的角之和 D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位 2.弧度数 一般地,正角的弧度数是一个 数,负角的弧度数是一个数,零角的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为1,那么角a的弧度数的绝对值是|a 知识拓展 (1)弧长公式:1=|a|r (2)扇形面积公式:S=alr=a|r2 【做一做2】已知半径为10cm的圆上,有一条弧的长是40cm,则该弧所对的圆心角 的弧度数是 3.弧度制与角度制的换算 (1)角度转化为弧度:360 rad,180° rad≈0.0174 cad (2)弧度转化为角度:2rad= Ⅱrad= ()°≈57.30° 57°18 (3)特殊角的弧度数与角度数对应表 30° 120°
这位小男孩的精神，是多么令人感动！他就是快要死了，也不忘自己卖报的诚信，他灵魂是那么地高尚，伟大！ 1.1.2 弧度制 1.了解弧度制，明确 1 弧度的含义. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.掌握弧度数的计算公式及其应用. 1.弧度制 (1)定义：以 为单位度量角的单位制叫做弧度制. (2)度量方法：长度等于________的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.如图所示，圆 O 的半径为 r， AB 的长等于 r，∠AOB 就是 1 弧度的角. 一定大小的圆心角 α 的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小 无关. (3)记法：弧度单位用符号 表示，或用“弧度”两个字表示.在用弧度制表示角时， 单位通常省略不写. 【做一做 1】 下列表述中正确的是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧 C.一弧度是一度的弧与一度的角之和 D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 2.弧度数 一般地，正角的弧度数是一个 数，负角的弧度数是一个 数，零角的弧度数 是 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α 的弧度数的绝对值是|α| ＝ . (1)弧长公式：l＝|α|r. (2)扇形面积公式：S＝ 1 2 lr＝ 1 2 |α|r 2 . 【做一做 2】 已知半径为 10 cm 的圆上，有一条弧的长是 40 cm，则该弧所对的圆心角 的弧度数是 . 3.弧度制与角度制的换算 (1)角度转化为弧度：360°＝ rad,180°＝ rad，1°＝ rad≈0.017 45 rad. (2)弧度转化为角度：2π rad＝ ，π rad＝ ，1 rad＝( )°≈57.30°＝ 57°18′. (3)特殊角的弧度数与角度数对应表： 角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
5丌 弧度 角度180°210°225°240°270°300°315°330°360° 弧度 5丌 4 3 7 l1丌 (4)角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起关系:每一个 角都有唯一的一个(即这个角的弧度数)与它对应:反过来,每一个实数也都有唯一的 个(即弧度数等于这个实数的角)与它对应 【做一做3-1】把50°化为弧度为() 5 【做一做3-2】把πrad化为度为() A.52° B.36 C.72 D.90° 谷案:1.(1)弧度(2)半径长(3)rad 【做一做1】D 2.正负0 【做一做2】4 2丌3丌5 3.(1)2πr 180(2)360°180° 180(3)6432346 2(4)一一对应实数角 【做一做3-1】B 【做一做3-2】C 重点难点·酸 1.用弧度制表示象限角与轴线角 剖析:(1)象限角的表示: 角a终边所在象限 集合 第一象限 x12k<a<2kπ+n,k∈Z 第二象限 x|2k+<a<2k+r,k∈Z 第三象限 xl2kI+ I< a<2kI k∈Z 第四象限 x2kx+。<a<2kπ+2m,k∈z (2)轴线角的表示 角a终边所在的坐标轴 x轴非负半轴 a|a=2kx,k∈2 x轴非正半轴 {a|口=2k丌+,k∈2 轴 y轴非负半轴 aa=2kI+ y轴非正半轴 aa=2kT k∈Z 2
这位小男孩的精神，是多么令人感动！他就是快要死了，也不忘自己卖报的诚信，他灵魂是那么地高尚，伟大！2 弧度 0 π 12 ____ ____ ____ 5π 12 ____ ____ ____ ____ 角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 ____ 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 ____ (4)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起 关系：每一个 角都有唯一的一个 (即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一 个 (即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 【做一做 3－1】 把 50°化为弧度为( ) A.50 B. 5 18π C. 18 5π D. 9 000 π 【做一做 3－2】 把 2 5 π rad 化为度为( ) A.52° B.36° C.72° D.90° 答案：1．(1)弧度 (2)半径长 (3)rad 【做一做 1】 D 2．正 负 0 l r 【做一做 2】 4 3．(1)2π π π 180 (2)360° 180° 180 π (3) π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 2π (4)一一对应 实数 角 【做一做 3－1】 B 【做一做 3－2】 C 1.用弧度制表示象限角与轴线角 剖析：(1)象限角的表示： 角 α 终边所在象限 集合 第一象限 x|2kπ<α<2kπ＋ π 2 ，k∈Z 第二象限 x|2kπ＋ π 2 <α<2kπ＋π，k∈Z 第三象限 x|2kπ＋π<α<2kπ＋ 3 2 π，k∈Z 第四象限 x|2kπ＋ 3 2 π<α<2kπ＋2π，k∈Z (2)轴线角的表示： 角 α 终边所在的坐标轴 集合 x 轴非负半轴 {α|α＝2kπ，k∈Z} x 轴非正半轴 {α|α＝2kπ＋π，k∈Z} x 轴 {α|α＝kπ，k∈Z} y 轴非负半轴 α|α＝2kπ＋ π 2 ，k∈Z y 轴非正半轴 α|α＝2kπ－ π 2 ，k∈Z
轴 a|a=kx+。,k∈Z 坐标轴 a|a=,k∈z 2.弧度制与角度制的区别和联系 剖析:主要从定义、意义、换算、写法等方面考虑. (1)从定义上:弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制,角度制是以“度”为单位 度量角的单位制.因此弧度制和角度制一样,都是度量角的方法 (2)从意义上:1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小,而1°是圆的 周长的。所对的圆心角(或该弧)的大小:任意圆心角a的弧度数的绝对值a|=-,其中 l是以角a作为圆心角时所对的圆弧长,r为圆的半径. 3)从换算上:1rad=180 (4)从写法上:用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写,这时弧度 数在形式上虽是一个不名数,但我们应当把它理解为名数:如果以度“°”为单位表示角时, 度“°”就不能省去 曲型例题·额 N XING I 题型一角度与弧度的互化 【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度 (1)310°:(2)rad. 180 分析:利用下列公式换算:1 180 rad: I rad 180 反思:n° lorad, rrad 题型二比较大小 【例2】利用计算器比较sin1和sin1°的大小 反思:比较sina与sinB,cosa与cosB,tana与tanB的大小时,通常使 用计算器来完成,要注意a与B的单位 题型三扇形的弧长和面积公式 【例3】已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的 面积最大?最大面积为多少? 分析:设出扇形的半径r,弧长1,面积S,列出S关于r的函数解析式,转化为求二 次函数的最大值 反思:(1)在弧度制下的弧长公式、扇形的面积公式简洁明了,灵活应用这些公式列方 程组求解是解决这类问题的关键 2)在研究实际问题中的最值问题时,往往转化为二次函数的最值问题,这是经常用到 的思想方法 题型四易错辨析 易错点混淆了用弧度制和角度制表示的角 【例4】a=丌,B=Ⅱ°,则有() B B a>B C a<B D.a与B的大小不确定 错解:由于=丌,则a=B,故选A 错因分析:错解中混淆了π与π°的区别,π的单位是弧度,而°的单位是度 反思:角度制下的单位不能省略,而弧度制下的单位通常省略不写,因此要注意区分弧 度制和角度制表示的角
这位小男孩的精神，是多么令人感动！他就是快要死了，也不忘自己卖报的诚信，他灵魂是那么地高尚，伟大！3 y 轴 α|α＝kπ＋ π 2 ，k∈Z 坐标轴 α|α＝ k 2 π，k∈Z 2.弧度制与角度制的区别和联系 剖析：主要从定义、意义、换算、写法等方面考虑. (1)从定义上：弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制，角度制是以“度”为单位 度量角的单位制.因此弧度制和角度制一样，都是度量角的方法. (2)从意义上：1 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小，而 1°是圆的 周长的 1 360所对的圆心角(或该弧)的大小；任意圆心角 α 的弧度数的绝对值|α|＝ l r ，其中 l 是以角 α 作为圆心角时所对的圆弧长，r 为圆的半径. (3)从换算上：1 rad＝ 180 π °，1°＝ π 180 rad. (4)从写法上：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度 数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数；如果以度“°”为单位表示角时， 度“°”就不能省去. 题型一 角度与弧度的互化 【例 1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度. (1)310°；(2)5π 12 rad. 分析：利用下列公式换算：1°＝ π 180 rad；1 rad＝ 180 π °. 反思：n°＝ nπ 180rad，x rad＝ 180 π x °. 题型二 比较大小 【例 2】 利用计算器比较 sin 1 和 sin 1°的大小. 反思：比较 sin α 与 sin β，cos α 与 cos β，tan α 与 tan β 的大小时，通常使 用计算器来完成，要注意 α 与 β 的单位. 题型三 扇形的弧长和面积公式 【例 3】 已知一扇形的周长为 40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的 面积最大？最大面积为多少？ 分析：设出扇形的半径 r，弧长 l，面积 S，列出 S 关于 r 的函数解析式，转化为求二 次函数的最大值. 反思：(1)在弧度制下的弧长公式、扇形的面积公式简洁明了，灵活应用这些公式列方 程组求解是解决这类问题的关键； (2)在研究实际问题中的最值问题时，往往转化为二次函数的最值问题，这是经常用到 的思想方法. 题型四 易错辨析 易错点 混淆了用弧度制和角度制表示的角 【例 4】 α＝π，β＝π°，则有( ) A.α＝β B.α＞β C.α＜β D.α 与 β 的大小不确定 错解：由于 π＝π，则 α＝β，故选 A. 错因分析：错解中混淆了 π 与 π°的区别，π 的单位是弧度，而 π°的单位是度. 反思：角度制下的单位不能省略，而弧度制下的单位通常省略不写，因此要注意区分弧 度制和角度制表示的角
谷案: 【例1】解:(1)310° l80a×310313rad 1805 (2),。rad =75° 【例2】解:由计算器 MODE IMOD sin□=.84147098 sIn 017452406 sin >sin l 【例3】解:设扇形的圆心角为0,半径为rcm,弧长为cm,面积为Scm2,则 +2r=40,∴l=40-2r S==lr=×(40-2)r=20m-r2=-(r-10)2+100 当r=10时,扇形的面积最大,最大值为100cm,这时1∠2 【例4】B正解:a=Ⅱ=180°,因为180°>π°,所以a>B 随篁练彐· 1.下列各式正确的是 =10° 2.下列各式正确的是() A.cos3.7°sin 2.7 C.tan46°>tan44 D tan 1.23cos3.8°≈0.9978,所以A项不正确 sin5.1≈-0.9258tan44≈0.0177,所以C项正确 tan1.23≈2.8198>tan1.22≈2.7328,所以D项不正确
这位小男孩的精神，是多么令人感动！他就是快要死了，也不忘自己卖报的诚信，他灵魂是那么地高尚，伟大！4 答案： 【例 1】 解：(1)310°＝ π 180 rad×310＝ 31π 18 rad. (2)5π 12 rad＝ 180 π × 5π 12 °＝75°. 【例 2】 解：由计算器 MODE MODE 2 sin 1 ＝ 0.841 470 984. MODE MODE 1 sin 1 。 ， ，， ＝ 0.017 452 406. ∴sin 1＞sin 1°. 【例 3】 解：设扇形的圆心角为 θ，半径为 r cm，弧长为 l cm，面积为 S cm 2，则 l ＋2r＝40，∴l＝40－2r. ∴S＝ 1 2 lr＝ 1 2 ×(40－2r)r＝20r－r 2＝－(r－10)2＋100. ∴当 r＝10 时，扇形的面积最大，最大值为 100 cm2，这时 θ＝ l r ＝2. 【例 4】 B 正解：α＝π＝180°，因为 180°＞π°，所以 α＞β. 1．下列各式正确的是( ) A. 2 ＝90 B. 18 ＝10° C.3°＝ 60 D.38°＝ 38 2．下列各式正确的是( ) A.cos 3.7°＜cos 3.8° B.sin 5.1＞sin 2.7° C.tan 46°＞tan 44 D.tan 1.23＜tan 1.22 3．把－900°化为弧度为________. 4．若扇形的周长是 16 cm，圆心角是 2 rad，则扇形的面积是________. 5．如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心角 α 的弧 度数. 答案：1．B 2．C 借助于计算器有：cos 3.7°≈0.997 9＞cos 3.8°≈0.997 8，所以 A 项不正确； sin 5.1≈－0.925 8＜sin 2.7°≈0.047 1，所以 B 项不正确； tan 46°≈1.035 5＞tan 44≈0.017 7，所以 C 项正确； tan 1.23≈2.819 8＞tan 1.22≈2.732 8，所以 D 项不正确．
3.-5丌-900° 900 6, 4.16cm设扇形的半径是rcm,弧长为lcm,则{1 解得l=8,r=4.则 扇形的面积是b=16cm2 5.分析:列方程组求出扇形的弧长1和半径R,再由a|=求解 解:设A长为1cm,扇形半径为Rcm, +2R=10, 则由题意,得{1 1·R=4, 解得!R=4,「R=1 8 l=2
这位小男孩的精神，是多么令人感动！他就是快要死了，也不忘自己卖报的诚信，他灵魂是那么地高尚，伟大！5 3．－5π －900°＝－900× π 180 ＝－5π. 4．16 cm2 设扇形的半径是 r cm，弧长为 l cm，则 2 16, 2. l r l r + = = 解得 l＝8，r＝4.则 扇形的面积是 1 2 lr ＝16 cm2 . 5．分析：列方程组求出扇形的弧长 l 和半径 R，再由|α|＝ l R 求解． 解：设 长为 l cm，扇形半径为 R cm， 则由题意，得 2 10, 1 4, 2 l R l R + = = 解得 4, 2, R l = = 或 1, 8, R l = = ∴|α|＝ 2 4 ＝ 1 2 或|α|＝ 8 1 ＝8＞2π(舍去)．∴α＝ 1 2
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