2.5平面向量应用举例 以本为本·孤以】1 课前自主学习,基稳才能楼高 预习课本P109~112,思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题? (2)如何用向量方法解决物理问题? (3)如何判断多边形的形状? [新知初探] 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题 (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题 3)把运算结果“翻译”成几何关系 2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中 (3)动量m是向量的数乘运算 (4)功是力F与位移s的数量积 [小试身手] 1.若向量OF=(2,2),OF2=(-2,3)分别表示两个力F,F,则|F+F为() A.(0,5) B.(4,-1) 答案:D 2.在四边形ABCD中,AB·BC=0,BC=AD,则四边形ABCD是() A.直角梯形B.菱形 C.矩形D.正方形
2.5 平面向量应用举例 预习课本 P109～112，思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ (2)如何用向量方法解决物理问题？ (3)如何判断多边形的形状？ [新知初探] 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积． [小试身手] 1．若向量 OF1 ＝(2,2)，OF2 ＝(－2,3)分别表示两个力 F1，F2，则|F1＋F2|为( ) A．(0,5) B．(4，－1) C．2 2 D．5 答案：D 2．在四边形 ABCD 中， AB · BC ＝0， BC ＝ AD ，则四边形 ABCD 是( ) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
答案:C 3.力F=(-1,-2)作用于质点P,使P产生的位移为s=(3,4),则力F对质点P做 的功是 答案:-11 学用结合·通技 课堂讲练设计,举一能通类题 题型一 燕向量在几何中的应用 题点一:平面几何中的垂直问题 1.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE 证明:法一:设AD=a,AB=b, 则|a=|b 又DE=DA+AE=-a+=b, AF=AB+ BF=bt-a, 所以F·DE=(+2),(-+ b+=b2 la|2+a|b2=0.故 AF⊥DE,即AF⊥DE 法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0, F(2,1),AF=(2,1),DE=(1,-2) 因为AF·DE=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以AF⊥DE,即AF⊥DE 题点二:平面几何中的平行(或共线)问题 2.如图,点O是平行四边形ABC的中心,E,F分别在边CD 求证:点E,O,F在同一直线上 证明:设AB=m,AD=m 由 小AF_1如F分别是CD,AB的三等分点, Fo-FA+A0=BA+AC
答案：C 3．力 F＝(－1，－2)作用于质点 P，使 P 产生的位移为 s＝(3,4)，则力 F 对质点 P 做 的功是________． 答案：－11 向量在几何中的应用 题点一：平面几何中的垂直问题 1.如图所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一：设 AD ＝a， AB ＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又 DE ＝ DA ＋ AE ＝－a＋ 1 2 b， AF ＝ AB ＋ BF ＝b＋ 1 2 a， 所以 AF · DE ＝ b＋ 1 2 a · － a＋ 1 2 b ＝－ 1 2 a 2－ 3 4 a·b＋ 1 2 b 2＝－ 1 2 |a| 2＋ 1 2 |b| 2＝0.故 AF ⊥ DE ，即 AF⊥DE. 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)， F(2,1)， AF ＝(2,1)， DE ＝(1，－2)． 因为 AF · DE ＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以 AF ⊥ DE ，即 AF⊥DE. 题点二：平面几何中的平行(或共线)问题 2. 如图，点 O 是平行四边形 ABCD 的中心，E，F 分别在边 CD， AB 上，且CE ED ＝ AF FB ＝ 1 2 . 求证：点 E，O，F 在同一直线上． 证明：设 AB ＝m， AD ＝n， 由 CE ED ＝ AF FB ＝ 1 2 ，知 E，F 分别是 CD，AB 的三等分点， ∴ FO＝ FA ＋ AO ＝ 1 3 BA ＋ 1 2 AC
n+(m+n)=-m+-n, OE= 0C+CE=AC+-CD (m+ n)--m-mton FO=OE 又0为FO和OE的公共点,故点E,O,F在同一直线上 题点三:平面几何中的长度问题 3.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC 的长 解:设AD=a,AB=b,则BD=a-b,AC=a+b, 而|BD|=|a-b=√a-2a·b+b=y1+4-2a·b=5-2a·b=2 ∴5-2a·b=4,∴a·b=,又AC12=|a+b2=a+2a·b+b=1+4+2a·b=6, AC|=V,即AC=V6 题通店 用向量方法解决平面几何问题的步骤 〔平面几何问题)建立平面几有与向量的联系,用向量表 C向量问题将平面几何问题转化为向量问题 向量运算}(通过向量运算,研究几何元素问的关系 几何关系(用运算结果判断几何问题中的关系 题型 悬麦向量在物理中的应用 [典例](1)在长江南岸某渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? (2)已知两恒力F=(3,4),F=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点 B(7,0),求F,F分别对质点所做的功 [解](1)如图,设AB表示水流的速度,AD表示渡船的速度,AC表示渡船实际 垂直过江的速度 因为AB+AD=AC,所以四边形ABCD为平行四边形
＝－ 1 3 m＋ 1 2 (m＋n)＝ 1 6 m＋ 1 2 n， OE ＝OC ＋ CE ＝ 1 2 AC ＋ 1 3 CD ＝ 1 2 (m＋n)－ 1 3 m＝ 1 6 m＋ 1 2 n. ∴ FO＝OE . 又 O 为 FO 和 OE 的公共点，故点 E，O，F 在同一直线上． 题点三：平面几何中的长度问题 3.如图，平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2，求对角线 AC 的长． 解：设 AD ＝a， AB ＝b，则 BD ＝a－b， AC ＝a＋b， 而| BD |＝|a－b|＝ a 2－2a·b＋b 2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝ 1 2 ，又| AC | 2＝|a＋b| 2＝a 2＋2a·b＋b 2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴| AC |＝ 6，即 AC＝ 6. 用向量方法解决平面几何问题的步骤 向量在物理中的应用 [典例] (1)在长江南岸某渡口处，江水以 12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ (2)已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0)，求 F1，F2 分别对质点所做的功． [解] (1) 如图，设 AB 表示水流的速度， AD 表示渡船的速度， AC 表示渡船实际 垂直过江的速度． 因为 AB ＋ AD ＝ AC ，所以四边形 ABCD 为平行四边形．
在Rt△ACD中,∠ACD=90°,|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,所以∠CAD=30° 即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30° (2)设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为∥=F·s AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15) ∴=R·AB=(3,4)·(-13,-15) 3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), =F2·AB=(6,-5)·(-13,-15) 6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦) [一题多变] 1.[变设问]本例(2)条件不变,求F,F的合力F为质点所做的功 解:Ⅳ=F·AB=(F+F)·AB=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·( 13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦) 2.[变条件]本例(2)条件变为:两个力F=计+jF=4i-5j作用于同一质点,使该质 点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i,j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求: F,F分别对该质点做的功 解:AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15), F做的功=F·s=F·AB=(1,1)·(-13,-15)=-28(焦) F做的功=F·s=F·AB=(4,-5)·(-13,-15)=23(焦) 类题通法 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 把物理问题中的相关量用向量表示 触他){您向量的模型,通过向量的运算 还原 把结果还原为物理问题 多练提能·熟生巧 课后层级训练,步步提升能力 层级一学业水平达标 1.已知三个力f=(-2,-1),f=(-3,2),f=(4,-3)同时作用于某物体上一点 为使物体保持平衡,再加上一个力f,则f=() A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2) 解析:选D由物理知识知f+f+f+f=0,故f=-(f+f+f)=(1,2) 人骑自行车的速度是v,风速为v,则逆风行驶的速度为()
在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，| DC |＝| AB |＝12.5，| AD |＝25，所以∠CAD＝30°， 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西 30°. (2)设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W＝F·s. ∵ AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)． ∴W1＝F1· AB ＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)， W2＝F2· AB ＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)． [一题多变] 1．[变设问]本例(2)条件不变，求 F1，F2 的合力 F 为质点所做的功． 解：W＝F· AB ＝(F1＋F2)· AB ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－ 13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)． 2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质 点从点 A(20,15)移动到点 B(7,0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求： F1，F2 分别对该质点做的功． 解： AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)， F1 做的功 W1＝F1·s＝F1· AB ＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)． F2 做的功 W2＝F2·s＝F2· AB ＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)． 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 层级一 学业水平达标 1．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点， 为使物体保持平衡，再加上一个力 f4，则 f4＝( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 解析：选 D 由物理知识知 f1＋f2＋f3＋f4＝0，故 f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)． 2．人骑自行车的速度是 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( )
B.十 解析:选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为+.注意速度是有方向和大小 的,是一个向量. 8.已知四边形D各顶点坐标是(-1,一341,3(-2(-2=2 则四边形ABCD是() A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 菱形 解析:选A∵AB DC=(3,4) AB==DC,∴AB∥DC,即AB∥DC 又|AB|=/+4=10 9=3,|DC|=v+16=5, ∴AB|≠DC|,∴四边形ABCD是梯形 4.在△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=√5,AC·AB=5,则AC的长为( D.4 解析:选B∵BD=AD-AB=2AC-AB AC-AB AC2-AC·AB+AB2 即AC2=1.:|AC|=2,即AC=2 5.已知△ABC满足AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,则△ABC是() A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 解析:选C由题意得,AB2=AB·AC+AB·CB+CA·CB=AB·(AC+ B)+CA·CB=AB2+CA·CB, CA·CB=0,∴CA⊥CB, ∴△ABC是直角三角形. 已知力F=(2,3)作用于一物体,使物体从A(2,0)移动到B(-2,3),则力F对物体
A．v1－v2 B．v1＋v2 C．|v1|－|v2| D. v1 v2 解析：选 B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 v1＋v2.注意速度是有方向和大小 的，是一个向量． 3．已知四边形 ABCD 各顶点坐标是 A －1，－ 7 3 ，B 1， 1 3 ，C － 1 2 ，2 ，D － 7 2 ，－2 ， 则四边形 ABCD 是( ) A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 解析：选 A ∵ AB ＝ 2， 8 3 ， DC ＝(3,4)， ∴ AB ＝ 2 3 DC ，∴ AB ∥ DC ，即 AB∥DC. 又| AB |＝ 4＋ 64 9 ＝ 10 3 ，| DC |＝ 9＋16＝5， ∴| AB |≠| DC |，∴四边形 ABCD 是梯形． 4．在△ABC 中，AB＝3，AC 边上的中线 BD＝ 5，AC · AB ＝5，则 AC 的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B ∵ BD ＝ AD － AB ＝ 1 2 AC － AB ， ∴BD 2―→＝ 1 2 AC － AB 2＝ 1 4 2 AC － AC · AB ＋ 2 AB ， 即 1 4 2 AC ＝1.∴| AC |＝2，即 AC＝2. 5．已知△ABC 满足 2 AB ＝ AB · AC ＋ BA · BC ＋ CA·CB ，则△ABC 是( ) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析：选 C 由题意得， AB 2＝ AB · AC ＋ AB ·CB ＋ CA·CB ＝ AB ·( AC ＋ CB )＋ CA·CB ＝ AB 2＋ CA·CB ， ∴ CA·CB ＝0，∴ CA ⊥ CB ， ∴△ABC 是直角三角形． 6．已知力 F＝(2,3)作用于一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(－2,3)，则力 F 对物体
所做的功是 解析:∵AB=(-4,3), ∥F·s=F·AB=(2,3)·(-4,3)=-8+9=1 答案:1 7.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10N,则每根绳子的 拉力大小为N. 解析:如图,由题意,得∠AOC=∠COB=60°, 则|OA|=OB|=10,即每根绳子的拉力大小为10N. 答案:10 8.已知,B是圆心为C,半径为√的圆上的两点,且|AB=√5,则AC·CB 解析:由弦长AB=V5,可知∠ACB=60° AC·CB=-CA·CB=-C4|CBos∠AB=-2 答案: 知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB 求证:AD⊥C 证明:如图,以C为原点,CA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系 设AC=a,则A(a,0),B(0,a), 所以AD=-a, 1-35 所以AD,CE=-a,1 所以AD⊥CE,即AD⊥CE 10.已知点A(2,-1).求过点A与向量a=(5,1)平行的直线方程 解:设所求直线上任意一点P(x,y
所做的功是________． 解析：∵ AB ＝(－4,3)， ∴W＝F·s＝F· AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1. 答案：1 7．用两条成 120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为 10 N，则每根绳子的 拉力大小为________ N. 解析： 如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，| OC |＝10， 则| OA |＝| OB |＝10，即每根绳子的拉力大小为 10 N. 答案：10 8．已知 A，B 是圆心为 C，半径为 5的圆上的两点，且|AB|＝ 5，则 AC ·CB ＝ ________. 解析：由弦长|AB|＝ 5，可知∠ACB＝60°， AC ·CB ＝－CA·CB ＝－| CA || CB |cos∠ACB＝－ 5 2 . 答案：－5 2 9．已知△ABC 是直角三角形，CA＝CB，D 是 CB 的中点，E 是 AB 上的一点，且 AE＝2EB. 求证：AD⊥CE. 证明：如图，以 C 为原点，CA 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系． 设 AC＝a，则 A(a,0)，B(0，a)， D 0， a 2 ，C(0,0)，E 1 3 a， 2 3 a . 所以 AD ＝ － a， a 2 ， CE ＝ 1 3 a， 2 3 a . 所以 AD ·CE ＝－a· 1 3 a＋ a 2 · 2 3 a＝0， 所以 AD ⊥ CE ，即 AD⊥CE. 10．已知点 A(2，－1)．求过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程． 解：设所求直线上任意一点 P(x，y)
则AP=(x-2,y+1) 由题意知AP∥a,故5(y+1)-(x-2)=0, 即x-5y-7=0. 故过点A与向量a=(5,1)平行的直线方程为 层级二应试能力达标 1.已知一条两岸平行的河流河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为() V26 6 解析:选B设河水的流速为n,小船在静水中的速度为v,船的实际速度为v,则|n 2,|v=10,⊥n,∴=-n,p·=0, h=√P-2·n+=2V26(m/s) 2.在△ABC中,AB=3,AC=2,BD=BC,则AD·BD的值为() B 解析:选C因为BD=BC,所以点D是BC的中点,则AD=(AB+AC),BD BC=(AC-AB),所以AD·BD=(AB+AC)·(AC-AB)=(AC AB2)=1(2-32)=-,选C. 3.如图,在矩形ABCD中,AB=V2,BC=2,点E为BC的中点,点F在边 CD上,若AB·AF=V2,则AE·BF的值是 2 D.1 解析:选A∵AF=AD+DF,AB·AF=AB·(AD+DF)=AB·AD+ AB·DF=AB·DF=DF|=V2,∴DF|=1,CF|=V2-1,∴AE·BF (AB+BE)·(BC+CF)=AB·CF+BE·BC=-2(-1)+1×2=-2
则 AP ＝(x－2，y＋1)． 由题意知 AP ∥a，故 5(y＋1)－(x－2)＝0， 即 x－5y－7＝0. 故过点 A 与向量 a＝(5,1)平行的直线方程为 x－5y－7＝0. 层级二 应试能力达标 1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A．10 m/s B．2 26 m/s C．4 6 m/s D．12 m/s 解析：选 B 设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则|v1| ＝2，|v|＝10，v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0， ∴|v2|＝ v 2－2v·v1＋v 2 1＝2 26(m/s)． 2．在△ABC 中，AB＝3，AC＝2， BD ＝ 1 2 BC ，则 AD · BD 的值为( ) A．－ 5 2 B. 5 2 C．－ 5 4 D. 5 4 解析：选 C 因为 BD ＝ 1 2 BC ，所以点 D 是 BC 的中点，则 AD ＝ 1 2 ( AB ＋ AC )，BD ＝ 1 2 BC ＝ 1 2 ( AC － AB )，所以 AD · BD ＝ 1 2 ( AB ＋ AC )·1 2 ( AC － AB )＝ 1 4 ( 2 AC － 2 AB )＝ 1 4 (22－3 2 )＝－ 5 4 ，选 C. 3.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 AB · AF ＝ 2，则 AE · BF 的值是( ) A. 2 B．2 C．0 D．1 解析：选 A ∵ AF ＝ AD ＋ DF ，AB · AF ＝ AB ·( AD ＋ DF )＝ AB · AD ＋ AB · DF ＝ AB · DF ＝ 2| DF |＝ 2，∴| DF |＝1，| CF |＝ 2－1，∴ AE · BF ＝( AB ＋ BE )·( BC ＋ CF )＝ AB · CF ＋ BE · BC ＝－ 2( 2－1)＋1×2＝－2
+V2+2=√2,故选A 4.如图,设P为△ABC内一点,且2PA+2PB+PC=0,则S△Ap:S△A=( A.=B. 解析:选A设AB的中点是D PA+ PB=2 PD=-- PC PD ∴P为CD的五等分点, ,△ABP的面积为△ABC的面积的 5.若0为△AB所在平面内一点,且满足(OB-OC)·(OB+OC-20)=0,则 △ABC的形状为 解析:(OB-OC)·(OB+OC-204) (AB-AC)(0B-0A+OC-0A) (AB-AC)·(AB+AC) B|2-|AC|2=0, I AB=| AC I 答案:等腰三角形 6.如图所示,在倾斜角为37°(sin37°=0.6),高为2m的斜面上,质量为5kg的 物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍, 斜面对物体m的支持力所做的功为J,重力所做的功为 2m 解析:物体m的位移大小为|s sin37° 则支持力对物体m所做的功为 =F·s=| FIascos90°=0( 重力对物体m所做的功为 呢=G·S=|G|scos53°=5×9.8××0.6=98(J 答案:098 7.如图所示,一个物体受到同一平面内三个力F,E,F的作用,沿北偏东45°的方向
＋ 2＋2＝ 2，故选 A. 4.如图，设 P 为△ABC 内一点，且 2 PA ＋2 PB ＋ PC ＝0，则 S△ABP∶S△ABC＝( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 1 4 D. 1 3 解析：选 A 设 AB 的中点是 D. ∵ PA ＋ PB ＝2 PD ＝－ 1 2 PC ， ∴ PD ＝－ 1 4 PC ， ∴P 为 CD 的五等分点， ∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的1 5 . 5．若 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足( OB－OC )·( OB ＋ OC －2 OA )＝0，则 △ABC 的形状为________． 解析：( OB－OC )·( OB ＋ OC －2 OA ) ＝( AB － AC )·( OB－OA ＋ OC －OA ) ＝( AB － AC )·( AB ＋ AC ) ＝| AB | 2－| AC | 2＝0， ∴| AB |＝| AC |. 答案：等腰三角形 6.如图所示，在倾斜角为 37°(sin 37°＝0.6)，高为 2 m 的斜面上，质量为 5 kg 的 物体 m 沿斜面下滑，物体 m 受到的摩擦力是它对斜面压力的 0.5 倍， 则 斜面对物体 m 的支持力所做的功为________J，重力所做的功为 ________J(g＝9.8 m/s2 )． 解析：物体 m 的位移大小为|s|＝ 2 sin 37°＝ 10 3 (m)， 则支持力对物体 m 所做的功为 W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)； 重力对物体 m 所做的功为 W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8× 10 3 ×0.6＝98(J)． 答案：0 98 7.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力 F1，F2，F3 的作用，沿北偏东 45°的方向
移动了8m,其中F|=2N,方向为北偏东30°:|F|=4N,方向为北偏东60°:|F|=6 N,方向为北偏西30°,求合力F所做的功 解:以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则F=(1, √3),F=(2,2),B=(-3,35),所以F=F+F+=(23 +4).又位移s=(4E,E,故合力F所做的功为 F √-2)×42+2+43)×42 即合力F所做的功为246J 点进做题 8.如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BED 与DF的交点.若AB=a,AD=b (1)试以a,b为基底表示BE,DF (2)求证:A,G,C三点共线 解:(1)BE=AE-AB DF=AF-Ad=ca-b (2)证明:因为D,G,F三点共线,则DC→=ADF Bp AG=AD+ d DF=d a+(1-1)b 因为B,G,E三点共线,则BC→=BE, EJ AG=AB+ u BE=(1-p)a+ub, 由平面向量基本定理知 1-2 解得A= AG=-(a+b)=AC 所以A,G,C三点共线
移动了 8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东 30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东 60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西 30°，求合力 F 所做的功． 解：以 O 为原点，正东方向为 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则 F1＝(1， 3)，F2＝(2 3，2)，F3＝(－3,3 3)，所以 F＝F1＋F2＋F3＝(2 3 － 2,2 ＋4 3)．又位移 s＝(4 2，4 2)，故合力 F 所做的功为 W＝F·s ＝(2 3－2)×4 2＋(2＋4 3)×4 2 ＝4 2×6 3 ＝24 6(J)． 即合力 F 所做的功为 24 6 J. 8.如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，AB 的中点，G 为 BE 与 DF 的交点．若 AB ＝a， AD ＝b. (1)试以 a，b 为基底表示 BE ， DF ； (2)求证：A，G，C 三点共线． 解：(1) BE ＝ AE － AB ＝ 1 2 b－a， DF ＝ AF － AD ＝ 1 2 a－b. (2)证明：因为 D，G，F 三点共线，则 DG―→＝λ DF ， 即 AG ＝ AD ＋λ DF ＝ 1 2 λa＋(1－λ)b. 因为 B，G，E 三点共线，则 BG―→＝μ BE ， 即 AG ＝ AB ＋μ BE ＝(1－μ)a＋ 1 2 μb， 由平面向量基本定理知 1 2 λ＝1－μ， 1－λ＝ 1 2 μ， 解得 λ＝μ＝ 2 3 ， ∴ AG ＝ 1 3 (a＋b)＝ 1 3 AC ， 所以 A，G，C 三点共线．
◇阶段质量检测(二)平面向量 (时间120分钟满分150分) 、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的) 1.在五边形 ABCDE中(如图),AB+BC-DC=() A. AC B. AD C. BD D. BE 解析:选B∵AB+BC-DC=AC+CD=AD 2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,3),那么|a+b等于() 解析:选B因为a+b=(,2),所以|a+b=3+2=V13,故选B. 3.设向量a,b均为单位向量,且|a+b=1,则a与b的夹角为() D 解析:选C∵a+b=1,∴|a|2+2a·b+|b|2=1, cos (a, 又〈a,b∈[0,π],∴〈a,b 4.已知向量m=(4+1,1),n=(4+2,2),若(m+n)⊥(m-m),则A=() A. B.-3 解析:选B因为m+n=(2A+3,3),mn=(-1,-1),由(m+m)⊥(m-m),可得(m +m)·(m-n)=(2A+3,3)·(-1,-1)=-2A-6=0,解得A=-3 5.如图,M,N分别是AB,AC的一个三等分点,且MN=A(AC一AB)成立,则A A
(时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.在五边形 ABCDE 中(如图)， AB ＋ BC － DC ＝( ) A． AC B． AD C． BD D． BE 解析：选 B ∵ AB ＋ BC － DC ＝ AC ＋ CD＝ AD . 2．已知平面向量 a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于( ) A．5 B. 13 C. 17 D．13 解析：选 B 因为 a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝ 3 2＋2 2＝ 13，故选 B. 3．设向量 a，b 均为单位向量，且|a＋b|＝1，则 a 与 b 的夹角为( ) A. π 3 B. π 2 C. 2π 3 D. 3π 4 解析：选 C ∵|a＋b|＝1，∴|a| 2＋2a·b＋|b| 2＝1， ∴cos〈a，b〉＝－1 2 .又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝2π 3 . 4．已知向量 m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则 λ＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 解析：选 B 因为 m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m ＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得 λ＝－3. 5．如图，M，N 分别是 AB，AC 的一个三等分点，且 MN ＝λ( AC － AB )成立，则 λ ＝( ) A. 1 2 B. 1 3