§5.3平面向量的数量积 基础知识自主学习 要点梳理 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量 a·bcos叫做a与b的数量积(或内积),记 作a·b=ab|·cos日 规定:零向量与任一向量的数量积为_0 两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两非 零向量a与b平行的充要条件是a·b=±a|b
§5.3 平面向量的数量积 要点梳理 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量 叫做a与b的数量积（或内积），记 作 . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两非 零向量a与b平行的充要条件是 . |a|·|b|cos θ a·b=|a||b|·cos θ 0 a·b=0 a·b=±|a||b| 基础知识 自主学习
2.平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度a与b在a方向上的投影 bcosθ的乘积 3.平面向量数量积的重要性质 (1)e·a=a·e= a cos6; (2)非零向量a,b,a⊥ba·b=0; (3)当a与b同向时,a·b=ab; 当a与b反向时,a·b=-ab a·a=c 2 a·a; a (4)Cos 0= (5)|a·b|≤|a|b
2.平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 （1）e·a=a·e= ； （2）非零向量a，b，a⊥b ； （3）当a与b同向时，a·b= ； 当a与b反向时，a·b= , a·a= ，|a|= ; （4）cos θ= ； （5）|a·b| |a||b|. |b|cosθ |a|cos θ a·b=0 |a||b| -|a||b| a 2 a a ≤ |a ||b | a b
4.平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b=b·a(交换律) (2)(a)·b=2a·b=a·b(为实数); (3)(a+b)·c=a·c+b·c
4.平面向量数量积满足的运算律 （1）a·b= （交换律）； （2）（ a）·b= = （ 为实数）； （3）（a+b）·c= . b·a a·b a· b a·c+b·c
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=(x1,y ),b(x2,y2),则 a·b=x1x2+y2,由此得到 (1)若a=(x,y),则a12=2+2或l1=√x2+ (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点间 的距离|AB|=AB=√(x-x)2+(n-y2 (3)设a=(x,y1),b=(x2,y2),则a⊥b x1x2+y1y2=0
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a= （ x1 ， y1 ） ， b= （ x2 ， y2 ） ， 则 a·b= ，由此得到 （1）若a=（x，y）,则|a| 2= 或|a| . （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间 的距离|AB|=|AB|= . （3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a⊥b . x1x2+y1y2 x 2+y 2 2 1 2 2 1 2 (x − x ) + ( y − y ) x1x2+y1y2=0 2 2 = x + y
基础自测 1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为(c) B. 65 解析设和b的夹角为,|a|cosb=l/x2b 2×(-4)+3×713 4)2+72√655
基础自测 1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ） A. B. C. D. 解析 设a和b的夹角为θ，|a|cos θ=|a| C 13 5 13 5 65 65|a ||b | a b . 5 65 65 13 ( 4) 7 2 ( 4) 3 7 2 2 = = − + − + =
若|a|=2cos15°,|b|=4sin15°,a,b的夹角为 30°,则a·b等于 B√3 解析 a·b= ab cos30 2cos15°.4sin15°.cos30° 4sin30°·cos30° 2 sin 60
2.若|a|=2cos 15° ，|b|=4sin 15° ，a，b的夹角为 30° ，则a·b等于 （ ） A. B. C. D. 解析 B 2 3 3 2 3 2 1 ab =| a || b | cos 30 3 2sin 60 4 sin 30 cos 30 2 cos15 4 sin 15 cos 30 = = = =
3.已知a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则a·(b·c) 等于 A A.(26,-78) B.(-28,-42) C.-52 D.-78 解析a·(b·c)=(1,-3)×(4×2+6×3)=(26,-78)
3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a·（b·c） 等于 （ ） A.（26，-78） B.（-28，-42） C.-52 D.-78 解析 a·(b·c)=(1,-3)×(4×2+6×3)=(26,-78). A
4.向量m=(x5,1),n=(4,x),m⊥n,则x等于(D) A.1 B.2 C.3 D.4 解析由m·n=0,得4(x-5)+x=0,得x=4
4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),m⊥n，则x等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由m·n=0，得4(x-5)+x=0，得x=4. D
5.(2009·江西文,13)已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(,2),若(ac)⊥b,则k0 解析∵:ac=(3,1)-(,2)=(3-k,-1), (a-c)⊥b,b=(1,3), (3-B)×1-3=0,∴k0
5. （ 2009· 江西文 ， 13 ） 已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）⊥b,则k= . 解析 ∵a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1), (a-c)⊥b，b=(1,3), ∴(3-k)×1-3=0,∴k=0. 0
题型分类深度剖析 题型一平面向量的数量积 【例1】已知向量a=(3 x, sin- x) b=(cosx,-sinx),且x∈[ (1)求a·b及|a+b; (2)若(x)=a·b-|a+b,求f(x)的最大值和最小值 思维启迪利用数量积的坐标运算及性质即可求解, 在求|a+b时注意x的取值范围
题型一 平面向量的数量积 【例1】已知向量a=(cos x,sin x), b=(cos ,-sin )，且x∈[ ]. (1)求a·b及|a+b|; (2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值. 利用数量积的坐标运算及性质即可求解， 在求|a+b|时注意x的取值范围. 2 3 2 3 2 x 2 x 4 π 3 π − ， 思维启迪 题型分类 深度剖析