2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课后篇巩固探究 A组基础巩固 1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是() A.a∥b B.8⊥b C.a∥(a-b D.a⊥(ab) 解析由&b=(-2,-1),易得a·(ab)=0,故&⊥(ab),选D 答案 2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是() A.(3,4) 3)或(3) 解析与a共线的单位向量是=8,4,即与a共线的单位向量是(3)或( 答案 3若平面向量a=(3,x),b=(1,2),向量a在b方向上的射影等于√5则x的值等于() B.6 D.-2 解析依题意有=3=5,解得x 答案C 4.在平行四边形ABCD中,AB=(1,0,AC=(2,2,则ADBD等于( A.4 C.2 解析如图,由向量的加减,可得AD=BC=AC-AB8=1,2),BD=AD-AB=AC-AB-AB=AC AB=(0,2)
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课后篇巩固探究 A 组 基础巩固 1.向量 a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是( ) A.a∥b B.a⊥b C.a∥(a-b) D.a⊥(a-b) 解析由 a-b=(-2,-1),易得 a·(a-b)=0,故 a⊥(a-b),选 D. 答案 D 2.若 a=(3,4),则与 a 共线的单位向量是( ) A.(3,4) B. C. D.(1,1) 解析与 a 共线的单位向量是± =± (3,4),即与 a 共线的单位向量是 . 答案 C 3.若平面向量 a=(3,x),b=(1,2),向量 a 在 b 方向上的射影等于 ,则 x 的值等于( ) A. B.6 C.1 D.-2 解析依题意有 ,解得 x=1. 答案 C 4.在平行四边形 ABCD 中, =(1,0), =(2,2),则 等于( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析如图,由向量的加减,可得 =(1,2), - 2 =(0,2)
故ADBD=(1,2)·(0,2)=0+=1 答案A 5导学号68254087在矩形ABCD中,AB2√3,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线 段CD上的动点,则AEAF的取值范围是() A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8] 解析如图,A(0,0),E(2V3,1) 设F(x,2)(0≤x≤2飞3),所以AE=(2√3,1),AF=(,2), 因此AEA2√3x 设f(x)2√3x2(0≤x≤2√3,f(x为增函数, 则f(0)=,f(2√3=4,故2≤f(x)≤14,AEAF的取值范围是[2,14 答案A 6.设x,y∈R,向量&=(x,1),b=(1,y),c=(2,-),且a⊥c,b∥c,则/a+b √10 D.10 解析:向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,则有2x-40,-1-2y=0,解得x=,y=2,故 a+b=3,-),故有/a+b/=32+(1)2=√10,故选B 答案B 7.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y= 解析a·b=1y,//=10,/=1+y, 与b的夹角为45 -1+3 b 2 cos45° 1 解得y之或y=-2(舍去)
故 =(1,2)·(0,2)=0+4=4. 答案 A 5. 导学号 68254087 在矩形 ABCD 中,AB=2 ,AD=2,点 E 为线段 BC 的中点,点 F 为线 段 CD 上的动点,则 的取值范围是( ) A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8] 解析如图,A(0,0),E(2 ,1), 设 F(x,2)(0≤x≤2 ),所以 =(2 ,1), =(x,2), 因此 =2 x+2, 设 f(x)=2 x+2(0≤x≤2 ),f(x)为增函数, 则 f(0)=2,f(2 )=14,故 2≤f(x)≤14, 的取值范围是[2,14]. 答案 A 6.设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( ) A. B. C.2 D.10 解析∵向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则有 2x-4=0,-4-2y=0,解得 x=2,y=-2,故 a+b=(3,-1),故有|a+b|= ,故选 B. 答案 B 7.已知 a=(-1,3),b=(1,y).若 a 与 b 的夹角为 45°,则 y= . 解析 a·b=-1+3y,|a|= ,|b|= , ∵a 与 b 的夹角为 45°, ∴cos 45°= . 解得 y=2 或 y=- (舍去)
答案2 8.已知单位向量a与向量b=(1,-1)的夹角为45°,则/ab/= 解析由已知得a/,//=2,a·b=/a/b/es45°4,于是/ab/=√ab)=√aP2ab+b2= 答案1 9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x3,-x)(x∈R) (1)若&∥b,求/ab/ (2)若&与b的夹角为锐角,求x的取值范围. 解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x#3)=0,解得x=0或x=2 当x=0时,a=(1,0),b=(3,0), 所以ab=(2,0),则/ab/ 当x=2时,B=(1,-2),b=(-1,2) 所以ab=(2,-4),则/ab/=y 综上,/b/2或2√5 (2)因为a与b的夹角为锐角 所以a·b),即2x+3-x2X0,解得-1<x3 又当x=时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)U(0,3) 10.已知向量a=(1,2),b=(cosa,sina),设ma+b(t∈R) (1)若a三,求当血/取最小值时实数t的值 (2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量ab与向量m的夹角为4?若存在,求出实数t;若不存在, 请说明理由 3y2 解(1)当a时,b=22),a·b=2, a+6=3+8+205=+3+5=1+翌2) 3√2 当t=2时,//取得最小值 (2)假设存在满足条件的实数t
答案 2 8.已知单位向量 a 与向量 b=(1,-1)的夹角为 45°,则|a-b|= . 解析由已知得|a|=1,|b|= ,a·b=|a||b|cos 45°=1,于是|a-b|= =1. 答案 1 9.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a∥b,求|a-b|; (2)若 a 与 b 的夹角为锐角,求 x 的取值范围. 解(1)因为 a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0), 所以 a-b=(-2,0),则|a-b|=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2), 所以 a-b=(2,-4),则|a-b|=2 . 综上,|a-b|=2 或 2 . (2)因为 a 与 b 的夹角为锐角, 所以 a·b>0,即 2x+3-x 2 >0,解得-1<x<3. 又当 x=0 时 a∥b,故 x 的取值范围是(-1,0)∪(0,3). 10.已知向量 a=(1,2),b=(cos α,sin α),设 m=a+tb(t∈R). (1)若 α= ,求当|m|取最小值时实数 t 的值; (2)若 a⊥b,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 与向量 m 的夹角为 ?若存在,求出实数 t;若不存在, 请说明理由. 解(1)当 α= 时,b= ,a·b= , ∴|m|= , ∴当 t=- 时,|m|取得最小值. (2)假设存在满足条件的实数 t
π_(a-b)(a+t母 由条件得 a-b a+t b :a⊥b,:/ab/=√(ab=√6 /a+b/=√a+tb}=v5+t2, (ab)·(a+b)=5-t, 6√5+t2 -5+3v5 2t50,且t⑤5,得t= :存在t= 2满足条件 11.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状 解因为AB=(4,0)-(1,2)=(3,2),D=(8.6-638)=3,-2) 所以AB=DC,所以四边形ABCD是平行四边形 因为 8)-(1,2)=(4,6) 所以AB,AD3X4+(-2)x6=0 所以AB⊥AD,所以四边形ABCD是矩形 因为/AB =√3/AD√3,/AB/≠/Ab 所以四边形ABCD不是正方形 综上,四边形ABCD是矩形 B组能力提升 1.已知O为坐标原点,向量OA=(3sina,cosa),OB=(2sina,5sina-cosa),a 且OA⊥0B,则tana的值为() A.-3 B.3 C.5 D.4 解析由题意知6sin2 a tcos a·(5sina-4cosa)=0,即6sin2 a tosin acos a-4cos2a=0,等式 两边同时除以cos2a,得6tan2a+5tana-10,由于a∈ (2,2n),所以tana0解得tmna= 故选A. 答案A
由条件得 cos , ∵a⊥b,∴|a-b|= , |a+tb|= , (a-b)·(a+tb)=5-t, ∴ . ∴t 2 +5t-5=0,且 t<5,得 t= . ∴存在 t= 满足条件. 11.已知 A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状. 解因为 =(4,0)-(1,2)=(3,-2), =(8,6)-(5,8)=(3,-2), 所以 ,所以四边形 ABCD 是平行四边形. 因为 =(5,8)-(1,2)=(4,6), 所以 =3×4+(-2)×6=0, 所以 ,所以四边形 ABCD 是矩形. 因为| |= ,| |=2 ,| |≠| |, 所以四边形 ABCD 不是正方形. 综上,四边形 ABCD 是矩形. B 组 能力提升 1.已知 O 为坐标原点,向量 =(3sin α,cos α), =(2sin α,5sin α-4cos α),α∈ , 且 ,则 tan α 的值为( ) A.- B.- C. D. 解析由题意知 6sin2α+cos α·(5sin α-4cos α)=0,即 6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,等式 两边同时除以 cos 2α,得 6tan2α+5tan α-4=0,由于 α∈ ,所以 tan α<0,解得 tan α=- , 故选 A. 答案 A
2.已知在直角梯形ABC中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=,AD=1,梯形所在平面内一点P满足 BA+BC=BP,则PCPD=() 2V2 解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以 B(0,0),A0,2),C(2,0),D(,2),所以BA=(0,2),BC=(2,0),因为A+BC=2BP,所以 2BP0,2)+(2,0)=(,2),故BP=1,1),故P1,1),pD=0,1),PC=1,-1),所以PP0×1nx( B(O c x 3已知向量a=(√3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b 解析设b=(x,y) h/=√x2+y2=1,: rty x2+[√3(1-x)]2=1 :4x6x2=. 2x2-3x+1=0 x=1,2=万,n=0,=2 (1,0)是与x轴平行的向量 答案(22 4.已知a,b,c均为单位向量,且/a/=1,则(a-b)·c的取值范围是( A.[0,1] B.[-1,1] C.[ D.[0,v3
2.已知在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点 P 满足 =2 ,则 =( ) A.- B.-1 C.-2 D.-2 解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为 AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以 B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以 =(0,2), =(2,0),因为 =2 ,所以 2 =(0,2)+(2,0)=(2,2),故 =(1,1),故 P(1,1), =(0,1), =(1,-1),所以 =0×1+1×(- 1)=-1. 答案 B 3.已知向量 a=( ,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a·b= ,则 b= . 解析设 b=(x,y). ∵|b|= =1,∴x 2 +y 2 =1. ∵a·b= x+y= , ∴x 2 +[ (1-x)]2 =1. ∴4x 2 -6x+2=0. ∴2x 2 -3x+1=0. ∴x1=1,x2= ,∴y1=0,y2= . ∵(1,0)是与 x 轴平行的向量, ∴b= . 答案 4.已知 a,b,c 均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c 的取值范围是( ) A.[0,1] B.[-1,1] C.[- ] D.[0, ]
解析由ab为单位向量和|a+b的几何意义,可知/ab/=3,设B-b与c的夹角为O,则(a b)·c=/a-b/c/·coso=3cos0,:cosO∈[-1,1], :(a-b)·c的取值范围为[-33 答案C 5导学号68254088已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABC两对角线所夹的锐角的余弦值 (1)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4), AB 1,1),AD=(-3,3) 又ABAD1X(-3)+1x30, (2)解:4B⊥AD四边形ABCD为矩形, AB= DC 设点C的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-1) gx+1=1 y-4=1 得 (1,1), 点C的坐标为(0,5) (2,4),BD=(4,2) /A/25,/BD/2√5ACBD46 设AC与BD的夹角为0 Ac 则cos0= AC BD2v5x 故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为 6如图,在△BC中,AC4,用B/书,AC/千,1为线段BC的垂直平分线,1与BC交于点BE为7 上异于D的任意一点
解析由 a,b 为单位向量和|a+b|=1 的几何意义,可知|a-b|= ,设 a-b 与 c 的夹角为 θ,则(ab)·c=|a-b||c|·cos θ= cos θ,∵cos θ∈[-1,1], ∴(a-b)·c 的取值范围为[- ]. 答案 C 5. 导学号 68254088 已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)若四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标及矩形 ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值. (1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴ =(1,1), =(-3,3). 又 =1×(-3)+1×3=0, ∴ ,∴AB⊥AD. (2)解∵ ,四边形 ABCD 为矩形, ∴ . 设点 C 的坐标为(x,y),则 =(x+1,y-4). 又 =(1,1),∴ ∴点 C 的坐标为(0,5). ∴ =(-2,4), =(-4,2), ∴| |=2 ,| |=2 =8+8=16. 设 的夹角为 θ, 则 cos θ= . 故矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为 . 6.如图,在△ABC 中, =0,| |=8,| |=6,l 为线段 BC 的垂直平分线,l 与 BC 交于点 D,E 为 l 上异于 D 的任意一点
(1)求ADCB的值 (2)判断AECB的值是否为一个常数,并说明理由 解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线1为y轴建立平面直角坐标系, 由题意易知/BC/=10, 则D(0,0),B(5,0),C(5,0),A 此时AD=(33)B=(-0.0, 所以A6cB=3x(10)+(23)×04 (2是一个常数理由如下:设点E的坐标为0.)(≠0,此时4E=(3y3) 所以c=x(10)+(y3)×04为常数,故AECB的值是一个常数 精美句子 1、善思则能“从无字勺处读书”。读沙漠,读岀了它坦荡豪放的胸怀:读太阳,读岀了它普 照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。读大海,读出了它气势磅礴的豪情。读石 灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗 子”的收获,幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与 析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多 少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑 谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生 自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩:从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我 读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了 坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。鲜花,如果害怕凋谢,那它永远 不能开放。矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。蜡烛,如果害怕 熄灭(燃烧),那它永远不能发光。航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸
(1)求 的值; (2)判断 的值是否为一个常数,并说明理由. 解(1)以点 D 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴,直线 l 为 y 轴建立平面直角坐标系, 由题意易知|BC|=10, 则 D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A , 此时 =(-10,0), 所以 =- ×(-10)+ ×0=14. (2)是一个常数.理由如下:设点 E 的坐标为(0,y)(y≠0),此时 , 所以 =- ×(-10)+ ×0=14,为常数,故 的值是一个常数. 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普 照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石 灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗 子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与 析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多 少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑 谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生 自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我 读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了 坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那它永远 不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡烛，如果害怕 熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸
5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。 笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。山中的石!当你背靠群峰时,意志就坚了。水中的 萍!当你随波逐流后,根基就没了。空中的鸟!当你展翅蓝天中,宇宙就大了。空中的雁!当 你离开队伍时,危险就大了。地下的煤!你燃烧自己后,贡献就大了 6、朋友是什么 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风, 轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带; 友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。一块铀块,可以平 庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。一个人,可以碌碌无为地在世上厮 混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青舂是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热 血;青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和 心灵
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。 笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的 萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当 你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了 6、朋友是什么？ 朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风， 轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋 友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。 一块铀块，可以平 庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无为地在世上厮 混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热 血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和 心灵