理数 课标版 第二节平面向量的基本定理及坐标表示
理数 课标版 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
@教材研读 四识理 1平面向量的基本定理 如果e1、是同一平面内的两个1 句量那么对于这一平面 内的任一向量a,2 对实数1、使a3 其中不共线的向量e、创叫做表示这一平面内所有向量的一组4
1.平面向量的基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个① 不共线 向量,那么对于这一平面 内的任一向量a,② 有且只有 一对实数λ1、λ2,使a=③ λ1e1+λ2e2 . 其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组④ 基底 . 教材研读
2平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(xyb=(xy)则b=5 a-b (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点则终点坐标即为向量的坐标 (设4(xy),Bx)则=9 3平面向量共线的坐标表示 设a=(xy)b=(3b丰0)则a∥b=⑩
2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=⑤ (x1+x2,y1+y2) ,a-b=⑥ (x1-x2,y1-y2) ,λa =⑦ (λx1,λy1) ,|a|=⑧ . (2)向量坐标的求法 (i)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. (ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =⑨ (x2-x1,y2-y1) ,| |=⑩ . 2 2 1 1 x y + A B → A B → 2 2 ( ) ( ) x x y y 2 1 2 1 − + − 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),则a∥b⇔ x1y2-x2y1=0
目测趣国 1已知点4(13)84-1则与向量同方向的单位向量为( A
1.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量 同方向的单位向量为 ( ) A. B. C. D. 答案 A ∵A(1,3),B(4,-1), ∴ =(3,-4),又∵| |=5, ∴与 同向的单位向量为 = .故选A. A B → 3 4 , 5 5 − 4 3 , 5 5 − 3 4 , 5 5 − 4 3 , 5 5 − A B → A B → A B → | | A B A B → → 3 4 , 5 5 −
2若向量a=(1-10c164则c=() A. 4a-2b B4a+26 C-2a+46 D2a+4b
2.若向量a=(1,1),b=(-1,0),c=(6,4),则c= ( ) A.4a-2b B.4a+2b C.-2a+4b D.2a+4b 答案 A 设c=λa+μb(λ,μ∈R),则有(6,4)=(λ,λ)+(-μ,0)=(λ-μ,λ),即λ-μ=6,λ =4,从而μ=-2,故c=4a-2b
3如果e,已是平面内一组不共线的向量那么下列四组向量中不能作 为平面内所有向量的一组基底的是() Ae与e+e2Ber2e与e+2e2 Ce+e2与e-2De+32与6e2+2e
3.如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作 为平面内所有向量的一组基底的是 ( ) A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1 答案 D 选项A中,设e1+e2=λe1,则 无解; 1 , 1 0 , = λ = 选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则 无解; 选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则 无解; 选项D中,e1+3e2= (6e2+2e1),所以两向量是共线向量. 1 , 2 2 , λ λ = − = 1 , 1 , λ λ = = − 1 2
4设e,已是平面内一组基底若e+1e2=0则入+=
4.设e1,e2是平面内一组基底,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1+λ2= . 答案 0 解析 假设λ1≠0,由λ1e1+λ2e2=0,得e1=- e2, ∴e1与e2共线,这与e1,e2是平面内一组基底矛盾, 故λ1=0,同理,λ2=0, ∴λ1+λ2=0. 2 1 λ λ
5已知向量=12.(45,10)且B、C三点共线则
5.已知向量 =(k,12), =(4,5), =(-k,10),且A、B、C三点共线,则k= . 答案 - 解析 = - =(4-k,-7), = - =(-2k,-2), 因为A、B、C三点共线,即 与 共线, 所以 = (k≠0), 解得k=- .O A → O B → O C → 2 3 A B → O B → O A → A C → O C → O A → A B → A C → 4 2 k k − − 7 2 − − 2 3
考点突破 考点一平面向量基本定理及其应用 典例1(2017沈阳四中期中)在△ABC中点P是B上一点,且=■ i1Q是C的中点与CP的交点为M又测实数的值为
考点一 平面向量基本定理及其应用 典例1 (2017沈阳四中期中)在△ABC中,点P是AB上一点,且 = + ,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又 =t ,则实数t的值为 . 答案 解析 因为 = + , 所以3 =2 + , 即2 -2 = - , 所以2 = , 即P为AB的一个三等分点(靠近A点), C P → 2 3 C A → 1 3 C B → C M → C P → 3 4 C P → 2 3 C A → 1 3 C B → C P → C A → C B → C P → C A → C B → C P → A P → P B → 考点突破
M B Q C 又因为AMQ三点共线设1 所以C上AM=(·」!C 5AB+ icici io 又#t(- 1-t( 故;,解得故的值是
又因为A,M,Q三点共线,设 =λ , 所以 = - =λ - =λ - = + , 又 =t =t( - )=t = -t , A M → A Q → C M → A M → A C → A Q → A C → 1 1 2 2 AB AC → → + A C → 2 λ A B → 2 2 λ − A C → C M → C P → A P → A C → 1 3 AB AC → → − 3 t A B → A C → 故 解得 故t的值是 . , 2 3 2 , 2 λ t λ t = − = − 3 , 4 1 . 2 t λ = = 3 4