2.31平面向量基本定理 学习目标 1通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实 际问题的重要思想方法能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表 达 3.了解向量的夹角与垂直的概念 重点难点 教学重点平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义 教学难点平面向量基本定理的运用 教学过程 引子:在物理学中我们知道,力是一个向量力的合成就是向量的加法运算而且力是可以分解 的任何一个大小不为零的力都可以分解成两个不同方向的分力之和将这种力的分解拓展 到向量中来会产生什么样的结论呢? 问题:如图,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们 通过作图研究a与e1、e2之间的关系 e N B 请完成: ①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量b=3e1+2e2、c=e1-2e2 ②由①可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2来表示向量b,c那么 平面内的任一向量是否都可以用形如Ae1+h2e2的向量表示呢?
1 2. 3.1 平面向量基本定理 学习目标 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实 际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表 达. 3.了解向量的夹角与垂直的概念。 重点难点 教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义。 教学难点:平面向量基本定理的运用. 教学过程 引子：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解 的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展 到向量中来,会产生什么样的结论呢？ 问题：如图，设 1 e 、 2 e 是同一平面内两个不共线的向量, a 是这一平面内的任一向量,我们 通过作图研究 a 与 1 e 、 2 e 之间的关系. 请完成： ① 给定平面内任意两个不共线的非零向量 1 e 、 2 e ，请你作出向量 b =3 1 e +2 2 e 、c = 1 e -2 2 e . 1 e 2 e ② 由①可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量 1 e 、 2 e 来表示向量 b , c 那么 平面内的任一向量是否都可以用形如 λ1 1 e +λ2 2 e 的向量表示呢?
【由上述过程可以发现平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示 出来当e1、e2确定后任意一个向量都可以由这两个向量量化这为我们研究问题带来极大 的方便】 由此可得 【平面向量基本定理】 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有 对实数1、A2,使a=1e1+2e2 【定理说明】 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 (2)基底不唯一,关键是不共线 (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解 (4)基底给定时,分解形式唯 提出问题 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗? 已知两个非零向量a和b(如图)作OA=a,OB=b,则∠AOB=009180°)叫做向量a与b 的夹角 显然当日=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向因此两非零向量的夹角在区间 [0°,1809] 如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直记作a⊥b ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示 2
2 【由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 1 e 、 2 e 表示 出来.当 1 e 、 2 e 确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大 的方便.】 由此可得: 【平面向量基本定理】: 如果 1 e 、 2 e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只有一 对实数 λ1、λ2,使 a =λ1 1 e +λ2 2 e . 【定理说明】: (1)我们把不共线向量 1 e 、 2 e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 1 e 、 2 e 的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一. 提出问题 ① 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 已知两个非零向量 a 和 b (如图),作 OA = a ,OB =b ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角. 显然,当 θ=0°时, a 与 b 同向;当 θ=180°时, a 与 b 反向.因此,两非零向量的夹角在区间 [0°,180°]内. 如果 a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b . ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？
例1、已知向量e1、e2(如图)求作向量2.5e1+3e2 /e2 练习: 1.设e1、巳2是同一平面内的两个向量,则有() A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a都有a= (A、∈R) D.若e、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=Ae1+ue2(A、U∈R 2已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、已2不共线,则a+b与C=61=2e2的 关系 A.不共线 B共线C.相等 D.无法确定 3.已知A1>0,42>0,e1、e2是一组基底,且a=A11+2e2,则a与e1 (填“共线”或“不共线”) 4下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面 内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量, 其中正确的说法是( A.①② C.①③ D.①②③ 5设e1与e2是两个不共线向量,a=3日1+4e2,b=2e1+5e2,若实数λ、μ满足
3 例 1、已知向量 1 e 、 2 e (如图),求作向量-2.5 1 e +3 2 e . 练习： 1.设 1 e 、 2 e 是同一平面内的两个向量，则有( ) A. 1 e 、 2 e 一定平行 B. 1 e 、 2 e 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a ＝ λ 1 e +μ 2 e (λ、μ∈R) D.若 1 e 、 2 e 不共线，则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λ 1 e +u 2 e (λ、u∈R) 2.已知向量 a ＝ 1 e -2 2 e ，b ＝2 1 e + 2 e ，其中 1 e 、 2 e 不共线，则 a + b 与 c ＝6 1 e -2 2 e 的 关系（ ） A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 ３.已知 λ1＞0，λ2＞0， 1 e 、 2 e 是一组基底，且 a ＝λ1 1 e +λ2 2 e ，则 a 与 1 e ， a 与 2 e ．(填“共线”或“不共线”). 4.下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面 内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量, 其中正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 5. 设 1 e 与 2 e 是两个 不共线向 量, a =3 1 e +4 2 e , b =-2 1 e +5 2 e , 若实数 λ、μ 满足
λa+ub=5e1-e2,求λ、μ的值 6.【能力提升题】已知G为△ABC的重心设AB=a,AC=b,试用a、b表示向量AG 课堂小结 1回顾本节学习的数学知识平面向量的基本定理向量的夹角与垂直的定义, 2总结本节学习的数学方法如待定系数法,定义法归纳与类比,数形结合,几何作图 作业布置 已知向量e1、e2(如图,求作向量(1)e1+2e2.(2)-e1+3e2
4 λ a +μ b =5 1 e - 2 e ,求 λ、μ 的值. 6.【能力提升题】已知 G 为△ABC 的重心,设 AB = a , AC =b ,试用 a 、b 表示向量 AG . 课堂小结 1.回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义, 2.总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图. 作业布置 已知向量 1 e 、 2 e (如图),求作向量（1） 1 e +2 2 e . （2）- 1 e +3 2 e