2.3平面向量基本定理及坐标表示 内容和内容解析 本课时包括平面向量基本定理,平面向量的正交分解及坐标表示,平面向量的坐标运算、平面向量 共线的坐标表示 平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础。课本首先通过一个具体的例子给出平面向 量基本定理,同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念:然后在平面向量基本定理的基础上,给出了 平面向量的正交分解及坐标表示,向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念,最后给出平面向量共 线的坐标表示。坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系,这为通过“数”的运算处 理“形”的问题搭起了桥梁。 作为一种数学工具,在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数,并将几何及其它的一些 问题通过代数运算来研究,这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过程.向量基本定理实际上是建 立向量坐标的一个逻辑基础,向量基本定理的研究综合了前面的向量知识,同时又为后继的内容作了奠基, 这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位 、目标和目标解析 1.理解平面向量的基本定理,具体要求为: (1)运用已有的向量知识研究平面向量的基本定理,经历给定的向量在一组基底上唯一分解的过程; (2)体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷,帮助理解基底的作用; (3)将向量的“唯一分解”与实数对的“一一对应”建立联系,指出这样的对应奠定了向量建立向量 坐标的基础,体会数学中的问题转化,及定理的深刻涵义 2.理解向量坐标的定义,并能用坐标表示坐标平面上的向量,具体要求为 (1)结合学生在物理中已有的认知,来进一步从数学上学习正交分解及其意义 (2)结合向量及平面直角坐标系的相关基础正确把握坐标向量的几何意义 3.反思向量坐标的建立过程,体会平面向量坐标建立的过程及平面向量基本定理的作用和意义 、重点、难点解析 “平面向量基本定理”既是本节的重点又是本节的难点,平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一 向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合,这样如果将平面内向量的始点放在一起,那么有平面向量 基本定理可知,平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以有平 面内的一个点及两个不共线的向量表示。 四、教学过程设计 1.平面向量基本定理 问题1.我们看习题2.2(A组)12题
2.3 平面向量基本定理及坐标表示 一、内容和内容解析 本课时包括平面向量基本定理，平面向量的正交分解及坐标表示 ，平面向量的坐标运算、平面向量 共线的坐标表示。b5E2RGbCAP 平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础。课本首先通过一个具体的例子给出平面向 量基本定理，同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基础上，给出了 平面向量的正交分解及坐标表示，向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念，最后给出平面向量共 线的坐标表示。坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处 理“形”的问题搭起了桥梁。p1EanqFDPw 作为一种数学工具，在中学数学中向量的优势更多地体现在沟通几何与代数，并将几何及其它的一些 问题通过代数运算来研究,这样一个思辨的过程变为了一种程序化的操作过程. 向量基本定理实际上是建 立向量坐标的一个逻辑基础，向量基本定理的研究综合了前面的向量知识，同时又为后继的内容作了奠基， 这就决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.DXDiTa9E3d 二、目标和目标解析 1.理解平面向量的基本定理，具体要求为： (1)运用已有的向量知识研究平面向量的基本定理，经历给定的向量在一组基底上唯一分解的过程; (2)体验在解决问题过程中选择适当的基底带来的便捷,帮助理解基底的作用; (3)将向量的“唯一分解”与实数对的“一一对应”建立联系，指出这样的对应奠定了向量建立向量 坐标的基础，体会数学中的问题转化，及定理的深刻涵义.RTCrpUDGiT 2.理解向量坐标的定义,并能用坐标表示坐标平面上的向量，具体要求为： (1)结合学生在物理中已有的认知,来进一步从数学上学习正交分解及其意义； (2)结合向量及平面直角坐标系的相关基础正确把握坐标向量的几何意义. 3.反思向量坐标的建立过程,体会平面向量坐标建立的过程及平面向量基本定理的作用和意义。 三、重点、难点解析 “平面向量基本定理”既是本节的重点又是本节的难点，平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一 向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，这样如果将平面内向量的始点放在一起，那么有平面向量 基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以有平 面内的一个点及两个不共线的向量表示。5PCzVD7HxA 四、教学过程设计. 1.平面向量基本定理 问题 1.我们看习题 2.2(A 组)12 题:
△ABC中 4,DE∥BC,且与边AC相交于点E,△ABC的中线AM与DE相交于点M,设 AB=a,C=b,用4b表示向量AB,BC,D,D,BC,DM,AM 类似的,用两个不共线的向量来表示其它向量的问题在例题和习题中还有多处.从这些题目中我们不 难发现,图中所有的向量都可用向量来表示,那么自然地会问这样一个问题:平面内的任意一个向量是否 都能用类似12题的方法,用给定的两个不共线的向量来表示呢? 意图说明:学生会通过作图来说明这一问题,在解决问题时可能要提醒学生,这里的向量是自由向量,其 始点是可以移动的,所以在用纸笔作图时,将三个向量的起点放在一起可便于研究问题.教师可循着学生的 思路通过计算机作图来帮助其他学生认清这个问题 问题2.从前面的研究中我们发现任意一个平面向量都可以用两个不共线的向量表示,那么对于给定的 向量a及向量1,a2,若要将a用1,a2表示其形式是怎样的? 意图说明:通过电脑作图让学生体会a可能与1,2中的一个共线,也可能与1,2都不共线,引导学生 得出结论a= +4吗教师也可以通过在电脑作图来展示不同的号、马所作出的向量a 事实上在物理上也常有将一个力分解成若干个力,将几个力合成为一个力a=1+192可以看作 是力的分解合的成向量表示形式 从前面的研究及力的分解合成的经验可以发现:向量4=1+92,中的有,是唯一确定的 由此我们有 平面向量基本定理:如果,2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且 只有一对实数气,马使4=+12 我们把不共线的向量1,2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base) 例1:已知向量,2求作向量252+302 意图说明:教师可让学生先在黑板上板书,再点评。以此来加深对定理的掌握。 问题3已知平行四边形口4BCD中,B、F是对角线A、C上的两点=FC=4,试用 向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形
中, , ,且与边 相交于点 , 的中线 与 相交于点 ,设 , ,用 表示向量 , , , , , , . 类似的,用两个不共线的向量来表示其它向量的问题在例题和习题中还有多处. 从这些题目中我们不 难发现,图中所有的向量都可用向量 来表示,那么自然地会问这样一个问题:平面内的任意一个向量是否 都能用类似 12 题的方法,用给定的两个不共线的向量来表示呢? jLBHrnAILg 意图说明：学生会通过作图来说明这一问题,在解决问题时可能要提醒学生,这里的向量是自由向量,其 始点是可以移动的,所以在用纸笔作图时,将三个向量的起点放在一起可便于研究问题.教师可循着学生的 思路通过计算机作图来帮助其他学生认清这个问题.xHAQX74J0X 问题 2.从前面的研究中我们发现任意一个平面向量都可以用两个不共线的向量表示,那么对于给定的 向量 及向量 , ,若要将 用 , 表示其形式是怎样的?LDAYtRyKfE 意图说明：通过电脑作图让学生体会 可能与 , 中的一个共线,也可能与 , 都不共线, 引导学生 得出结论 .教师也可以通过在电脑作图来展示不同的 、 所作出的向量 .Zzz6ZB2Ltk 事实上在物理上也常有将一个力分解成若干个力,将几个力合成为一个力. 可以看作 是力的分解合的成向量表示形式.dvzfvkwMI1 从前面的研究及力的分解合成的经验可以发现:向量 ,中的 , 是唯一确定的. 由此我们有 平面向量基本定理： 如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 ,有且 只有一对实数 , 使 rqyn14ZNXI 我们把不共线的向量 , 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底(base). 例 1：已知向量 , 求作向量 . 意图说明：教师可让学生先在黑板上板书，再点评。以此来加深对定理的掌握。 问题 3 已知平行四边形 中, 、 是对角线 、 上的两点，且 ，试用 向量方法证明四边形 也是平行四边形
分析由平面向量的基本定理可知向量FB及DE用一组基底来唯一表示,要证明四边形DEBF是平行 四边形,只要证明用相同的基底表示出来的向量2B及DE是相同的即可 意图说明:分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入 证;设AD=a,AB=b则 DE= AE-AD=-AC 1+3 FB=AB-AF=b-=AC=-b 所以DE=B,四边形DEBF为平行四边形 不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:已知两个非零向量a,,作OA=a,OB=5,则 ∠AOB=8(0≤8s180)叫做向量a,b的夹角.当=时,a与b同向;当=180时,a与b反向如 果a与的夹角是90°,我们说4与b垂直,记作a⊥b 用光滑斜面上木块的受力为例说明正交分解 这个问题学生相对是比较熟悉的可比较快地通过,也可以让学生说说在物理中正交分解的优越性 2.平面向量的坐标表示 请学生结合向量基本定理及正交分解,思考平面内的任一向量是否都可以用x轴和y轴上的单位向量 来表示,在学生讨论的基础上,请学生做下面的练习 问题4设x轴和〕轴上且方向与轴的正方向同向的单位向量分别用向量2和J来表示试用2和来表 示图中的向量
分析 由平面向量的基本定理可知向量 及 用一组基底来唯一表示,要证明四边形 是平行 四边形,只要证明用相同的基底表示出来的向量 及 是相同的即可.EmxvxOtOco 意图说明：分析很重要,突出向量基本定理及基底的作用,使学生对问题的认识在原有的基础上更深入 一步 证： 设 , 则 , 而 . 所以 ,四边形 为平行四边形. 不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:已知两个非零向量 , ,作 , ,则 ( )叫做向量 , 的夹角.当 时, 与 同向;当 时, 与 反向.如 果 与 的夹角是 .我们说 与 垂直,记作 .SixE2yXPq5 用光滑斜面上木块的受力为例说明正交分解. 这个问题学生相对是比较熟悉的可比较快地通过,也可以让学生说说在物理中正交分解的优越性. 2.平面向量的坐标表示 请学生结合向量基本定理及正交分解,思考平面内的任一向量是否都可以用 轴和 轴上的单位向量 来表示.在学生讨论的基础上,请学生做下面的练习.6ewMyirQFL 问题 4 设 轴和 轴上且方向与轴的正方向同向的单位向量分别用向量 和 来表示.试用 和 来表 示图中的向量
AB=2-37CD=3+27BF=7+27d=2-57=3+27O=7+27 意图说明:这里想让学生体会2,的系数得出的有序数对与向量间的对应关系 问题5结合上面的练习研究下面的问题,如果将2、小的系数组成一个有序数对(x,),那么平面上 的任意一个向量与数对(x,)之间有怎样的对应关系? 让学生发现有一个向量就有唯一确定的一个数对(x,y);反过来,一个数对对应着无穷多个向量,但这 些向量都是相等的.(这在后面向量的坐标上要让学生进一步有所认识,知道坐标对应的向量的图形只是从 原点出发的向量,但其他与它相等的向量都是由这个坐标表示.) 问题6结合上面的研究请学生自己定义向量的坐标.(教师可结合教科书上的定义来点评学生自己的定 义.这是为了培养学生理解和归纳能力,经常有类似的训练有助于提高学生的能力 如图,在直角坐标系中,分别与x轴、)轴方向相同的两个单位向量2、J作为基底对于平面上的一个 向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得 a=n+y
, , , , , . 意图说明：这里想让学生体会 , 的系数得出的有序数对与向量间的对应关系. 问题 5 结合上面的练习研究下面的问题, 如果将 、 的系数组成一个有序数对 ,那么平面上 的任意一个向量与数对 之间有怎样的对应关系？kavU42VRUs 让学生发现有一个向量就有唯一确定的一个数对 ；反过来，一个数对对应着无穷多个向量，但这 些向量都是相等的.(这在后面向量的坐标上要让学生进一步有所认识,知道坐标对应的向量的图形只是从 原点出发的向量,但其他与它相等的向量都是由这个坐标表示.)y6v3ALoS89 问题6 结合上面的研究请学生自己定义向量的坐标.(教师可结合教科书上的定义来点评学生自己的定 义.这是为了培养学生理解和归纳能力,经常有类似的训练有助于提高学生的能力.M2ub6vSTnP 如图,在直角坐标系中,分别与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.对于平面上的一个 向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 、 ，使得 0YujCfmUCw . ①
这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作 a=(x, y) 其中x叫做a在x轴上的坐标,)叫做a在)轴上的坐标,②式叫做向量的坐标 例2:写出例2中各个向量的坐标 练习P113.3 五、目标检测设计 1.已知4=(4,3),AB=a,且点A的坐标为(-3,-4),求点B的坐标 意图说明:通过这个练习希望学生能正确地认识向量坐标的意义,在解答中可结合向量作图使学生明确 我们要求点B的坐标就是要求向量OB的坐标,而OB=OA+a,这里是要学生明确向量的坐标与坐标平面 中的向量的对应关系. 用平面向量基本定理来解决有关三角形中点问题这个问题主要让学生体会解题过程,认识平面向量 基本定理的作用,所以教师可自己分析,展示解题过程,学生可在回家作业中进行练习巩固. AG 2.已知三角形△ABC中,G是重心,用向量方法求AF的值,请填空并说明本题的解题思路
这样,平面内的任一向量 都可由 、 唯一确定,我们把有序数对 叫做向量 的坐标,记作 , ② 其中 叫做 在 轴上的坐标, 叫做 在 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标. 例 2 ：写出例 2 中各个向量的坐标. 练习 P113.3. 五、目标检测设计 1.已知 , ,且点 的坐标为 ,求点 的坐标. 意图说明：通过这个练习希望学生能正确地认识向量坐标的意义,在解答中可结合向量作图使学生明确 我们要求点 的坐标就是要求向量 的坐标,而 .这里是要学生明确向量的坐标与坐标平面 中的向量的对应关系.eUts8ZQVRd 用平面向量基本定理来解决有关三角形中点问题.这个问题主要让学生体会解题过程,认识平面向量 基本定理的作用,所以教师可自己分析,展示解题过程,学生可在回家作业中进行练习巩固.sQsAEJkW5T 2.已知三角形 中, 是重心,用向量方法求 的值. 请填空并说明本题的解题思路
AG 解设P2 → 所以 又设BF=BE1 BG 所以BG= AG= BG (1-A)C 1-, 由平面向量基本定理得与的方程组为 解方程组得A= AG 2 所以,AF3 意图说明:希望学生能知道本题的解题思路是,对向量AG在基底,b上进行分解,由于不同的参数 可得出不同的分解形式.由平面向量基本定理分解的唯一可得出两个方程组,通过解方程便能得出结果.本 题的目的是帮助学生理解基底和平面向量基本定理 3.请回顾本堂课的教学过程,你能说出定义向量的坐标前面做了那些准备,为什么需要做这些准备? 意图说明:在引入向量的坐标前,先给出了平面向量基本定理,目的是告述学生平面上的任一向量在给 定的基底上分解是唯一的,这样一个向量就能和一个有序数对建立一种对应关系(给出向量坐标的合理性), 然后是正交分解(给出向量坐标的实用性),在这基础上定义平面向量的坐标,从这里可以看到数学是自然的 数学是有用的,数学是精确的 六、课堂小结设计 1、平面向量基本定理 2、平面向量的正交分解及坐标表示
解 设 ,而 ,所以 ________,( ) 又设 ,而 ,所以 ________,( ) 而 ____________.( ) 由平面向量基本定理得 与 的方程组为_________.( ) 解方程组得 =__________.( ) 所以, . 意图说明：希望学生能知道本题的解题思路是,对向量 在基底 上进行分解,由于不同的参数 可得出不同的分解形式.由平面向量基本定理分解的唯一可得出两个方程组,通过解方程便能得出结果.本 题的目的是帮助学生理解基底和平面向量基本定理.GMsIasNXkA 3.请回顾本堂课的教学过程,你能说出定义向量的坐标前面做了那些准备,为什么需要做这些准备? 意图说明：在引入向量的坐标前,先给出了平面向量基本定理,目的是告述学生平面上的任一向量在给 定的基底上分解是唯一的,这样一个向量就能和一个有序数对建立一种对应关系(给出向量坐标的合理性), 然后是正交分解(给出向量坐标的实用性),在这基础上定义平面向量的坐标,从这里可以看到数学是自然的, 数学是有用的,数学是精确的.TIrRGchYzg 六、课堂小结设计 1、平面向量基本定理 2、平面向量的正交分解及坐标表示
3、平面向量共线的坐标表示 意图说明:通过小结,是学生在总体上对本节的知识点有一个准确的把握
3、平面向量共线的坐标表示 意图说明：通过小结，是学生在总体上对本节的知识点有一个准确的把握
