2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课程目版,后 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个 向量的夹角 2.会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系 基础知识·理 I CHU ZHI SHI SHU 平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示 设非零向量a=(x,y),b=(x,y,a与b的夹角为0,则有下表 坐标表示 模 设R(x,n),B(题,y),则|RB a⊥ba·b=0 夹角 Cos0=a·b 名师点拨 已知非零向量a=(x,y),b=(2,y) 若B∥bx=xy,即xy一题巧=0. 若a⊥bx2=一巧2,即xx2+巧=0 这两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:共线纵横交错积相等,垂直横横纵 纵积相反 【做一做1-1】向量m=(1,0),n=(2,-5),则m·n等于() 【做一做1-2】已知M=(3,-4),则|MM等于() A.3 4 5 【做一做1-3】若向量a=(4,2),b=(6,m,且a⊥b,则m的值是() 【做一做1-4】已知a=(3,0),b=(-5,5),则a与b的夹角O= 答案:+x+x+y 一题22+ 【做一做1-1】Cm·n=1×2+0×(-5)=2 【做一做1-2】D|M=2+-42=5. 【做一做1-3】D∵a⊥b,∴4×6+2m=0,解得m=-12. 【做一做1-1x|a=V9+0=3,1b=25+2-=5 a·b=3×(-5)+0×5=-15
1 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个 向量的夹角． 2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系． 平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示 设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，则有下表： 坐标表示 数量积 a·b＝__________ 模 |a|＝__________或|a| 2＝__________ 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2 → |＝______________ 垂直 a⊥b a·b＝0 ______________＝0 夹角 cos θ＝ a·b |a||b| ＝__________________ 已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 若 a∥b x1y2＝x2y1，即 x1y2－x2y1＝0. 若 a⊥b x1x2＝－y1y2，即 x1x2＋y1y2＝0. 这两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：共线纵横交错积相等，垂直横横纵 纵积相反． 【做一做 1－1】 向量 m＝(1,0)，n＝(2，－5)，则 m·n 等于( ) A．－2 B．0 C．2 D．7 【做一做 1－2】 已知MN →＝(3，－4)，则|MN →|等于( ) A．3 B．4 C. 5 D．5 【做一做 1－3】 若向量 a＝(4,2)，b＝(6，m)，且 a⊥b，则 m 的值是( ) A．12 B．3 C．－3 D．－12 【做一做 1－4】 已知 a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则 a 与 b 的夹角 θ＝__________. 答案： x1x2 ＋ y1y2 x 2 1＋y 2 1 x 2 1 ＋ y 2 1 x1－x2 2＋ y1－y2 2 x1x2 ＋ y1y2 x1x2＋y1y2 x 2 1＋y 2 1 x 2 2＋y 2 2 【做一做 1－1】 C m·n＝1×2＋0×(－5)＝2. 【做一做 1－2】 D |MN →|＝ 3 2＋ －4 2＝5. 【做一做 1－3】 D ∵a⊥b，∴4×6＋2m＝0，解得 m＝－12. 【做一做 1－4】 3π 4 |a|＝ 9＋0＝3，|b|＝ 25＋25＝5 2， a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15
则 COS 0=2·b √2 /a//b|3× 又0≤θ≤丌, 4,即a与b的夹角为 重点难点·酸 N DIAN TU POO 投影的坐标表示 剖析:由于向量b=(x,y)在向量a=(x,n)方向上的投影为b|·cos0 a|b6osb·B(0为a与b的夹角),从而向量b在向量a方向上的投影的坐标表示 原同理可得,向量a在向量b方向上的投影的坐标表示为| acos 6 x2+y2 a| b cos 0a·bxx+ b b Vx2+y2 2.向量数量积性质的坐标表示 剖析:设两个非零向量a=(a,a),b=(b,b),a与b的夹角为0. (1)a·b=a1b+ab2; 2)a⊥ba1b1+a2b2=0 3)a·a=|a|2+|a os0=a·b a,b+ab ecos B √a2+②2·+2 (5)|a·b≤|ab|ab+ab|≤ya2+a2·b2+b2 名师点拨」y 在解决向量数量积的坐标运算问题时,关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式a·b= ab+ab2以及相关的向量的长度公式和夹角公式.在这个过程中还要熟练运用方程的思 想.值得注意的是,对于一些向量数量积的坐标运算问题,有时考虑其几何意义可使问题快 速得解 A曲型例题:目 题型一数量积的坐标运算 例1】已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b 分析:先求出a·b,a,b,再对(3a-b)·(a-2b)展开求解 反思:对于数量积的坐标运算有两种方法:一是先化简再代入向量的坐标,二是先确定 向量的坐标,再计算数量积 题型二垂直问题 【例2】已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于( 反思:有关向量垂直的问题,通常利用它们的数量积为0来解决.本题也可先求出a一 b的坐标,再代入a·(a-b)=0解得x 题型三夹角问题 【例3】已知a=(3,1),b=(2,23) (1)求a·b; 2)求a与b的夹角0 分析:(1)直接用公式a·b=X十y即可 (2)直接用cos0 求解 反思:利用坐标求两向量夹角的步骤为 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积 2
2 则 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ －15 3×5 2 ＝－ 2 2 . 又 0≤θ≤π，∴θ＝ 3π 4 ，即 a 与 b 的夹角为3π 4 . 1．投影的坐标表示 剖析：由于向量 b＝(x2 ，y2)在向量 a＝(x1 ，y1)方向上的投影为|b|·cos θ＝ |a||b|cos θ |a| ＝ b·a |a| (θ 为 a 与 b 的夹角)，从而向量 b 在向量 a 方向上的投影的坐标表示 为 x1x2＋y1y2 x1 2＋y1 2 .同理可得，向量 a 在向量 b 方向上的投影的坐标表示为|a|cos θ＝ |a||b|cos θ |b| ＝ a·b |b| ＝ x1x2＋y1y2 x2 2＋y2 2 . 2．向量数量积性质的坐标表示 剖析：设两个非零向量 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a 与 b 的夹角为 θ. (1)a·b＝a1b1＋a2b2； (2)a⊥b a1b1＋a2b2＝0； (3)a·a＝|a| 2 |a|＝ a1 2＋a2 2； (4)cos θ＝ a·b |a||b| cos θ＝ a1b1＋a2b2 a1 2＋a2 2· b1 2＋b2 2 ； (5)|a·b|≤|a||b| |a1b1＋a2b2|≤ a1 2＋a2 2· b1 2＋b2 2 . 在解决向量数量积的坐标运算问题时，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式 a·b＝ a1b1＋a2b2 以及相关的向量的长度公式和夹角公式．在这个过程中还要熟练运用方程的思 想．值得注意的是，对于一些向量数量积的坐标运算问题，有时考虑其几何意义可使问题快 速得解． 题型一 数量积的坐标运算 【例 1】 已知 a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)·(a－2b)． 分析：先求出 a·b，a 2，b 2，再对(3a－b)·(a－2b)展开求解． 反思：对于数量积的坐标运算有两种方法：一是先化简再代入向量的坐标，二是先确定 向量的坐标，再计算数量积． 题型二 垂直问题 【例 2】 已知向量 a＝(1,2)，向量 b＝(x，－2)，且 a⊥(a－b)，则实数 x 等于( ) A．9 B．4 C．0 D．－4 反思：有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量积为 0 来解决．本题也可先求出 a－ b 的坐标，再代入 a·(a－b)＝0 解得 x. 题型三 夹角问题 【例 3】 已知 a＝( 3，1)，b＝(2,2 3)． (1)求 a·b； (2)求 a 与 b 的夹角 θ. 分析：(1)直接用公式 a·b＝x1x2＋y1y2即可； (2)直接用 cos θ＝ x1x2＋y1y2 x1 2＋y1 2· x2 2＋y2 2 求解． 反思：利用坐标求两向量夹角的步骤为： (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；
(2)利用|a|=Vx2+y2计算出这两个向量的模 (3)由公式cos0 五十y 直接求出cos0的值 x2+n2,y2 (4)在0≤0≤丌内,由cosb的值求角0 【例4】已知△ABC中,A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值 分析:∠BAC是A和AC的夹角,转化为求向量的夹角问题 反思:已知三角形各顶点坐标求其内角时,可转化为求向量的夹角问题 题型四易错辨析 【例5】已知a=(1,-2),b=(1,A),且a与b的夹角0为锐角,则实数A的取 值范围是() 错解:∵a与b的夹角0为锐角 cos0>0,即ab=1-21>0,得10,此时A=-2,显然是不合理的 反思:对非零向量a与b,设其夹角为0,则0为锐角÷cos0>0且cos0≠1a·b 0且a≠m(m>0);0为钝角Cos0<0且cosb≠-1a·b<0且a≠mb(m<0); 为直角CoS0=0a·b 答案: 【例1】解法一:因为a·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=2+(-1)2=5,b=32+( 2)2=13, 所以(3a-b)·(a-2b=3a-7a·b+2b=3×5-7×8+2×13=-15 解法二:∵a=(2,-1),b=(3,-2) ∴3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1), ∴(38-b)·(a-2b)=3×(-4)+(-1)×3=-15 【例2】A∵a⊥(a-b),∴a·(a-b)=0, a2-a·b=5-(x-4)=0,解得x=9. 【例3】解:(1)a·b=23+23=43 (2)cos 4 √3+1×√4+122 又0°≤6≤180°,∴=30° 【例4】解:AB=(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC=(1,4)-(2,-2)=(-1,6), 3×(-1)+3×6=15
3 (2)利用|a|＝ x 2＋y 2计算出这两个向量的模； (3)由公式 cos θ＝ x1x2＋y1y2 x1 2＋y1 2· x2 2＋y2 2 直接求出 cos θ 的值； (4)在 0≤θ≤π 内，由 cos θ 的值求角 θ. 【例 4】 已知△ABC 中，A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC 的余弦值． 分析：∠BAC 是AB →和AC →的夹角，转化为求向量的夹角问题． 反思：已知三角形各顶点坐标求其内角时，可转化为求向量的夹角问题． 题型四 易错辨析 【例 5】 已知 a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且 a 与 b 的夹角 θ 为锐角，则实数 λ 的取 值范围是( ) A．(－∞，－2)∪ － 2， 1 2 B. 1 2 ，＋∞ C. － 2， 2 3 ∪ 2 3 ，＋∞ D. －∞， 1 2 错解：∵a 与 b 的夹角 θ 为锐角， ∴cos θ＞0，即 a·b＝1－2λ＞0，得 λ＜ 1 2 ，故选 D. 错因分析：以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的．如当 a 与 b 同向时， 即 a 与 b 的夹角 θ＝0°时 cos θ＝1＞0，此时 λ＝－2，显然是不合理的． 反思：对非零向量 a 与 b，设其夹角为 θ，则 θ 为锐角 cos θ＞0 且 cos θ≠1 a·b ＞0 且 a≠mb(m＞0)；θ 为钝角 cos θ＜0 且 cos θ≠－1 a·b＜0 且 a≠mb(m＜0)；θ 为直角 cos θ＝0 a·b＝0. 答案： 【例 1】解法一：因为 a·b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a 2＝2 2＋(－1)2＝5，b 2＝3 2＋(－ 2)2＝13， 所以(3a－b)·(a－2b)＝3a 2－7a·b＋2b 2＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15. 【例 2】 A ∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0， ∴a 2－a·b＝5－(x－4)＝0，解得 x＝9. 【例 3】 解：(1)a·b＝2 3＋2 3＝4 3. (2)cos θ＝ x1x2＋y1y2 x 2 1＋y 2 1· x 2 2＋y 2 2 ＝ 4 3 3＋1× 4＋12 ＝ 3 2 . 又 0°≤θ≤180°，∴θ＝30°. 【例 4】 解：AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)， AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15
又=32+32=3N2 1=y-12+6=37 AB·AC ∴cos∠BA N74 1ABl1AC 3v2xv37 74 【例5】A∵a与b的夹角θ为锐角, cos0>0且cos≠1,即a·b>0且a与b方向不同, 即a·b=1-24>0,且a≠m(m>0,解得A∈(-∞,-2)u-2,故选A 随堂练彐· 设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c等于() A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-11 2.△ABC中,A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是 A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 等边三角形 3.(2011·广东佛山高三质检)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b的夹 角为() B 6 4.若向量a=(2x-1,x+3),b=(x,2x+1),c=(1,2),且a-b)⊥c,则实数x的 值为 5.已知a=(1,2),b=(-3,2),若Aa+b与a-3b垂直,求实数k的值 答案:1.Ca+2b=(-5,6),(a+2b)·c=-5×3+6×2=-3 BBA=(4,-2),BC=(1,2),则BA·BC=4+(-2)× BA⊥ 3.B由于2a+b=(4,2),则b=(4,2)-2a=(2,0) 则a·b=2,|a|=√2, 设向量a,b的夹角为0,则coso=ab√ a‖b|2 又B∈[0,π],所以 X 由于(a-b)⊥c,则(a-b)·c=0, 所以(x-1)+2(2-x)=0,解得x=3 5.分析:由(ka+b)⊥(a-3b),得(阳a+b)·(a-3b)=0,列方程解得k的值. 解:a+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4) ∴ka+b与a-3b垂直 ∴(ka+b)·(a-3b)=0
4 又|AB →|＝ 3 2＋3 2＝3 2， |AC →|＝ －1 2＋6 2＝ 37， ∴cos ∠BAC＝ AB →·AC → |AB →||AC →| ＝ 15 3 2× 37 ＝ 5 74 74 . 【例 5】 A ∵a 与 b 的夹角 θ 为锐角， ∴cos θ＞0 且 cos θ≠1，即 a·b＞0 且 a 与 b 方向不同， 即 a·b＝1－2λ＞0，且 a≠mb(m＞0)，解得 λ∈(－∞，－2)∪ － 2， 1 2 ，故选 A. 1．设 a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c 等于( ) A．(－15,12) B．0 C．－3 D．－11 2．△ABC 中，A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，则△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．(2011·广东佛山高三质检)已知向量 a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量 a，b 的夹 角为( ) A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 4．若向量 a＝(2x－1，x＋3)，b＝(x,2x＋1)，c＝(1,2)，且(a－b)⊥c，则实数 x 的 值为__________． 5．已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若 ka＋b 与 a－3b 垂直，求实数 k 的值． 答案：1．C a＋2b＝(－5,6)，(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3. 2．B BA ＝(4，－2)， BC ＝(1,2)，则 BA · BC ＝4＋(－2)×2＝0. ∴ BA ⊥ BC.∴∠ABC＝90°. 3．B 由于 2a＋b＝(4,2)，则 b＝(4,2)－2a＝(2,0)， 则 a·b＝2，|a|＝ 2 ，|b|＝2. 设向量 a，b 的夹角为 θ，则 cos θ＝ | || | a b a b ＝ 2 2 . 又 θ∈[0，π]，所以 θ＝ π 4 . 4．3 a－b＝(x－1,2－x)． 由于(a－b)⊥c，则(a－b)·c＝0， 所以(x－1)＋2(2－x)＝0，解得 x＝3. 5．分析：由(ka＋b)⊥(a－3b)，得(ka＋b)·(a－3b)＝0，列方程解得 k 的值． 解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ∵ka＋b 与 a－3b 垂直， ∴(ka＋b)·(a－3b)＝0
即(k-3)×10+(2k+2)×(-4)=0,解得k=19
5 即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，解得 k＝19