人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积教案(4)

人教版新课标普通高中◎数学④必修 2.4平面向量的数量积 教案A 第1课时 教学目标 -、知识与技能 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 二、过程与方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识. 三、情慼、态度与价值观 通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养 学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 教学重点、难点 教学重点:平面向量数量积的定义 教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学关键:平面向量数量积的定义的理解. 教学方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识. 学习方法 通过类比物理中功的定义,来推导数量积的运算 教学准备 教师准备:多媒体、尺规 学生准备:练习本、尺规 教学过程 创设情境,导入新课 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那 么力F所做的功W可由下式计算: W=I FIIs cose 其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量) 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念 二、主题探究,合作交流 提出问题

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 1 2.4 平面向量的数量积 教案 A 第 1 课时 教学目标 一、知识与技能 1．掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 二、过程与方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 三、情感、态度与价值观 通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养 学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力． 教学重点、难点 教学重点：平面向量数量积的定义． 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用. 教学关键：平面向量数量积的定义的理解． 教学方法 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 学习方法 通过类比物理中功的定义，来推导数量积的运算． 教学准备 教师准备: 多媒体、尺规. 学生准备: 练习本、尺规. 教学过程 一、创设情境，导入新课 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那 么力 F 所做的功 W 可由下式计算： W=| F | | s| cosθ， 其中 θ 是 F 与 s 的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量（数量）． 故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念． 二、主题探究，合作交流 提出问题

教师备课系统—一多媒体教案 ①ab的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的 乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律? 师生活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量叫|bos叫做a与b的数量积(或 内积),记作ab,即 b=d| boost0(0≤0≤π) 其中θ是a与b的夹角, dcose(| boost)叫做向量a在b方向上(b在a方向上) 的投影 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意 (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向 量夹角的余弦的乘积 (2)零向量与任一向量的数量积为0,即a0=0 (3)符号“”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替 (4)当0≤00,从而ab>0;当<0≤π时,cos0<0,从而ab<0.与学 生共同探究并证明数量积的运算律 已知a、b、c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①abba(交换律) ②(Ma)b=λ(ab)=a(λb)(数乘结合律 ③(a+b)cac+bc(分配律) 特别是:(1)当a≠0时,由ab=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂 直的非零向量b,都有ab=0 注意:已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc→a=c.但对向量的数量积,该推理不 正确,即ab=bc不能推出a=c.由上图很容易看出,虽然abbc,但arc 对于实数a、b、c有(ab)c=a(bc);但对于向量a、b、c,(ab)c=a(bc)不 成立.这是因为(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向 量,而c与a不一定共线,所以(ab)ca(bc)不成立 提出问题 ①如何理解向量的投影与数量积?它们与向量之间有什么关系? ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗? 师生活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向 量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结, 提出注意点“投影”的概念,如下图

教师备课系统──多媒体教案 2 ①a·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么？ ②由所学知识可以知道，任何一种运算都有其相应的运算律，数量积是一种向量的 乘法运算，它是否满足实数的乘法运算律？ 师生活动:已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积（或 内积），记作 a·b，即 a·b=|a||b|cosθ（0≤θ≤π）． 其中 θ 是 a 与 b 的夹角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量 a 在 b 方向上（b 在 a 方向上） 的投影． 在教师与学生一起探究的活动中，应特别点拨引导学生注意: （1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向 量夹角的余弦的乘积； （2）零向量与任一向量的数量积为 0，即 a·0=0； （3）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替； （4）当 0≤θ0，从而 a·b>0；当 2  <θ≤π 时，cosθ<0，从而 a·b<0．与学 生共同探究并证明数量积的运算律． 已知 a、b、c 和实数 λ，则向量的数量积满足下列运算律: ①a·b=b·a（交换律）； ②（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（数乘结合律）； ③（a+b）·c=a·c+b·c（分配律）． 特别是:（1）当 a≠0 时，由 a·b=0 不能推出 b 一定是零向量．这是因为任一与 a 垂 直的非零向量 b，都有 a·b=0． 注意：已知实数 a、b、c（b≠0），则 ab=bc  a=c．但对向量的数量积，该推理不 正确，即 a·b=b·c 不能推出 a=c．由上图很容易看出，虽然 a·b=b·c，但 a≠c． 对于实数 a、b、c 有（a·b）c=a（b·c）；但对于向量 a、b、c，（a·b）c=a（b·c）不 成立．这是因为（a·b）c 表示一个与 c 共线的向量，而 a（b·c）表示一个与 a 共线的向 量，而 c 与 a 不一定共线，所以（a·b）c=a（b·c）不成立． 提出问题 ①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？ 师生活动:教师引导学生来总结投影的概念，可以结合“探究”，让学生用平面向 量的数量积的定义，从数与形两个角度进行探索研究．教师给出图形并作结论性的总结， 提出注意点“投影”的概念，如下图．

人教版新课标普通高中◎数学④必修 4 A 定义:{bco0叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考 A.投影也是一个数量,不是向量 B.当O为锐角时投影为正值:当θ为钝角时投影为负值:当为直角时投影为0 当0=0°时投影为|b;当=180°时投影为-b 教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影bkos的乘积 让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果 是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,O为两向量的夹角,e是与b同向的单位向量 A e Fae=arcos B.a⊥bab=0. C.当a与b同向时,ab=a叫|b;当a与b反向时,ab=-d|b 特别地aaa或l=√a,a E.lab≤叫|b 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提 在推导过程中理解并记忆这些性质 讨论结果 ①略 ②向量的数量积的几何意义为数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|bos 的乘积 三、拓展创新,应用提高 例1已知a=5,|b=4,a与b的夹角为120°,求ab 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解 =5×4×(--) 点评:确定两个向量的夹角,利用数量积的定义求解 例2我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(ab)=a2-b2.对 任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 3 定义：|b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影．并引导学生思考. A. 投影也是一个数量，不是向量； B. 当 θ 为锐角时投影为正值；当 θ 为钝角时投影为负值；当 θ 为直角时投影为 0； 当 θ=0°时投影为|b|；当 θ=180°时投影为-|b|． 教师结合学生对“投影”的理解，让学生总结出向量的数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ 的乘积． 让学生思考:这个投影值可正、可负，也可为零，所以我们说向量的数量积的结果 是一个实数．教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量，θ 为两向量的夹角，e 是与 b 同向的单位向量． A. e·a=a·e=|a|cosθ． B. a⊥b  a·b=0． C. 当 a 与 b 同向时，a·b=|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b=-|a||b|． 特别地 a·a=|a| 2 或|a|= a a• ． D. cosθ= | || | a b a b • ． E. |a·b|≤|a||b|． 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示， 在推导过程中理解并记忆这些性质． 讨论结果: ①略． ②向量的数量积的几何意义为数量积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ 的乘积． 三、拓展创新，应用提高 例 1 已知|a|=5，|b|=4，a 与 b 的夹角为 120°，求 a·b 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解． 解: a·b=|a||b|cosθ =5×4 ×cos120° =5×4×（ 2 1 − ） =-10． 点评: 确定两个向量的夹角，利用数量积的定义求解． 例 2 我们知道，对任意 a，b∈R，恒有（a+b）2=a 2+2ab+b 2，（a+b）（a-b）=a 2-b 2．对 任意向量 a、b，是否也有下面类似的结论？

教师备课系统—一多媒体教棠 (1)(a+b)2=a2+2ab+b2 (2)(a+b)·(ab)=a2-b2 解:(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b =a b+a b+b- a+b b =a2+2ab+b2 (2)(a+tb).(ab)=a a b+bab-b =a2-b2 例3已知|a=6,b=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)(a-3b) 解:(a+2b)·(a-3b)=aaab6bb 2-6×4cos60°-6×4 例4已知a=3,|b=4,且a与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与ak互相垂 ? 解:a与ah互相垂直的条件是(a+b)·(akb)=0, 即a2-k2b2=0 ∴916k2=0 也就是说,当k±二时,a+与a互相垂直 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件 四、小结 先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要 性质,数量积的运算律 2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领 悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多 解 课堂作业 1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为() ab叫|分→a∥b②a与b反向分→ab=lb ③a⊥b分|abab④a=b→ac+|bc B.2 2.有下列四个命题 ①在△ABC中,若AB·BC>0,则△ABC是锐角三角形;

教师备课系统──多媒体教案 4 （1）（a+b）2=a 2+2a·b+b 2 ； （2）（a+b）·（a-b）=a 2-b 2． 解：（1）（a+b）2=（a+b）·（a+b） =a·b+a·b+b·a+b·b =a 2+2a·b+b 2 ； （2）（a+b）·（a-b）=a·a-a·b+b·a-b·b =a 2-b 2． 例 3 已知|a|=6，|b|=4，a 与 b 的夹角为 60°，求（a+2b）·（a-3b）． 解: （a+2b）·（a-3b）=a·a-a·b-6b·b =|a| 2-a·b-6|b| 2 =|a| 2-|a||b|cosθ-6|b| 2 =62-6×4×cos60°-6×42 =-72． 例 4 已知|a|=3，|b|=4，且 a 与 b 不共线，当 k 为何值时，向量 a+kb 与 a-kb 互相垂 直？ 解: a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是（a+kb）·（a-kb）=0， 即 a 2-k 2b 2=0． ∵a 2=32=9，b 2=42=16， ∴9-16k 2=0． ∴k=± 4 3 ． 也就是说，当 k=± 4 3 时，a+kb 与 a-kb 互相垂直． 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件． 四、小结 1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积的重要 性质，数量积的运算律． 2．教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等．在领 悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多 解． 课堂作业 1．已知 a，b，c 是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为（ ） ①|a·b|=|a||b|  a∥b ②a 与 b 反向  a·b=-|a||b| ③a⊥b  |a+b|=|a-b| ④|a|=|b|  |a·c|=|b·c| A．1 B．2 C．3 D．4 2．有下列四个命题: ①在△ABC 中，若 AB ·BC >0，则△ABC 是锐角三角形；

人教版新课标普通高中◎数学④必修 ②在△ABC中,若ABBC>0,则△ABC为钝角三角形 ③△ABC为直角三角形的充要条件是AB·BC=0 ④△ABC为斜三角形的充要条件是AB·BC≠0. 其中为真命题的是() 3.设a=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为() 4.设a、b、c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题: ①(ab)c-(ca)b=0 ②a+-|b-ab ③(bc)a(ca)b不与c垂直 ④(3a+2b):(3a2b)=9a2-4|bP2 其中正确的是() ② B.②③ C.③④ D.②④ 5.在△ABC中,设AB=b,AC=e,则√b|cp-(bc)2等于() B.-S△ABC △ABC D.2S△ABC 6.设i,j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量,且 a=(m+1)i5,b=i+(m-1)j 如果(a+b)⊥(ab),则实数m= 7.若向量a、b、c满足a+b+c=0,且l=3,b=1,l4,则ab+bc+ea= 参考答案 1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-13 第2课时 教学目标 、知识与技能 1.掌握平面向量数量积运算规律 2.能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题 掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简 单问题. 二、过程与方法 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示,通过例题

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 5 ②在△ABC 中，若 AB ·BC >0，则△ABC 为钝角三角形； ③△ABC 为直角三角形的充要条件是 AB ·BC =0； ④△ABC 为斜三角形的充要条件是 AB ·BC ≠0． 其中为真命题的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 3．设|a|=8，e 为单位向量，a 与 e 的夹角为 60°，则 a 在 e 方向上的投影为（ ） A．4 3 B．4 C．42 D．8+ 2 3 4．设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题: ①（a·b）c-（c·a）b=0； ②|a|-|b|<|a-b|； ③（b·c）a-（c·a）b 不与 c 垂直； ④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a| 2-4|b| 2． 其中正确的是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 5．在△ABC 中，设 AB =b， AC =c，则 2 2 (| | |) ( ) b c b c − • 等于（ ） A．0 B． 2 1 S△ABC C．S△ABC D．2S△ABC 6．设 i，j 是平面直角坐标系中 x 轴、y 轴方向上的单位向量，且 a=（m+1）i-3j，b=i+（m-1）j， 如果（a+b）⊥（a-b），则实数 m=_____________． 7．若向量 a、b、c 满足 a+b+c=0，且|a|=3，|b|=1，|c|=4，则 a·b+b·c +c·a=_________． 参考答案: 1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．-2 7．-13 第 2 课时 教学目标 一、知识与技能 1．掌握平面向量数量积运算规律. 2．能利用数量积的性质及数量积运算规律解决有关问题. 3．掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简 单问题． 二、过程与方法 教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标表示．通过例题

教师备课系统—一多媒体教案 分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个 因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法,平面向量数量积的坐标 表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这 都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础. 三、情感、态度与价值观 通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高 学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质 教学重点、难点 教学重点:平面向量数量积的坐标表示 教学难点:向量数量积的坐标表示的应用 教学关键:平面向量数量积的坐标表示的理解 教学突破方法:教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标 表示.并通过练习,使学生掌握数量积的应用 教法与学法导航 教学方法:启发诱导,讲练结合 学习方法:主动探究,练习巩固 教学准备 教师准备:多媒体、尺规 学生准备:练习本、尺规 教学过程 创设情境,导入新课 前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算,以及平面向量的数量积,那么, 能否用坐标表示平面向量的数量积呢?若能,如何表示呢?由此又能产生什么结论呢? 本节课我们就来研究这个问题.(板书课题) 主题探究,合作交流 提出问题 ①已知两个非零向量(x,y),b(x,y),怎样用a与b的坐标表示ab呢? ②怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件? ③你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式? 师生活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.提示学生在向 量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学 生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下 Ii+vi, b=x i ∴ab=(xi+yj)·(xi+yzj) =x1x2 i2+xiy i j+x2y i j+yyj 又∵ii=l,jj1,ijji=0 a b=x1x2+y1y2 教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: A.平面向量数量积的坐标表示

教师备课系统──多媒体教案 6 分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个 因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法．平面向量数量积的坐标 表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这 都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础． 三、情感、态度与价值观 通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高 学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质． 教学重点、难点 教学重点：平面向量数量积的坐标表示． 教学难点：向量数量积的坐标表示的应用． 教学关键：平面向量数量积的坐标表示的理解． 教学突破方法：教师应在坐标基底向量的数量积的基础上，推导向量数量积的坐标 表示．并通过练习，使学生掌握数量积的应用． 教法与学法导航 教学方法：启发诱导，讲练结合. 学习方法：主动探究，练习巩固． 教学准备 教师准备：多媒体、尺规. 学生准备：练习本、尺规. 教学过程 一、创设情境，导入新课 前面我们学习了平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，那么， 能否用坐标表示平面向量的数量积呢？若能，如何表示呢？由此又能产生什么结论呢？ 本节课我们就来研究这个问题．（板书课题） 二、主题探究，合作交流 提出问题： ①已知两个非零向量 a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用 a 与 b 的坐标表示 a·b 呢？ ②怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？ ③你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？ 师生活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究．提示学生在向 量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示．教师可以组织学 生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充．推导过程如下： ∵a=x1ｉ+y1j，b=x2ｉ+y2j， ∴a·b=（x1ｉ+y1j）·（x2ｉ+y2j） =x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j 2． 又∵ｉ·ｉ=1，j·j=1，ｉ·j=j·ｉ=0， ∴a·b=x1x2+y1y2． 教师给出结论性的总结，由此可归纳如下： A. 平面向量数量积的坐标表示

人教版新课标普通高中◎数学④必修 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 则ab=x1x2+yy2 B.向量模的坐标表示 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y)、(x,y),那么 a=(x2-x,yy1),l=y(x2-x1)2+(y2-y1)2 C.两向量垂直的坐标表示 设a=(x,y),b=(x2,n2),则 a⊥b→x1x2+yy2=0 D.两向量夹角的坐标表示 设a、b都是非零向量,a=(x,y),b=(x2,y),O是a与b的夹角,根据向量 数量积的定义及坐标表示,可得 cose- x,+yV3 a lb 拓展创新,应用提高 例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明 活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断 平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作 出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或 者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由 两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让 学生多总结几种判断平面图形形状的方法 解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现 △ABC是直角三角形.下面给出证明 ∵AB=(2-1,3-2)=(1,1), AC=(-2-1,5-2)=(-3,3) ∵.AB·AC=1×(-3)+1×3=0 ∴AB⊥AC. △ABC是直角三角形 点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三 角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 7 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和， 即 a=（x1，y1），b=（x2，y2）， 则 a·b=x1x2+y1y2． B. 向量模的坐标表示 若 a=（x，y），则|a| 2=x 2+y 2，或|a|= 2 2 x + y ． 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），那么 a=（x2-x1，y2-y1），|a|= ( ) ( ) . 2 2 1 2 2 1 x − x + y − y C. 两向量垂直的坐标表示 设 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a⊥b  x1x2+y1y2=0． D. 两向量夹角的坐标表示 设 a、b 都是非零向量，a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ 是 a 与 b 的夹角，根据向量 数量积的定义及坐标表示，可得 cosθ= 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 | || | a b x x y y a b x y x y + = + + 三、拓展创新，应用提高 例 1 已知 A（1，2），B（2，3），C（-2，5），试判断△ABC 的形状，并给出证明． 活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断 平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角．可先作 出草图，进行直观判定，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或 者模相等，则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由 两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让 学生多总结几种判断平面图形形状的方法． 解：在平面直角坐标系中标出 A（1，2），B（2，3），C（-2，5）三点，我们发现 △ABC 是直角三角形．下面给出证明． ∵ AB =（2-1，3-2）=（1，1）， AC =（-2-1，5-2）=（-3，3）， ∴ AB ·AC =1×（-3）+1×3=0． ∴ AB ⊥ AC ． ∴△ABC 是直角三角形． 点评：本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三 角形的形状．当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定

教师备课系统—一多媒体教案 然后对你的结论给出充分的证明 例2设c(5,-7),b=(-6,-4),求ab及a、b间的夹角θ(精确到1°) 解:ab=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=2 +(-7)2=√74,b=√-6)+(-4=2 由计算器得 ≈-0.03 利用计算器得0≈1.6rad=92° 四、小结 在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向 量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公 式、两向量垂直的坐标表示 2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方 法,定义法,待定系数法等 课堂作业 B 2.设a=(1,2),b=(1,m),若a与b的夹角为钝角,则m的取值范围是 B 3.若a=(cosa,sina),b=(cosB,sinB),则() A.a⊥b B.a∥b C.(a+b)⊥(ab)D.(a+b)∥(ab) 4.与a=(u,v)垂直的单位向量是() )或( 5.已知向量a=(cos23°,cos67°),b=(cos68°,c0s22°),u=a+tb(t∈R),求l

教师备课系统──多媒体教案 8 然后对你的结论给出充分的证明． 例 2 设 a=（5，-7），b=（-6，-4），求 a·b 及 a、b 间的夹角 θ（精确到 1°）． 解：a·b=5×（-6）+（-7）×（-4）=-30+28=-2． |a|= 5 ( 7) 74 2 2 + − = ，|b|= 2 2 ( 6) ( 4) 52 − + − = ， 由计算器得 cosθ= 74 52 2  − ≈-0．03． 利用计算器得 θ≈1．6rad=92°． 四、小结 1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向 量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公 式、两向量垂直的坐标表示． 2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方 法，定义法，待定系数法等． 课堂作业 1．若 a=（2，-3），b=（x，2x），且 a·b= 3 4 ，则 x 等于（ ） A．3 B． 3 1 C． 3 1 − D．-3 2．设 a=（1，2），b=（1，m），若 a 与 b 的夹角为钝角，则 m 的取值范围是（ ） A．m> 2 1 B．m 2 1 − D．m< 2 1 − 3．若 a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则（ ） A．a⊥b B．a∥b C．（a+b）⊥（a-b） D．（a+b）∥（a-b） 4．与 a=（u，v）垂直的单位向量是（ ） A．（ 2 2 2 2 , u v u u v v + + − ） B．（ 2 2 2 2 , u v u u v v + − + ） C．（ 2 2 2 2 , u v u u v v + + ） D．（ 2 2 2 2 , u v u u v v + + − ）或（ 2 2 2 2 , u v u u v v + − + ） 5．已知向量 a=（cos23°，cos67°），b=（cos68°，cos22°），u=a+tb（t∈R），求 u

人教版新课标普通高中◎数学④必修 的模的最小值 6.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a5b垂直,a4b与7a2b垂直,求a与 b的夹角 7.已知△ABC的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC的面积 参考答案 1.C2.D3.C4.D 5.l=Cos323+cos267=√os23+sm23=1,同理有b=1 又ab=cos23°cos68°+c0s67°c0s22° 39cos680+sin23osin680=cos450-V2 ∵u2=(a+tb)2=a2+2ab+tb2=t+√2t+l=(t+-)2+ 当t=--时, 6.由已知(a+3b)⊥(7a5b)分(a3b)·(7a5b)=0分7a2+l6ab-15b2=0.① 又(a4b)⊥(7a2b)(a4b)·(7a2b)=0分7a2-30ab+8b2=0 ①②得46nb=23b,.即ab=b=1b.③ 将③代入①,可得7a2+8b-15b2=0,即a2=b2,有a={b, ∷若记a与b的夹角为b,则cos=ab algol 又0∈[0°,180°],∴0=60°,即a与b的夹角为60° 7.分析:S△ABC=|AB‖ AC sin∠BAC,而AB|,|AC|易求,要求sin∠BAC可 2 先求出cos∠BAC 解:∵AB=(2,0),AC=(3,4),|ABF=2,|A 4 ∴cos∠BAC= ABAC2×3+0×4 ∴sin∠BAC= |ABll AC S△ABC=| AB I AISin∠BAC=x2x4

人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 9 的模的最小值． 6．已知 a，b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a-4b 与 7a-2b 垂直，求 a 与 b 的夹角． 7．已知△ABC 的三个顶点为 A（1，1），B（3，1），C（4，5），求△ABC 的面积． 参考答案： 1．C 2．D 3．C 4．D 5．|a|=     cos 23 cos 67 cos 23 sin 23 2 2 2 2 + = + =1，同理有|b|=1． 又 a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22° =cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°= 2 2 ， ∴|u| 2=（a+tb）2=a 2+2ta·b+t2b 2=t2+ 2 t+1=（t+ 2 2 ）2+ 2 1 ≥ 2 1 ． 当 t= 2 2 − 时，|u|min= 2 2 ． 6．由已知（a+3b）⊥（7a-5b）  （a+3b）·（7a-5b）=0  7a 2+16a·b-15b 2=0．① 又 （a-4b）⊥（7a-2b）  （a-4b）·（7a-2b）=0  7a 2-30a·b+8b 2=0． ② ①-②得 46a·b=23b 2，即 a·b= . 2 | | 2 2 2 b b = ③ 将③代入①，可得 7|a| 2+8|b| 2-15|b| 2=0，即|a| 2=|b| 2，有|a|=|b|， ∴若记 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ= 2 | | 2 1 | | | | | | | | 2 b a b a b b b • = = g g ． 又 θ∈[0°，180°]，∴θ=60°，即 a 与 b 的夹角为 60°． 7．分析：S△ABC= 2 1 | AB || AC |sin∠BAC，而| AB |，| AC |易求，要求 sin∠BAC 可 先求出 cos∠BAC． 解：∵ AB =（2，0）， AC =（3，4），| AB |=2，| AC |=5， ∴cos∠BAC= 2 3 0 4 3 | | | | 2 5 5 AB AC AB AC  +  = =  ．∴sin∠BAC= 5 4 ． ∴S△ABC= 2 1 | AB || AC |sin∠BAC= 2 1 ×2×5× 5 4 =4．

教师备课系统—一多媒体教棠 教案B 第一课时 教学目标 知识与技能 1.了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律 并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算 二、过程与方法 体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力 三、情感、态度与价值观 通过自主学习、主动参与、积极探究,学生能感受数学问题探究的乐趣和成功的喜 悦,增加学习数学的自信心和积极性,并养成良好的思维习惯 教学重点 平面向量数量积的定义,用平面向量的数量积表示向量的模、夹角 教学难点 平面向量数量积的定义及运算律的理解,平面向量数量积的应用 教具 多媒体、实物投影仪 内容分析 节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识. 主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的3个重要性质 平面向量数量积的运算律 教学流程 概念引入→概念获得→简单运用→运算律探究→理解掌握→反思提高 教学设想: 情境设置: 问题1:回忆一下物理中“功”的计算,功的大小与哪些量有关? 结合向量的学习你有什么想法 力做的功:W=| FISIcos6,是F与S的夹角.(引导学生认识功这个物理量所 涉及的物理量,从“向量相乘”的角度进行分析)

教师备课系统──多媒体教案 10 教案 B 第一课时 教学目标 一、知识与技能 1. 了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义； 2. 体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律， 并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算． 二、过程与方法 体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力． 三、情感、态度与价值观 通过自主学习、主动参与、积极探究，学生能感受数学问题探究的乐趣和成功的喜 悦，增加学习数学的自信心和积极性，并养成良好的思维习惯． 教学重点 平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角． 教学难点 平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用． 教 具 多媒体、实物投影仪． 内容分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学 生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识． 主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的 3 个重要性质； 平面向量数量积的运算律． 教学流程 概念引入→概念获得→简单运用→运算律探究→理解掌握→反思提高 教学设想： 一、情境设置： 问题 1：回忆一下物理中“功”的计算，功的大小与哪些量有关？ s  F 结合向量的学习你有什么想法？ 力做的功：W = | F || S |cos，是 F 与 S 的夹角．（引导学生认识功这个物理量所 涉及的物理量，从“向量相乘”的角度进行分析）