课题:§2.5平面向量应用举例 预习目标 预习《平面向量应用举例》,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,建立实际问题与向量的联 系。 二、预习内容 阅读课本内容,整理例题,结合向量的运算,解决实际的几何问题、物理问题。另外,在思考一下几个问题: 1.例1如果不用向量的方法,还有其他证明方法吗? 2.利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么? 例3中,(1)为何值时,|F|最小,最小值是多少? (2)|F能等于G吗?为什么? 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 课内探究学案 、学习内容 1.运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何和解析 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题 2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题 学习过程 探究一:(1)向量运算与几何中的结论”若a=b,则aHb,且a所在直线平行或重合”相类比,你 有什么体会? (2)举出几个具有线性运算的几何实例 例1.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和 已知:平行四边形ABCD 求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2 试用几何方法解决这个问题 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”? (1)建立平面几何与向量的联系, (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系
课题：§2.5 平面向量应用举例 一、预习目标 预习《平面向量应用举例》，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联 系。 二、预习内容 阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题： 1. 例 1 如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？ 2. 利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？ 3． 例 3 中，⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？ 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 一、学习内容 1.运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决平面几何和解析 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题. 2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 二、学习过程 探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若 a b = ，则 | | | | a b = ，且 ab, 所在直线平行或重合＂相类比，你 有什么体会？ （２）举出几个具有线性运算的几何实例． 例 1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形 ABCD． 求证： 2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD DA + = + + + ． 试用几何方法解决这个问题 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？ （1） 建立平面几何与向量的联系， （2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系
(3)把运算结果“翻译”成几何关系。 变式训练:△ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF与CD交于点0,设AB=a,AC=b (1)证明A、0、E三点共线 (2)用a,b表示向量AO。 例2,如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的 中点,BE、BF分别与AC交于R,T两点,你能发现AR、R、TC之间的 关系吗? 探究二:两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些力的 问题是怎么回事? 例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费F 力:在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象 请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题: (1)为何值时,|F|最小,最小值是多少? (2)|F1能等于|G吗?为什么? 例4如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发 到河对岸.已知船的速度|w|=10km/h,水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程 最短时,所用的时间是多少(精确到0.1min)?
（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。 变式训练： ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，BF 与CD 交于点 O，设 AB a AC b = = , . （1）证明 A、O、E 三点共线； （2）用 a b, . 表示向量 AO 。 例 2，如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AD、DC 边的 中点，BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点，你能发现 AR、RT、TC 之间的 关系吗？ 探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的 问题是怎么回事？ 例 3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费 力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象 吗？ 请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： ⑴ 为何值时，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？ 例 4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d = 500 m，一艘船从 A 处出发 到河对岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程 最短时，所用的时间是多少(精确到 0.1min)？
变式训练:两个粒子A、B从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为 =(4,3),SB=(2,10),(1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s:(2)计算s在S4方向上的投影 、反思总结 结合图形特点,选定正交基底,用坐标表示向量进行运算解决几何问题,体现几何问题 代数化的特点,数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致,又体现了数学的美 有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。 本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题;掌握向量法和坐标法,以及用向量解决实际问题 的步骤。 四、当堂检测 1.已知△ABC中,a=2,b=3C=60°,求边长c。 2.在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长。。 3在平面上的三个力F1,F2F3作用于一点且处于平衡状态,F=NF1= N,F1与F2的夹角为 45°,求:(1)F3的大小;(2)F1与F3夹角的大小
变式训练：两个粒子 A、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 (4,3), (2,10) A B s s = = ，（1）写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 s; (2)计算 s 在 A s 方向上的投影。 三、反思总结 结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题 代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工具使得运算简练标致，又体现了数学的美。 有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。 本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决实际问题 的步骤。 四、当堂检测 1.已知 0 ABC中，a = 2,b = 3,C = 60 ，求边长 c。 2.在平行四边形 ABCD 中，已知 AD=1，AB=2，对角线 BD=2，求对角线 AC 的长。 3.在平面上的三个力 1 2 3 F ,F ,F 作用于一点且处于平衡状态， 1 2 1 2 , 2 6 2 F 1N, F N F 与F + = = 的夹角为 o 45 ，求：（1） F3 的大小；（2） F1 与 F3 夹角的大小
课后练习与提高 、选择题 1.给出下面四个结论: ①若线段AC=AB+BC,则向量AC=AB+B ②若向量AC=AB+BC,则线段AC=AB+BC ③若向量AB与BC共线,则线段AC=AB+BC; ④若向量AB与BC反向共线,则团B+BC=4B+BC 其中正确的结论有() B.1个 C.2个 D.3个 2河水的流速为2m,一艘小船想以垂直于河岸方向10m的速度驶向对岸,则小 船的静止速度大小为() A10B.2√26%C.46mD12m 3.在△4BC中,若(CA+CB)(CA-CB)=0,则△ABC为( A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定 填空题 4.已知△ABC两边的向量AB=e1,AC=e2,则BC边上的中线向量AM用e1、e2表示为 已知O+O+m=0+p1+p=1,则O、OP、OP两两夹角是 课后练习答案 1B2.B3.C4.AM==(a1+e2)
课后练习与提高 一、选择题 1.给出下面四个结论： ① 若线段 AC=AB+BC，则向量 AC AB BC = + ； ② 若向量 AC AB BC = + ，则线段 AC=AB+BC； ③ 若向量 AB 与 BC 共线，则线段 AC=AB+BC; ④ 若向量 AB 与 BC 反向共线，则 AB + BC = AB + BC . 其中正确的结论有 （ ） A. 0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2.河水的流速为 2 s m ，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 s m 的速度驶向对岸，则小 船的静止速度大小为 （ ） A.10 s m B . 2 26 s m C . 4 6 s m D.12 s m 3.在 ABC 中，若 (CA+CB) • (CA−CB) =0，则 ABC 为 ( ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 二、填空题 4.已知 ABC 两边的向量 1 2 AB = e , AC = e ，则 BC 边上的中线向量 AM 用 1 e 、 2 e 表示为 5.已知 OP1 + OP2 + OP3 = 0，OP1 + OP2 + OP3 =1 ，则 OP1 、OP2 、OP3 两两夹角是