平面向量的数量积 241平面向量数量积的物理背景及其 含义
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义
已知两个非零向量和b,作OA=a 量OBb,则∠AOB=(0°5180°) 叫做向量a与b的夹角。 当0=0°时,a与b同向; B 当0=180°时,n与向;O方 当0=90°时,称n与b垂直, 记为a⊥b
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。 O B A θ 当θ＝0°时，a与b同向； O A B 当θ＝180°时，a与b反向； A O B B 当θ＝90°时，称a与b垂直， 记为a⊥b. O a A b
我们学过功的概念,即一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图) 力F所做的功W可用下式计算 W=|F|S|cos8其中e是F与s的夹角 从力所做的功出发,我们引入向量 数量积”的概念
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图） θ F S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念
已知两个养作零向量a与b,它们的 夹角为,们把数量叫b0s叫做 A与 (或内积),记作ab 注意:向量y=山p cosO 的数量积是 个数量 GQs6(cs0)叫yQ;a Ibcos e 黴向量a在b方向上(向 量b在a方向上)的投影。 规定:零向量与任一向量的数量积为0
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b a·b=|a| |b| cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cosθ（|b| cosθ）叫 做向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影
思考 向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负? a b=al bl cose 当0°8<90°时ab为正; 当90°<6≤180°时ab为负。 当0=90时ab为零
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？ a·b=|a| |b| cosθ 当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零
重要性 设a、b是非零向量,是与b方向相同的 单位向量,C是d与e的夹角,则 a·b=a‖|b|cos e·c=a aI cos 6 (2a⊥ba·b=0 b1B(3)当与b同向时,ab=a|b A Ba 当a与b反向时,ab=-|l‖b 特别地a:d=d或|a=a=v2 (4 )cOS 8 ld‖b (5)a·ba‖b
设 a b 、 是非零向量， e b 是与 方向相同的 单位向量， a e 是 与 的夹角，则 (1)e a a e | a | cos = = (2)a ⊥ b a b = 0 (3) a b a b | a || b |; 当 与 同向时， = a b a b | a || b |; 当 与 反向时， = − 特别地 2 a a | a | = a a a 或| |= 2 a = | || | (4) cos a b a b = (5)| a b | | a || b | O A B θ a b B1 a b a b =| || | cos
例1已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 6=120°,求a·b 解:ab= a bose=5×4×cos120° 5×4×(-1/2)=-10 例2已知a=(1,1,b=(2,0,求ab。 解:|l=V2,b=2,0-45° a'b=a/ b/cos0=v2x2xcos45 2
解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。 例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。 解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° = 2
0°b几义; Ibcose B1 a 4 db等于d的长度|ab在a方向上的投影 b|cosO的乘积
O A B θ |b|cosθ a b B1 a b 等于 a 的长度 | a | b在a方向上的投影 与 | b | cos 的乘积
练习 ●●● 1.若a=0,则对任一向量b,有a·b=0.V 2.若a判,则对任一非零向量b,有a·b0. 3.若a≠0,a·b=0,则b=0 4.若a·b=0,则a·b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a·b=b·c,则a=c 6.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0 时成立 7.对任意向量a有a2=aP√
练习： 1．若a =0，则对任一向量b ，有a ·b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 3．若a ≠0，a ·b =0，则b=0 4．若a ·b=0，则a ·b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c 6．若a ·b = a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立． 7．对任意向量 a 有 2 2 a =| a | √ × × × × × √
二、平面向量的数量积的运算律: 数量积的运算律: (1)d·b=ba (2)(na)b=d(a b)=a (ab) (3)(a+b)c=a·c+b·c 其中,a、b、C是任意三个向量A∈R 注:(ab)·c≠a(b·c)
二、平面向量的数量积的运算律： 数量积的运算律： a b c a c b c a b a b a b a b b a + = + = = = (3)( ) (2)( ) ( ) ( ) (1) 其中， a b c 、 、 是任意三个向量， R 注： (a b) c a (b c)