2.2《平面向量的线性运算》导学案 【学习目标】 1.掌握向量的加、减法运算,并理解其几何意义; 2.会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合 解决问题的能力: 3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法 4.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算 5.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行 6.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了 解事物运动变化的辩证思想 【导入新课】 设置情景: 1、复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究 的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到 任何位置 2、情景设置: (1)某人从A到B,再从B按原方向到C, 则两次的位移和:AB+BC=AC (2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C, 则两次的位移和:AB+BC=AC (3)某车从A到B,再从B改变方向到C, 则两次的位移和:AB+ (4)船速为AB,水速为BC,则两速度和:AB+BC=AC
2．2《平面向量的线性运算》导学案 【学习目标】 1.掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2.会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合 解决问题的能力； 3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结 合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了 解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究 的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到 任何位置 2、 情景设置： （1）某人从 A 到 B，再从 B 按原方向到 C， 则两次的位移和： AB + BC = AC （2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C， 则两次的位移和： AB + BC = AC （3）某车从 A 到 B，再从 B 改变方向到 C， 则两次的位移和： AB + BC = AC （4）船速为 AB ，水速为 BC ，则两速度和： AB + BC = AC A B C C A B A B C A B C
新授课阶段 、向量的加法 1.向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 2.三角形法则(“首尾相接,首尾连”) 如图,已知向量a、b.在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做 a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC,规定:a+0-=0+a. a+b 探究:(1)两个向量的和仍是一个向量 (2)当向量a与b不共线时,a+b的方向不同向,且|a+b||b|,则a+b的方向与a相同,且 a+b|=|a|-|bl:若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b=b|-|al (4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 个向量连加 例1已知向量a、b,求作向量a+b 作法
O A B a a a b b b 新授课阶段 一、向量的加法 １.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２.三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量 a、ｂ.在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a，BC ＝ｂ，则向量 AC 叫做 a 与ｂ的和，记作 a＋ｂ，即 a＋ｂ = AB + BC = AC ，规定：a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两个向量的和仍是一个向量； （2）当向量 a 与 b 不共线时， a + b 的方向不同向，且| a + b || b |，则 a + b 的方向与 a 相同，且 | a + b |=| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a +b|=| b |-| a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n 个向量连加 例 1 已知向量 a 、b ，求作向量 a + b . 作法： A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａ ＋ ｂ a
4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中b+a的结果与a+b是否相同?验证结果相同 从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应), 2)向量加法的交换律:a+b=b 5.向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 证:如图:使AB=a,BC=b,CD=c, y(a+b)+c=AC+CD= AD, a+(b+c)=AB+BD=AD 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 、向量的减法 1用“相反向量”定义向量的减法 (1)“相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量.记作 (2)规定:零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0 如果a、b互为相反向量,则=b,b=B,a+b=0. (3)向量减法的定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差 即:ab=a+(b),求两个向量差的运算叫做向量的减法 2用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算 若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作ab 3求作差向量:已知向量a、b,求作向量ab (ab)+b=a+(b)+b=B+0 作法:在平面内取一点O
４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）, ２）向量加法的交换律： a + b = b + a, ５．向量加法的结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c ), 证：如图：使 AB = a ， BC = b ， CD = c , 则( a + b ) + c = AC +CD = AD ， a + ( b + c ) = AB BD AD + = . ∴( a + b ) + c = a + ( b + c ). 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 二、向量的减法 1 用“相反向量”定义向量的减法 （1）“相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 a. （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. ( a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0. 如果 a、b 互为相反向量，则 a = b， b = a， a + b = 0. （3） 向量减法的定义：向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差. 即：a b = a + ( b),求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a b. 3 求作差向量：已知向量 a、b，求作向量 a b. ∵(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a， 作法：在平面内取一点 O， O a b B a b a b
作OA=a,AB=b, 则BA= b 即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 注意:1AB表示ab.强调:差向量“箭头”指向被减数, 2用“相反向量”定义法作差向量,ab=a+(b) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统 B 4探究: 1)如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量,那么所得向量是b b 2)若a∥b,如何作出ab? 例2已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd 解:
作 OA = a， AB = b, 则 BA = a b， 即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 注意：1 AB 表示 a b.强调：差向量“箭头”指向被减数, 2 用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + ( b). 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一. 4 探究： １） 如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 b a. ２）若 a∥b， 如何作出 a b？ 例 2 已知向量 a、b、c、d，求作向量 a b、c d. 解： O A a B B’ b b b B a a+ ( b) b a b A A B B B’ O a a b a b b O A O B a b a b A B O b
例3平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b 用a、b表示向量AC、DB 解: 变式一:当a,b满足什么条件时,a+b与ab垂直? 变式二:当a,b满足什么条件时,|ab=|ab? 变式三:a+b与ab可能是相当向量吗? 三、向量数乘运算 1.定义: 请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积?(可结合教材思考) 可根据小学算术中3+3+3+3+3=3?5的解释,类比规定:实数λ与向量a的积就 是λa,它还是一个向量,但要对实数λ与向量a相乘的含义作一番解释才行 实数A与向量a的积是一个向量,记作Aa.它的长度和方向规定如下 (1)|AaF=|A‖al (2)4>0时,Aa的方向与a的方向相同;当A<0时,Aa的方向与a的方向相反 特别地,当A=0或a=0时,A=0 2.运算律: 问:求作向量2(3a)和6a(a为非零向量)并进行比较,向量2(a+b)与向量2a+2b 相等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较) 生:2(3a)=6a,2a+2b=2(a+b) 师:设a、b为任意向量,、为任意实数,则有: (1)(+1)a=Aa+;a;(2)A(ua)=(ua);(3)(a+b)=Aa+2
例 3 平行四边形 ABCD 中， AB = a， AD = b， 用 a、b 表示向量 AC 、 DB . 解： 变式一：当 a， b 满足什么条件时，a+b 与 a b 垂直？ 变式二：当 a， b 满足什么条件时，|a+b| = |a b|？ 变式三：a+b 与 a b 可能是相当向量吗？ 三、向量数乘运算 1.定义： 请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考） 可根据小学算术中 3 3 3 3 3 3 5 + + + + = ? 的解释，类比规定：实数 λ 与向量 a 的积就 是 λa ，它还是一个向量，但要对实数 λ 与向量 a 相乘的含义作一番解释才行. 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa . 它的长度和方向规定如下： （1） | | | || | λa = λ a . （2） λ> 0 时， λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ < 0 时， λa 的方向与 a 的方向相反； 特别地，当 λ = 0 或 a = 0 时， λa = 0 . 2.运算律： 问：求作向量 2(3 ) a 和 6a （ a 为非零向量）并进行比较，向量 2( ) a b + 与向量 2 2 a b + 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较） 生： 2(3 ) 6 a a = ， 2 2 2( ) a b a b + = + . 师：设 a 、b 为任意向量， λ 、 μ 为任意实数，则有： （1） ( ) λ+ = + μ a λa μa ； （2） λ( ) ( ) μa = λμa ； （3） λ( ) a b + = + λa λb . A B D C
通常将(2)称为结合律,(1)(3)称为分配律 3.向量平行的充要条件 请同学们观察a=m-n,b=-2m+2n,回答a、b有何关系? 生:因为b=-2a,所以a、b是平行向量 引导:若a、b是平行向量,能否得出b=Aa?为什么?可得出a=为b吗?为什么? 生:可以!因为a、b平行,它们的方向相同或相反 师:由此可得向量平行的充要条件:向量b与非零向量a平行的充要条件是有且仅有 个实数,使得b=Aa 对此定理的证明,是两层来说明的 其一,若存在实数λ,使b=Aa,则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知b与a平 行,即b与a平行 其三,若b与石平行,且不妨令a10,设b=以(这是实数概念)接下来看a、b 方向如何:①a、b同向,则b=如a,②若a、b反向,则记b=-ka,总而言之,存在 实数λ(=或A=-1)使b=Aa 例4如图:已知AD=3AB,DE=3BC,试判断AC与AE是否平行 4)单位向量: 单位向量:模为1的向量 向量a(a10)的单位向量:与a同方向的单位向量,记作a0
通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律. 3.向量平行的充要条件： 请同学们观察 a m n = - ，b m n = - + 2 2 ，回答 a 、b 有何关系？ 生：因为 b a = - 2 ，所以 a 、b 是平行向量. 引导：若 a 、b 是平行向量，能否得出 b = λa ？为什么？可得出 a = λb 吗？为什么？ 生：可以！因为 a 、b 平行，它们的方向相同或相反. 师：由此可得向量平行的充要条件：向量 b 与非零向量 a 平行的充要条件是有且仅有一 个实数 λ ，使得 b = λa . 对此定理的证明，是两层来说明的： 其一，若存在实数 λ ，使 b = λa ，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知 λb 与 a 平 行，即 b 与 a 平行. 其二，若 b 与 a 平行，且不妨令 a ¹ 0 ，设 | | | | b μ a = （这是实数概念）．接下来看 a 、b 方向如何：① a 、b 同向，则 b = μa ，②若 a 、b 反向，则记 b = - μa ，总而言之，存在 实数 λ （ λ = μ 或 λ = - μ ）使 b = λa . 例 4 如图：已知 AD AB = 3 ， DE BC = 3 ，试判断 AC 与 AE 是否平行． 解： 4）单位向量： 单位向量：模为 1 的向量. 向量 a （ a ¹ 0 ）的单位向量：与 a 同方向的单位向量，记作 0 a
思考:a如何用a来表示?(a=al?apa==?a) 例5已知OA=a,OB=bOC=c,OD=d,OE=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d, e=(a+b),那么t为何值时,C,D,E三点在一条直线上? 解: 例6在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,G为BF与DE的交点 若AB=a,AD=b,试以a,b表示DE、BF、CG 课堂小结 (1)与a的积还是向量,Aa与a是共线的 (2)向量平行的充要条件的内容和证明思路,也是应用该结论解决问题的思路.该结论 主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题; (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项 作业 P88-89习题3A组2、3、4、5 P89习题3B组2、3. 拓展提升 1.设a,b都是单位向量,则下列结论中正确的是
思考： 0 a 如何用 a 来表示？ （ 0 a a a = ? | | Þ 0 1 | | a a a = ? ） 例 5 已知 OA a OB b OC c OD d OE e = = = = = , , , , ，设 t R ，如果 3 , 2 , a c b d = = e t a b = + ( ) ，那么 t 为何值时， C D E , , 三点在一条直线上？ 解： 例 6 在平行四边形 ABCD 中， E F, 分别是 BC DC , 的中点， G 为 BF 与 DE 的交点， 若 AB a = ， AD b = ，试以 a ，b 表示 DE 、 BF 、CG ． 解： 课堂小结 （1） λ 与 a 的积还是向量， λa 与 a 是共线的； （2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路.该结论 主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题； （3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项. 作业 P88-89 习题 3 A 组 2、3、4、5. P89 习题 3 B 组 2、3. 拓展提升 1.设 0 0 a b, 都是单位向量，则下列结论中正确的是
ao=bo a·b an|+|b|=2 a+b=2 2.已知正方形的边长为1,AB=a,BC=b,AC=C,则a+b+c A.0 3.已知向量a,b,且(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则c= (用a.b表 4.已知OA=a,OB=b,C为线段AB上距A较近的一个三等分点,D为线段CB上 距C较近的一个三等分点,则用a,b表示OD的表达式为 (9a+7b)C.(2a+b) 5.已知向量a,b不共线,m,n为实数,则当ma+nb=0时,有m 6.若菱形ABCD的边长为2,则AB-CB+CD 7.已知|AB=8,AC=5,则|BC|的取值范围是
A． 0 0 a b = B． 0 0 a b =1 C． 0 0 | | | | 2 a b + = D． 0 0 | | 2 a b + = 2.已知正方形的边长为 1， AB a BC b AC c = = = , , ，则 | | a b c + + = A. 0 B. 3 C. 2 2 D. 2 3. 已知向量 ab, ，且 2 (4 3 ) 3(5 4 ) 0 3 a c c b − + − = ，则 c = .(用 ab, 表 示) 4.已知 OA a OB b = = , ，C 为线段 AB 上距 A 较近的一个三等分点， D 为线段 CB 上 距 C 较近的一个三等分点，则用 a b , 表示 OD 的表达式为 A. (4 5 ) 9 1 a b + B . (9 7 ) 16 1 a b + C. (2 ) 3 1 a b + D. (3 ) 4 1 a b + 5. 已知向量 ab, 不共 线， m n, 为实数，则当 ma nb + = 0 时，有 m= ， n = . 6. 若菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB CB CD − + = . 7.已知 | | 8,| | 5 AB AC = = ,则 | | BC 的取值范围是
参考答案 例1作法:在平面内取一点,作OA=aAB=b,则OB=a+ 例2 解:在平面上取一点0,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=a, 作BA,DC,则BA=ab,DC=cd B b 例3 解:由平行四边形法则得: AC=a+b, DB= AB-AD=a b 变式 变式二:B,b互相垂直 变式三:不可能,∴∵对角线方向不同 例4 解:∵AE=AD+DE=3AB+3BC=3(AB+BC)=3AC
参考答案 例 1 作法：在平面内取一点，作 OA = a AB = b ，则 OB = a + b . 例 2 解：在平面上取一点 O，作 OA = a， OB = b， OC = c， OD = d， 作 BA ， DC ， 则 BA = a b， DC = c d. 例 3 解：由平行四边形法则得： AC = a + b， DB = AB − AD = a b， 变式一：|a| = |b|， 变式二：a，b 互相垂直， 变式三： 不可能， ∵对角线方向不同 例 4 解：∵ AE AD DE AB BC AB BC AC = + = + = + = 3 3 3( ) 3 , A B D C A B C b a d c D O
∴AE与AC平行 4)单位向量 单位向量:模为1的向量 向量a(a10)的单位向量:与a同方向的单位向量,记作a0 思考:a如何用a来表示?(a=|a?aba=-?a 例5 解:由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(1-3+1b,C,D,E三点在一条 直线上的充要条件是存在实数k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3ka=(2k-1)b ①若a,b共线,则t可为任意实数; ②若ab不共线,则有-3+3k=解之,得125 6 综上,a.b共线时,则t可为任意实数:ab不共线时,t=6 例6 DE= AE-AD=AB+ be-ad=a+-b-b=a--b be- 4F-AB- AD+ DF-AB-b+a-a=b-I G是△CBD的重心,CG=CA=-AC=-(a+b) 拓展提升 1.提示:因为是单位向量,|an=1|b0=1 2.提 B+BO la+b+c2c 4提示:AB=b-a,DB=2CBCB=2AB,:AD=5AB=56b-a), OD=OA+AD
∴ AE 与 AC 平行. 4）单位向量： 单位向量：模为 1 的向量. 向量 a （ a ¹ 0 ）的单位向量：与 a 同方向的单位向量，记作 0 a . 思考： 0 a 如何用 a 来表示？ （ 0 a a a = ? | | Þ 0 1 | | a a a = ? ） 例 5 解：由题设知， CD d c b a CE e c t a tb = − = − = − = − + 2 3 , ( 3) ，C D E , , 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数 k ，使得 CE kCD = ，即 ( 3) 3 2 t a tb ka kb − + = − + ， 整理得 ( 3 3 ) (2 ) t k a k t b − + = − . ①若 ab, 共线，则 t 可为任意实数； ②若 ab, 不共线，则有 3 3 0, 2 0, t k t k − + = − = 解之，得 6 5 t = . 综上， ab, 共线时，则 t 可为任意实数； ab, 不共线时， 6 5 t = . 例 6 解： 1 1 2 2 DE AE AD AB BE AD a b b a b = − = + − = + − = − , 1 1 2 2 BF AF AB AD DF AB b a a b a = − = + − = + − = − , G 是△ CBD 的重心， 1 1 1 ( ) 3 3 3 CG CA AC a b = = − = − + . 拓展提升 1.提示：因为是单位向量， 0 0 | | 1,| | 1 a b = = 2.提示： AB BC AC + = ， ∴ | | | 2 | a b c c + + = . 3. 8 12 39 13 − +a b 4.提示： AB b a = − ， 2 2 , , 3 3 DB CB CB AB = = ∴ 5 5 ( ) 9 9 AD AB b a = = − ， OD OA AD = +