2.3.4平面向量共线的坐标表示 课后篇巩固探究 1.已知向量a=(-1,m),b=(2m3),且a∥b,则m等于( A.-1 B._2 C.-1或3D.0或2 解析由已知得-(2m3)+=0, m=-1或m=3. 答案C 2.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是() A.a与b共线B.bt与a共线 C.a与bc共线D.ab与c共线 解析:b=(5,7),c=(2,4),bc=(3,3) a.∴a与bc共线 答案C 3.已知向量&=(2,3),b=(-1,2),若&-b与非零向量hb共线,则n等于() A.-2 B.2 C.2 D.2 解析因为向量&=(2,3),b=(-1,2), 所以a-2b=(2,3)-(2,4)=(4,-1),+b=(2m-n,3mt2n) 因为a-2b与非零向量ma+b共线, 2m3m+27 所以 41,解得14m=7n,n=2. 答案C 4.已知a-(2,1℃0s0),b1+c0s84),且a/b,则锐角O等于() A B.30° C.60° D.30°或 解析由a/b,得2X(4)20i0 ∷0为锐角,∴sin0
1 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 课后篇巩固探究 1.已知向量 a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且 a∥b,则 m 等于( ) A.-1 B.-2 C.-1 或 3 D.0 或-2 解析由已知得-(2m+3)+m 2 =0, ∴m=-1 或 m=3. 答案 C 2.若 a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是 ( ) A.a-c 与 b 共线 B.b+c 与 a 共线 C.a 与 b-c 共线 D.a+b 与 c 共线 解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3). ∴b-c= a.∴a 与 b-c 共线. 答案 C 3.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 a-2b 与非零向量 ma+nb 共线,则 等于( ) A.-2 B.2 C.- D. 解析因为向量 a=(2,3),b=(-1,2), 所以 a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n). 因为 a-2b 与非零向量 ma+nb 共线, 所以 ,解得 14m=-7n, =- . 答案 C 4.已知 a=(-2,1-cos θ),b= ,且 a∥b,则锐角 θ 等于( ) A.45° B.30° C.60° D.30°或 60° 解析由 a∥b,得-2× =1-cos 2θ=sin2θ, ∵θ 为锐角,∴sin θ= .∴θ=45°
答案A 5已知点A(√3,1),B(0,0),C(√3,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E设BC=ACE,则1等 A.2 c 解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,AC/=1, :/EC/=tam60-3. BC=1E,0.∴:/1/2尊 答案C 6.(2018全国∥高考)已知向量a=(1,2),b=(2,2),c=(1,4).若c∥(2ab),则A 解析2a之(1,2)+(2,2)=(4,2),c=(1,A), 1 由c∥(2ab),得4A240,得A 答案万 7.已知平面向量a=(2,1),b=(m2),且B∥b,则38+2b= 解析因为向量&=(2,1),b=(m,2),且a∥b, 所以1·m2×2=0,解得m=1所以b=(4,2) 故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7 答案(14,7) 8导学号68254080已知OA=(-2,m,OB=(n,1),OC=(5,-1),若点A,BC在同一条直 线上,且m=2n,则m+n= 解析AB=B-04 =(n,1)-(-2,m=(nt2,1-m), BC= OC -OB (5,-1)-(n,1)=(5-n,2
2 答案 A 5.已知点 A( ,1),B(0,0),C( ,0).设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于点 E,设 =λ ,则 λ 等 于( ) A.2 B. C.-3 D.- 解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1, ∴|EC|= . ∵ =λ ,λ<0,∴|λ|= =3. ∴λ=-3. 答案 C 6.(2018 全国Ⅲ高考)已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若 c∥(2a+b),则 λ= . 解析 2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ), 由 c∥(2a+b),得 4λ-2=0,得 λ= . 答案 7.已知平面向量 a=(2,1),b=(m,2),且 a∥b,则 3a+2b= . 解析因为向量 a=(2,1),b=(m,2),且 a∥b, 所以 1·m-2×2=0,解得 m=4.所以 b=(4,2). 故 3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7). 答案(14,7) 8. 导学号 68254080 已知 =(-2,m), =(n,1), =(5,-1),若点 A,B,C 在同一条直 线上,且 m=2n,则 m+n= . 解析 =(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m), =(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2)
因为A,BC共线, 所以AB与BC共线, 所以2(n12)=(1-m(5-m).① 又m=2n,② m=6,x(m=3 或 解①②组成的方程组得 1= 9 所以m+n=9或m+n=2 答案9或2 9.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x) (1)求实数x的值,使向量AB与CD共线 (2)当向量AB与CD共线时,点ABCD是否在一条直线上? 解(1)AB=(x,1),CD=(4,x) ABCD∴4 (2)由已知得BC=(22x,x1), 当x=时 BC. AB和BC不平行,此时A,B,CD不在一条直线上 当x=-2时, BC. =(6,3), AB BC,此时A,BC三点共线 又AB‖CD A,BCD四点在一条直线上 综上,当x=2时,A,B,CD四点在一条直线上 )导学号68254081
3 因为 A,B,C 共线, 所以 共线, 所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ① 又 m=2n, ② 解①②组成的方程组得 所以 m+n=9 或 m+n= . 答案 9 或 9.已知点 A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x). (1)求实数 x 的值,使向量 共线; (2)当向量 共线时,点 A,B,C,D 是否在一条直线上? 解(1) =(x,1), =(4,x). ∵ ,∴x 2 =4,x=±2. (2)由已知得 =(2-2x,x-1), 当 x=2 时, =(-2,1), =(2,1), ∴ 不平行,此时 A,B,C,D 不在一条直线上. 当 x=-2 时, =(6,-3), =(-2,1), ∴ ,此时 A,B,C 三点共线. 又 , ∴A,B,C,D 四点在一条直线上. 综上,当 x=-2 时,A,B,C,D 四点在一条直线上. 10. 导学号 68254081
如图,已知△AB中,4A0.5,.00,B4,3),0C=0A0D=30B,MD与BC相交于点属求点M的 坐标 解因为DC=50=30.5)0所以 因为 0D=10B=1 2(4,3) (2 所以D 设Mx),则M2(xy5,C=(xy-9)B=(4AD=(2)-0.5=(2) 因为M‖AD,所以-3x2(y-5)≠0,即7x+y=20.① 因为 CMII CB, 所以 y4)40,即7x16y=20 联立①②解得x=7,y=,故点M的坐标为 (2) 11如图,已知四边形ABCD是正方形,BE‖AC,AC/=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F求 证:AF=AE. 证明建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为 (x,y)(x)0), 则BE=(xy=1),AC :xX(-1)-1×(y-1)=
4 如图,已知△AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3), ,AD 与 BC 相交于点 M,求点 M 的 坐标. 解因为 (0,5)= ,所以 C . 因为 (4,3)= , 所以 D . 设 M(x,y),则 =(x,y-5), -(0,5)= . 因为 ,所以- x-2(y-5)=0,即 7x+4y=20. ① 因为 , 所以 x-4 =0,即 7x-16y=-20. ② 联立①②,解得 x= ,y=2,故点 M 的坐标为 . 11.如图,已知四边形 ABCD 是正方形, ,| |=| |,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F,求 证:AF=AE. 证明建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为 1,则 A(-1,1),B(0,1),设点 E 的坐标为 (x,y)(x>0), 则 =(x,y-1), =(1,-1). ∵ ,∴x×(-1)-1×(y-1)=0. ①
又/CE/=/ACA,:}=.② 由①联立,解得点E的坐标为(1+319 设点F的坐标为(x’,1), 由 =(x,1)和 CE=(+.2) 共线 1 1+√3 得 点F的坐标为(-2-√3,1) AF=(-3.0,AE=(=#2.+2 AF/1+√3=/AEA,即AF=AE
5 又| |=| |,∴x 2 +y 2 =2. ② 由①②联立,解得点 E 的坐标为 . 设点 F 的坐标为(x',1), 由 =(x',1)和 共线, 得 x'- =0,∴x'=-(2+ ), ∴点 F 的坐标为(-2- ,1). ∴ =(-1- ,0), , ∴| |=1+ =| |,即 AF=AE