15函数y=Asin(Oxq)的图象
1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
引入: 函数y=Ain(ox+o)的图象有什么特征? A,O2对图象又有什么影响? 如何作出它的图象? 它的图象与y=simx的图象又有什么关系呢?
函数y=Asin(ωx+φ)的图象有什么特征？ A,ω,φ对图象又有什么影响? 如何作出它的图象？ 它的图象与y＝sinx的图象又有什么关系呢？ 引入：
探索研究 (1)函数y=AMs与y=snx的图象的联系 例1.画出函数y=2ix及y=inx(x∈R)的简图 解:函数y=2sinx及y=inx的周期均为2兀 先作[0,2z]上的简图.列表并描点作图 利用这两个函数的 V=SLX 周期性,我们可以 3丌 把它们在[0,2z]上 元 x*的简图向左、右分 y==sinx 别扩展,从而得到 2 它们的简图 动画演示
2 2 3 2 sin x 2 sin x sin x 2 1 0 探索研究 （1）函数 y = Asin x 与 y = sin x 的图象的联系 例1．画出函数 y = 2 sin x 及 y sin x （ ）的简图． 2 1 = x R 解：函数 y = 2 sin x 及 y sin x 的周期均为 ， 2 1 = 2 先作 0，2 上的简图．列表并描点作图： 2 1 2 1 − 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 －1 －2 2 利用这两个函数的 周期性，我们可以 把它们在 上 的简图向左、右分 别扩展，从而得到 它们的简图. 0，2 x y 2 2 3 2 y = sin x y = 2 sin x y sin x 2 1 = o 动画演示
归纳总结: 函数y= A sinx(A>0且A≠1)的图象可以看做是 把函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A 时)或缩短(当0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变) 而得到,fx)→Af(x)这种变换称为振幅变换,它是由A的 变化而引起的,A叫做函数y= a sin x的振幅 y= A sinx,x∈R的值域是[A,小最大值是A,最小 值是-A
函数 （ 且 ）的图象可以看做是 把函数 的图象上所有点的纵坐标伸长（当 时）或缩短（当 ）到原来的 倍（横坐标不变） 而得到,f(x) Af(x) ,这种变换称为振幅变换，它是由 的 变化而引起的， 叫做函数 的振幅． ， 的值域是 ，最大值是 ，最小 值是 ． 归纳总结： y = Asin x A 0 A 1 y = sin x A 1 0 A 1 A A A y = Asin x y = Asin x x R − A，A A − A
(2)函数y=icx与y=Sx的图象的联系 例2.作函数y=i2x及y=sin,x的简图 2丌 解:函数y=sin2x的周期T 2 丌,先作x∈[,z]时的简图. 函勤y的周期”2兀=4,先作xe[0r]时的简图 列表: y=Snot y=sin2x y=SⅦx 动画演示
（2）函数 y = sinx 与 y = sin x 的图象的联系 例2．作函数 y = sin2x 及 y sin x 的简图． 2 1 = 解：函数 y = sin2x 的周期 ， = = 2 2 T 先作 x 0， 时的简图． 列表： 2 2 3 2 2 2 2 3 x 4 4 3 2x 2 sin2x 0 0 0 0 0 x 3 4 x 2 1 2 sin x 2 1 0 0 1 －1 0 1 0 －1 0 函数 y sin x 的周期 ，先作 时的简图． 2 1 = 4 2 1 2 T = = x 0，4 y x 2 2 3 2 3 4 4 3 4 y sin x 2 1 = y = sin2x y = sin x 动画演示
归纳总结: 函数y=nax(m>0且m≠1)的图象,可 以看做是把p=sinx的图象上所有点的横坐标缩 短(当>1时)或伸长(当0<a<1时)到原 来的倍(纵坐标不变)而得到的fx)fox) 这种变换称为周期变换,它是由O的变化而引起 的,与周期T的关系为T=2n
函数 （ 且 ）的图象,可 以看做是把 的图象上所有点的横坐标缩 短（当 时）或伸长（当 时）到原 来的 倍（纵坐标不变）而得到的.f(x) f(ωx) 这种变换称为周期变换，它是由 的变化而引起 的， 与周期 的关系为 ． 归纳总结： y = sinx 0 1 y = sin x 1 0 1 1 T 2 T =
(3)函数ysin(x+p)与y=sinx的图象的联系 例3.作函数y=sin(x+)及y=sin(x--)的简图 (用图象变换法) 4 y=sinx的图象向左平移63个单位长度y=sin(x+)的图象 y=sinx的图象向右平移4个单位长度 SInx )的图象 -sin(x+ L y=sInx SIn(X 丌 动画演示
（3）函数 y=sin(x+φ)与y＝sinx 的图象的联系 例3．作函数y=sin(x+ ) 及y=sin(x- ) 的简图. (用图象变换法) 3 4 y=sinx的图象 向左平移π/3个单位长度 y=sin(x+ )的图象 π 3 y=sin(x- π )的图象 4 y=sinx的图象 向右平移π/4个单位长度 o 2 x 2 2 3 1 -1 y 4 3 y=sin(x+ ) y=sinx π 3 π y=sin(x- ) 4 动画演示
归纳总结: y=sin(x+q)的图象,可以看作把y=sinx的图象 向左(当q>0)或向右(当φ<0)平移|o个单位长度 而得到x)fK+q)简记为:左加右减) 注 q引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改 变图象的形状.q叫做初相
注: φ引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改 变图象的形状.φ叫做初相. 归纳总结： y=sin(x+φ)的图象,可以看作把y=sinx的图象 向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移|φ|个单位长度 而得到.f(x) f(x+φ)(简记为:左加右减)
用图象变换法作y=3in(2x+73)的图象的方法步骤: 第1步y=inx的图象向左平移x/3个单位长y=$m(x+x/3的图象 第步:ySm(x+③)的图象横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)y=Sn(2x+m/3)的图象 第3步y=i(2x+/3)的图象 裂坐标伸长到原来的淫3sn(2x+m/3)的图象 (横坐标不变) y=3sin(2x+7/3) y=sin(x+r/3) 丌 y=smn(x+丌
-3 o 2 x 2 2 3 1 2 -1 -2 3 y 6 − 3 − 用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤: 向左平移π/3个单位长度 横坐标缩短到原来的1/2倍 (纵坐标不变) 纵坐标伸长到原来的3倍 (横坐标不变) 第1步:y=sinx的图象 y=sin(x+π/3)的图象 第2步: y=sin(x+π/3)的图象 y=sin(2x+ π/3)的图象 第3步y=sin( : 2x+ π/3)的图象 y=3sin(2x+ π/3)的图象 y=sinx y=sin(x+π/3) y=sin(2x+ π/3) y=3sin(2x+ π/3) （一） （二）
一般的,函数y=Asin(ox+q)(A>0,0)>0)的图象 可由以下方法得到: 先把y=sinx的图象向左(当o>0时)或向右(当q1时)或伸长(当01时)或缩短(当00,0)>0)中,A叫振幅, uX+叫相位,q叫初相,周期T=2π/o, A,ω的变化引起伸缩变换, q的变化引起平移变换
先把y=sinx的图象向左(当φ> 0时)或向右(当φ1时)或伸长(当01时)或缩短(当00,ω>0)中,A叫振幅, ωx+φ叫相位，φ叫初相，周期T=2π/ω, A，ω的变化引起伸缩变换, φ的变化引起平移变换. 一般的，函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象 可由以下方法得到：