1.5函数y=Asin(ax+φ)的图象 高效演练知能提升 A级基础巩固 选择题 1.函数y=3si(7x+)的振幅和周期分别为() B 解析:由于函数y=3510(2x+),所以振幅是3,周期是产=2x=4 答案:A 2.(206·四川卷)为了得到函数y=si(x+2)的图象,只需把函数y=sinx的图象 上所有的点() A.向左平行移动一个单位长度 向右平行移动。个单位长度 C.向上平行移动。个单位长度 D.向下平行移动一个单位长度 解析:把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动。个单位长度就得到函数y= sinx+)的图象 答案:A 已知函数A(+的象如图所示(分)一号则D=()
1 1.5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 A 级 基础巩固 一、选择题 1．函数 y＝3sin π 2 x＋ π 4 的振幅和周期分别为( ) A．3，4 B．3， π 2 C. π 2 ，4 D. π 2 ，3 解析：由于函数 y＝3sin π 2 x＋ π 4 ，所以振幅是 3，周期是 T＝ 2π π 2 ＝4. 答案：A 2．(2016·四川卷)为了得到函数 y＝sin x＋ π 3 的图象，只需把函数 y＝sin x 的图象 上所有的点( ) A．向左平行移动π 3 个单位长度 B．向右平行移动π 3 个单位长度 C．向上平行移动π 3 个单位长度 D．向下平行移动π 3 个单位长度 解析：把函数 y＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π 3 个单位长度就得到函数 y＝ sin x＋ π 3 的图象． 答案：A 3.已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f π 2 ＝－ 2 3 ，则 f(0)＝( ) A.－ 2 3 B.－ 1 2
D 解析:由图象可知所求函数的周期为, =3.将/1x ,0代入解析式得一π+=。+2k,所以中 +2(k-1) 4 (k∈Z).令中=-丁 代入解析式得f(x)=os3x 又因为(=-0x1=-3 故A 所以f(0)=Ac 3故选C 答案:C 4.已知a),函数(0=CN(ax+3)的一条对称轴为x=3,一个对称中心为 则a有( A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 解析:由题意知-、 故7=≤丌 312 答案:A 函数(=53(+(>,-2≤≤图象关于直线 且图象上相邻两个最高点的距离为x,若(分)￥0=≤号)则sm(2-小 解析:因为f(x)的图象两个相邻最高点的距离为, 2丌 所以7= 6,所以 所以f(x)=3sin(2x+中
2 C. 2 3 D. 1 2 解析：由图象可知所求函数的周期为2 3 π， 故 ω＝3.将 11π 12 ，0 代入解析式得11 4 π＋φ＝ π 2 ＋2kπ，所以φ＝－ π 4 ＋2(k－1)π (k∈Ｚ).令 φ＝－ Ｔπ 4 ，代入解析式得 f(x)＝Acos 3x－ π 4 ， 又因为 f π 2 ＝－Acos π 4 ＝－ 2 3 ， 故 A＝ 2 2 3 . 所以 f(0)＝Acos － π 4 ＝Acos π 4 ＝ 2 3 ，故选 C. 答案：C 4．已知 ω>0，函数 f(x)＝cos ω x＋ π 3 的一条对称轴为 x＝ π 3 ，一个对称中心为 π 12，0 ，则 ω 有( ) A．最小值 2 B．最大值 2 C．最小值 1 D．最大值 1 解析：由题意知π 3 － π 12≥ T 4 ，故 T＝ 2π ω ≤π，ω≥2. 答案：A 5．函数 f(x)＝ 3sin( ωx＋φ) ω ＞0，－ π 2 ≤φ≤ π 2 的图象关于直线 x＝ π 3 对称， 且图象上相邻两个最高点的距离为π，若 f α 2 ＝ 3 4 0＜α＜ π 2 ，则 sin 5π 3 －α ＝ ( ) A．－ 15 4 B. 15 4 C．± 15 4 D．－ 3 4 解析：因为 f(x)的图象两个相邻最高点的距离为π， 所以 T＝π＝ 2π ω ，所以 ω＝2， 所以 f(x)＝ 3sin( 2x＋φ)．
因为f(=sin(2x+)(>0,-≤中≤)的图象关于直线x=对称 所以一+中=k丌 +2,k∈Z 所以k=0时,中=一一, 所以A=5n2- 所以(2)=(-)=3 所以sin(a-2 又0<a<,故cos(a -3)- 所以sinx-a=sin(%a (-)+2 15 6 答案:A 、填空题 6.把y=simx的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sina x的图象,则a的值为 解析:把函数y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的2倍,所得图象对应的函数 解析式为y=sin,所以= 答案:4 7把函数y=sin(6x+3x)图象向右平移个单位长度,然后把横坐标扩大到原来 的3倍,则得到的函数解析式为 解析:把函数y=sin(x+4)的图象向右平移了个单位长度,则得到y
3 因为 f(x)＝ 3sin( 2x＋φ) ω＞ 0，－ π 2 ≤φ≤ π 2 的图象关于直线 x＝ π 3 对称， 所以2π 3 ＋φ＝kπ＋ π 2 ，k∈Z， 所以 k＝0 时，φ＝－ π 6 ， 所以 f(x)＝ 3sin 2x－ π 6 ， 所以 f α 2 ＝ 3sin α－ π 6 ＝ 3 4 ， 所以 sin α－ π 6 ＝ 1 4 . 又 0＜α＜ π 2 ，故 cos α－ π 6 ＝ 15 4 ， 所以 sin 5 3 π－α ＝sin － π 3 －α ＝－sin π 3 ＋α ＝－sin α－ π 6 ＋ π 2 ＝－cos α－ π 6 ＝－ 15 4 . 答案：A 二、填空题 6．把 y＝sin 1 2 x 的图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin ω x 的图象，则 ω 的值为________． 解析：把函数 y＝sin 1 2 x 的图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，所得图象对应的函数 解析式为 y＝sin 1 4 x，所以 ω＝ 1 4 . 答案：1 4 7．把函数 y＝sin 6x＋ 3π 4 的图象向右平移π 3 个单位长度，然后把横坐标扩大到原来 的 3 倍，则得到的函数解析式为________． 解析：把 函数 y ＝sin 6x＋ 3π 4 的图象向 右平 移 π 3 个单位长度 ，则得 到 y＝
n),3 x-2+的图象,即解析式为y=sin6x-7x,然后把横坐标扩大为原来的3 倍,得到函数厂=8(2-)的图象,则解析式为产=(2-= 答案:y=sin2x-元m 8.若函数r()=2(2x+0<<)的图象过点(,),则函数f(x)在[o ]上的单调减区间是 解析:函数()=2in(2x+0(0<<)的图象过点0,5),则2in= sin=.因为0<<,所以中=,所以()=2in(2x+ 因为0≤≤m,所以0≤2x≤2,32+≤7 3≤3,由于y=sinx 上为 7丌 减函数,所以一≤2x+一≤一,解得,≤x≤ 答案:(,)或 12D 、解答题 9.(1)利用“五点法”画出函数y=sin(1x+)在长度为一个周期的闭区间的简图: (2)说明该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎栏平移和伸缩变换得到? 解:(1)先列表,后描点并画图 26 2 8 3 3 1.空、数
4 sin 6 x－ π 3 ＋ 3π 4 的图象，即解析式为 y＝sin 6x－ 5 4 π ，然后把横坐标扩大为原来的 3 倍，得到函数 y＝sin 2x－ 5 4 π 的图象，则解析式为 y＝sin 2x－ 5 4 π . 答案：y＝sin 2x－ 5 4 π 8．若函数 f(x)＝2sin( 2x＋φ) 0＜φ＜ π 2 的图象过点(0， 3)，则函数 f(x)在[0， π]上的单调减区间是________． 解析：函数 f(x)＝2sin( 2x＋φ) 0＜φ＜ π 2 的图象过点(0， 3)，则 2sin φ＝ 3， sin φ＝ 3 2 .因为 0＜φ＜ π 2 ，所以φ＝ π 3 ，所以 f(x)＝2sin 2x＋ π 3 . 因为 0≤x≤π，所以 0≤2x≤2π， π 3 ≤2x＋ π 3 ≤ 7π 3 ，由于 y＝sin x 在 π 2 ， 3π 2 上为 减函数，所以π 2 ≤2x＋ π 3 ≤ 3π 2 ，解得π 12≤x≤ 7π 12 . 答案： π 12， 7π 12 或 π 12， 7π 12 三、解答题 9．(1)利用“五点法”画出函数 y＝sin( 1 2 x＋ π 6 )在长度为一个周期的闭区间的简图； (2)说明该函数图象可由 y＝sin x(x∈R)的图象经过怎栏平移和伸缩变换得到？ 解：(1)先列表，后描点并画图． 1 2 x＋ π 6 0 π 2 π 3π 2 2π x － π 3 2π 3 5π 3 8π 3 11π 3 y 0 1 0 －1 0
(2)把y=sinx的图象上所有的点向左平移a个单位长度,得到y=sin(x+a)的图象, 再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,得到产=s+)的图象,或 把y=sinx的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=six的图象,再把所 图象上所有的点向左平的号个单位长度,朝到严+甲=(+ 图象 10.函数f(x)=/sin(ax-)+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称 轴之间的距离为 (1)求函数f(x)的解析式 设∈(,2)则(分)=2求的值 解:(1)因为函数f(x)的最大值为3, 所以A+1=3,即A=2 因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 所以最小正周期7=丌, 所以=2,故函数f(x)的解析式为 (2)因为 2sina--+1=2, 所以sia-6)2 因为0<a<,所以一<a-< 所以a-=6=6,故a=3 B级能力提升 1.已知函数y=Asin(ax+中)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是y,直线 是其图象的一条对称轴,则下面各解析式符合条件的是(
5 (2)把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移π 6 个单位长度，得到 y＝sin x＋ π 6 的图象， 再把所得图象的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 1 2 x＋ π 6 的图象．或 把 y＝sin x 的图象横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 1 2 x 的图象，再把所 得图象上所有的点向左平移π 3 个单位长度，得到 y＝sin 1 2 x＋ π 3 ，即 y＝sin 1 2 x＋ π 6 的 图象． 10．函数 f(x)＝Asin(ωx－ π 6 )＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为 3，其图象相邻两条对称 轴之间的距离为π 2 . (1)求函数 f(x)的解析式； (2)设 α∈ 0， π 2 ，则 f α 2 ＝2，求 α 的值． 解：(1)因为函数 f(x)的最大值为 3， 所以 A＋1＝3，即 A＝2. 因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π 2 ， 所以最小正周期 T＝π， 所以 ω＝2，故函数 f(x)的解析式为 y＝2sin 2x－ π 6 ＋1. (2)因为 f α 2 ＝2sin α － π 6 ＋1＝2， 所以 sin α－ π 6 ＝ 1 2 ， 因为 0＜α＜ π 2 ，所以－π 6 ＜α－ π 6 ＜ π 3 ， 所以 α－ π 6 ＝ π 6 ，故 α＝ π 3 . B 级 能力提升 1．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋m 的最大值是 4，最小值是 0，最小正周期是π 2 ，直线 x＝ π 3 是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )
A产=4u4+12+28.=22+3)+2 C.=2sin4x+。+2 Dy=2sin( 6/72 解析:因为最大值是4,故选项A不符合题意. 2丌 又因为7= 所以ω=4,故排除选项B. k 令4x+一=+k,k∈Z→4x=-+k,k∈Z→x= 4’∈Z, Ⅱk 得k=4,排除选项C,故选D 答案:D 2.函数几02=21m(+(>,且40的部分图象如图所示 (1)求函数f(x)的解析式 (2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx,x∈R的图象经过怎样的变化得到. 解:(1)由题设图象知,最小正周期11x5=,所以a=7=2 2丌 6
6 A．y＝4sin 4x＋ π 6 ＋2 B．y＝2sin 2x＋ π 3 ＋2 C．y＝2sin 4x＋ π 3 ＋2 D．y＝2sin 4x＋ π 6 ＋2 解析：因为最大值是 4，故选项 A 不符合题意． 又因为 T＝ 2π ω ＝ π 2 ，所以 ω＝4，故排除选项 B. 令 4x＋ π 3 ＝ π 2 ＋kπ，k∈Z⇒4x＝ π 6 ＋kπ，k∈Z⇒x＝ π 24＋ kπ 4 ，k∈Z， 令 π 24＋ kπ 4 ＝ π 3 ，得 k＝ π 6 ∉Z，排除选项 C，故选 D. 答案：D 2．函数 f(x)＝2sin (ωx＋φ) ω＞ 0，且|φ|＜ π 2 的部分图象如图所示，则 f π 2 ＝ ________． 解析：由题设可得 T＝4 π 6 ＋ π 12 ＝π⇒ω＝ 2π π ＝2，则 f(x)＝2sin( 2x＋φ)．由 f π 6 ＝0⇒ π 3 ＋φ＝2kπ，即 φ＝2kπ－ π 3 ，k∈Z，又|φ|＜ π 2 ，则 φ＝－ π 3 ，所以 f(x)＝ 2sin 2x－ π 3 ，f π 2 ＝2sin π－ π 3 ＝ 3. 答案： 3 3．已知函数 f(x)＝Asin( ωx＋φ) x∈R，0＜φ＜ π 2 ，ω＞0 的部分图象如图所示． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)不画图，说明函数 y＝f(x)的图象可由 y＝sin x，x∈R 的图象经过怎样的变化得到． 解：(1)由题设图象知，最小正周期 T＝2 11π 12 － 5π 12 ＝π，所以 ω＝ 2π T ＝2
因为点(1,0在f(x)的图象上,所以Ai2×1+中=0,即sin5x +中=0. 5丌5 4丌 5丌 又因为0<中<可,所以 中<一,从而一+中= 3 即φ 又点(0,1)在f(x)的图象上,所以 Asin=1,解得A=2,所以f(x)=2si2x6 2)先将函数y=sinx,x∈R的图象向左平移一个单位长度 得到函数y=sinx+ 6)x∈R的图象, 再把函数=six+),x∈R图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍, 得到函数y=sin2x+ 6∈R的图象 最后把函数y=sin(2x+,x∈R图象上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2倍, 得到函数(=2512x+),∈R的图象
7 因为点 5π 12 ，0 在 f(x)的图象上，所以 Asin 2× 5π 12 ＋φ ＝0，即 sin 5π 6 ＋φ ＝0. 又因为 0＜φ＜ π 2 ，所以5π 6 ＜ 5π 6 ＋φ＜ 4π 3 ，从而5π 6 ＋φ＝π， 即 φ＝ π 6 . 又点(0，1)在 f(x)的图象上，所以 Asin π 6 ＝1，解得 A＝2，所以 f(x)＝2sin 2x＋ π 6 . (2)先将函数 y＝sin x，x∈R 的图象向左平移π 6 个单位长度， 得到函数 y＝sin x＋ π 6 ，x∈R 的图象， 再把函数 y＝sin x＋ π 6 ，x∈R 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1 2 倍， 得到函数 y＝sin 2x＋ π 6 ，x∈R 的图象， 最后把函数 y＝sin 2x＋ π 6 ，x∈R 图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍， 得到函数 f(x)＝2sin 2x＋ π 6 ，x∈R 的图象．