《不等关系与比较大小》教学设计 、教学目标 知识与技能 1、会用实数基本理论比较两个实数(代数式)的大小; 2、掌握不等式的基本性质 过程与方法 通过回忆初中内容,结合数轴得出实数基本性质:由不等式的基本性质,总结并证明不等式的其它性 质:强化转化思想与数形结合思想 情感、态度与价值观 激发探究数学问题的兴趣,体会数学式子的结构美 二、教学重点:比较两实数(或代数式)的大小 三、教学难点:不等式性质的熟练运用 四、教学过程 (一)复习引入 问题:不等关系在数学意义上有哪些体现? 如果两个量之间存在不等关系,一般就有大小之分,那么如何比较两个量的大小呢?本节就来讨论这 个问题一比较大小 (二)新课学习 1实数比较大小的依据 (从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大) 对于任意两个实数a,b a-b>0◇a>b;a-b=0◇a=b;a-b<0◇a<b 2比较两个实数a,b大小的方法 (1)作差a-b-—变形——与0比较—得出结论; (2)作商2—变形一与1比较—得出结论(作商的前提是两个数同号)
1 。 。 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯 《不等关系与比较大小》教学设计 一、教学目标 知识与技能: 1、会用实数基本理论比较两个实数(代数式)的大小; 2、掌握不等式的基本性质. 过程与方法: 通过回忆初中内容,结合数轴得出实数基本性质;由不等式的基本性质,总结并证明不等式的其它性 质;强化转化思想与数形结合思想. 情感、态度与价值观: 激发探究数学问题的兴趣,体会数学式子的结构美. 二、教学重点:比较两实数(或代数式)的大小.. 三、教学难点:不等式性质的熟练运用. 四、教学过程 (一)复习引入 问题:不等关系在数学意义上有哪些体现? 如果两个量之间存在不等关系,一般就有大小之分,那么如何比较两个量的大小呢?本节就来讨论这 个问题---比较大小. (二)新课学习 1 实数比较大小的依据 (从数轴上看,右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大) 对于任意两个实数 a b, a b a b − 0 ; a b a b − = = 0 ; a b a b − 0 . 2 比较两个实数 a b, 大小的方法 (1)作差 a b − ---变形---与 0 比较---得出结论; (2)作商 a b ----变形---与 1 比较---得出结论(作商的前提是两个数同号)
3不等式的基本性质 (1)a>b→a+c>b+c (2)a>b,c>0→ac>bc (3)a>bcbb>c→a>c(传递性) (5)a>b,c>d→a+c>b+d(同向可加性) 6)a>b>0,c>d>0→ac>bd(正数同向可乘性) (7)a>b>0.n>1,且n∈N→a">b",a>b (8)a,b>0,a0→20,且ab∈R 解(1)(x+1x+5)-(x+3)2=(x2+6x+5)-(x2+6x+9)=-4(x++x2) a b°(b -b ①当a>b时,日>,a-b>0所以(4>1,所以ab>ab
2 3 不等式的基本性质 (1) a b a c b c + + ; (2) a b c ac bc , 0 ; (3) a b c ac bc , 0 ; (4) a b b c a c , (传递性); (5) a b c d a c b d + + , (同向可加性); (6) a b c d ac bd 0, 0 (正数同向可乘性); (7) 0, 1, , n n n n a b n n N a b a b 且 ; (8) a b, 0 , a b , m 0 a a m b b m + + . 一、典例分析 例 1、试比较下列各组数的大小,其中 x R (1) ( 1)( 5) x x + + 与 2 ( 3) x + ; (2) 6 x +1 与 4 2 x x + ; (3) a b a b 与 b a a b ,其中 a b a b , 0, , R 且 . 解(1) ( 1)( 5) x x + + − 2 ( 3) x + 2 2 = + + − + + ( 6 5) ( 6 9) x x x x = − 4 0 所以, ( 1)( 5) x x + + 2 ( 3) x + . (2) 6 x +1 4 2 − + ( ) x x 642 = − − + x x x 1 4 2 2 = − − − x x x ( 1) ( 1) 2 4 = − − ( 1)( 1) x x 2 2 2 = − + ( 1) ( 1) x x 当 x =1 时, 6 x +1 4 2 = + ( ) x x ; 当 x 1, 6 x +1 4 2 + ( ) x x . (3) a b a b b a a b a a b b − = ①当 a b 时, 1, 0, a a b b − 所以 1 a b a b − ,所以 a b b a a b a b ;
b ②当a=b时 b1a-b=0所以/a b=1,所以a°b=ab°; ③当a1.所以d>ab 综上知,a"b≥a'b 例2(教材P72例7)引出性质(8) 深化练习 例3、已知一≤a<B≤一,求 a +B a 的取值范围 23<B≤x,式相加得-<a+B<r 解∵-z≤a<z-x a+B.I z≤a<,∴-≤-B<,-≤a-B<丌,∴ 丌a-B丌 333 又∝<B,∴2-B 3<0,∴、丌 a-B 0 综上 B 的取值范围为(一一,) B 的取值范围为[--,0) 例4、设f(x)=ax2+bx(a≠0),若3≤f(1)≤5,4≤f(-1)≤6,求f(2)的取值范围 f(1)=a+b f(1)+f(-1 解由 得 ∫(-1)=a-b b=[f(1)-f(-1 ∴f(2)=4a+2b=3f(1)+f(-1) 3≤f(1)≤5,∴9≤f(1)≤15 又∵:4≤∫(-1)≤6,∴13≤3f(1)+f(-1)≤21 即f(2)的取值范围为[13,21 五、课堂小结 1比较两个实数(代数式)的大小依据及方法 2掌握不等式的基本性质
3 ②当 a b = 时, 1, 0, a a b b = − = 所以 1 a b a b − = ,所以 a b b a a b a b = ; ③当 a b 时, 1, 0, a a b b − 所以 1 a b a b − ,所以 a b b a a b a b ; 综上知, a b b a a b a b 例 2(教材 P72 例 7)引出性质(8) 一、深化练习 例 3、已知 2 2 − ,求 2 + , 3 − 的取值范围 解 , 2 2 2 2 − − ,∴式相加得 − + , ∴ 222 + − . 2 2 − ,∴ 2 2 − − ,∴ − − ,∴ 333 − − , 又∵ ,∴ 0 3 − ,∴ 0 3 3 − − 综上, 2 + 的取值范围为 ( , ) 2 2 − , 3 − 的取值范围为 [ ,0) 3 − . 例 4、 设 2 f x ax bx a ( ) ( 0) = + ,若 3 (1) 5,4 ( 1) 6 − f f ,求 f (2) 的取值范围. 解 由 (1) ( 1) f a b f a b = + − = − ,得 1 [ (1) ( 1)] 2 1 [ (1) ( 1)] 2 a f f b f f = + − = − − ∴ f a b f f (2) 4 2 3 (1) ( 1) = + = + − ∵ 3 (1) 5 f ,∴ 9 (1) 15 f 又∵ 4 ( 1) 6 − f ,∴ 13 3 (1) ( 1) 21 + − f f 即 f (2) 的取值范围为[13,21] 五、课堂小结 1 比较两个实数(代数式)的大小依据及方法; 2 掌握不等式的基本性质