第三章不等式 3.1不等关系与不等式
第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式
课标要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不 等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系.2会用作差法或作商法)比 较两个实数或代数式值的大小.3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质 解决问题
课标要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不 等关系,会用不等式及不等式组表示不等关系.2.会用作差法(或作商法)比 较两个实数或代数式值的大小.3.掌握不等式的性质,能运用不等式的性质 解决问题
自主学习 知识探究 1.不等式的有关概念 (1)不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号〉、< ≥、≤、≠连接两个数或代数式来表示它们之间的不等关系,含有这些不等 号的式子,叫做不等式 (2)不等式的分类 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右 边,这样的两个不等式叫做同向不等式;在两个不等式中,如果一个不等式的 左边大于右边,而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫做异 向不等式
自主学习 知识探究 1.不等式的有关概念 (1)不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、 ≥、≤、≠连接两个数或代数式来表示它们之间的不等关系,含有这些不等 号的式子,叫做不等式. (2)不等式的分类 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边,或每一个的左边都小于右 边,这样的两个不等式叫做同向不等式;在两个不等式中,如果一个不等式的 左边大于右边,而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫做异 向不等式
(3)关于a≤b和a≥b的含义 ①不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者ab,若者a=b”,等价于 “a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确. (4)用不等式表示不等关系 ①在现实生活中,存在着许许多多的不等关系,在数学中,我们用不等式来表示这样 的不等关系 例如:限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 40km/h,写出不等式就是v≤40 ②文字语言与数学符号之间的转换,将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注 意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否 正确地用不等式表示出不等关系
(3)关于a≤b和a≥b的含义 ①不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者ab,若者a=b”,等价于 “a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确. (4)用不等式表示不等关系 ①在现实生活中,存在着许许多多的不等关系,在数学中,我们用不等式来表示这样 的不等关系. 例如:限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 40 km/h,写出不等式就是v≤40. ②文字语言与数学符号之间的转换,将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注 意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否 正确地用不等式表示出不等关系
③常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言大于,高小于,低 大于等于, 小于等于, 于,超过于,少于至少,不低于至多,不超过 符号语言 ≥ ≤
③常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于,高 于,超过 小于,低 于,少于 大于等于, 至少,不低于 小于等于, 至多,不超过 符号语言 > < ≥ ≤
【知识拓展】利用不等式(组表示实际问题中的不等关系 (1)在用不等式组表示不等关系时应注意必须是具有相同性质可以进行 比较时才可用没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式组)来表示 另外在用不等式(组)表示实际问题时一定要注意单位的统一 (2)用不等式表示不等关系的方法 ①认真申题设出所求量并确认所求量满足的不等关系 ②找出体现不等关系的关键词至少、至多、不少于、不多于、超过、不 超过等用代数式表示相应各量并用关键词连接特别需要考虑的是≤、≥ 中的“=”能否取得. (3)注意变量的实际意义 体积、面积、长度、质量、时间等均为非负实数
【知识拓展】 利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 (1)在用不等式(组)表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以进行 比较时,才可用,没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示. 另外,在用不等式(组)表示实际问题时一定要注意单位的统一. (2)用不等式表示不等关系的方法 ①认真审题,设出所求量,并确认所求量满足的不等关系; ②找出体现不等关系的关键词:至少、至多、不少于、不多于、超过、不 超过等,用代数式表示相应各量,并用关键词连接,特别需要考虑的是≤、≥ 中的“=”能否取得. (3)注意变量的实际意义 体积、面积、长度、质量、时间等均为非负实数
2比较实数大小的依据 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的 数比左边的点表示的数大.由实数减法在数轴上的表示(如图所示),可以看 出a,b之间具有以下性质: B A(B) a(6 如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是负数,那么 a0台a>b;a-b=0台a=b;a-b<0台a<b
2.比较实数大小的依据 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的 数比左边的点表示的数大.由实数减法在数轴上的表示(如图所示),可以看 出a,b之间具有以下性质: 如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是负数,那么 a0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b
【知识拓展】比较两个实数大小的方法 (1)作差法对于两个实数ab如果a-b是正数那么a>b如果a-b是负数那 么a0÷a>b;a-b=0÷a b:a-b1,那么a>b;如果b; 1台a<b
【知识拓展】 比较两个实数大小的方法 (1)作差法:对于两个实数a,b,如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b是负数,那 么a0⇔a>b;a-b=0⇔a =b;a-b1,那么 a>b;如果 a b 1⇔a>b; a b =1⇔a=b; a b < 1⇔a<b
用表格表示为 作差比较法 作商比较法 乘方比较法 a>0,b>0 a1a>b >1台a0sa>b a>b 依a-b=0÷a=b 据 且a>0,b>0 1台→a=b 1÷a=b a-bb 〈1台→ab b
用表格表示为 作差比较法 作商比较法 乘方比较法 a-b>0⇔a>b a-b=0⇔a=b a-b0,b>0 a b >1⇔a>b a b =1⇔a=b a b 1⇔ab a 2 >b2 , 且 a>0,b>0 ⇔a>b
应若数(式的符号不 用 同号两数北较大小或指要比较的两数(式) 范明显作差后可化为 围 数式之间比较大小 中有根号 积商的式 (1)作差; (1)作商 步 (1)乘方; (2)变形 (2)变形 (3判断符号; (3)判断商值与1的大小 (2)用作差比较法或 作商比较法 (4)下结论 (4)下结论
若数(式)的符号不 明显,作差后可化为 积商的形式 同号两数比较大小或指 数式之间比较大小 要比较的两数(式) 中有根号 (1)作差; (2)变形; (3)判断符号; (4)下结论 (1)作商; (2)变形; (3)判断商值与1的大小; (4)下结论 (1)乘方; (2)用作差比较法或 作商比较法