一元二次不等式及其解法(第二课时) 教学目标: (1)理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系 (2)熟练掌握一元二次不等式的解法 (3)掌握含参数的一元二次不等式的解法及简单的不等式中的恒成立问题的解题方法 (4)培养学生数形结合的能力,分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能 教学重难点: 1、一元二次不等式的解法 2、含参数的一元二次不等式以及不等式中的恒成立问题. 教学过程: 复习回顾,引入新课 1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么? A=b--4ac △>0 △=0 A0 的图象 ax2+bx+c=0a>0/不相等的两实根相等的两实根无实根 的根 x2(x10(a>0 rxrx2 的解集 ax+bx+c0 的解集
一元二次不等式及其解法（第二课时） 教学目标： （1）理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系. （2）熟练掌握一元二次不等式的解法. （3）掌握含参数的一元二次不等式的解法及简单的不等式中的恒成立问题的解题方法. （4）培养学生数形结合的能力，分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能 力； 教学重难点： 1、一元二次不等式的解法. 2、含参数的一元二次不等式以及不等式中的恒成立问题. 教学过程： 一、复习回顾，引入新课 1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么？ b 4ac 2 = − 0 = 0 0 ( 0) 2 y = ax +bx + c a 的图象 0( 0) 2 ax +bx + c = a 的根 不 相 等 的 两 实 根 1 x ) 、x（2 x1 x2 相等的两实根 a b x x 2 1 = 2 = − 无实根 0( 0) 2 ax +bx + c a 的解集 x x x1或x x2 − a b x x 2 R 0( 0) 2 ax +bx + c a 的解集 Ø Ø
2、解一元二次不等式的基本步骤是什么? (1)化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c0) (2)求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 (3)画出函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像。 (4)由图像找出不等式的解集 即:转化、求根、画图、找解 二、讲授新课: 例题1.一元二次不等式的解法: 解不等式:3x2-7x≤10 教师展示做题步骤 解:原不等式可化为:3x2-7x-10≤0 因为3x2-7x-10=0的两根分别为x=-1、x2≈10 所以原不等式的解集为{x-1≤x≤ 变式训练:解下列不等式 (1)-2x2+4x-40 因为△=(-2)2-4x2=-40 因为2x2-x-3=0的两根分别为x=-1、x2=3
2、解一元二次不等式的基本步骤是什么？ （1）化不等式为标准形式： 0( 0) 2 ax + bx + c a 或 0( 0) 2 ax + bx + c a 。 （2）求方程 0( 0) 2 ax + bx + c = a 的根。 （3）画出函数 ( 0) 2 y = ax +bx + c a 的图像。 （4）由图像找出不等式的解集。 即：转化、求根、画图、找解。 二、讲授新课： 例题 1. 一元二次不等式的解法： 解不等式： 3 7 10 2 x − x 教师展示做题步骤： 解：原不等式可化为： 3 7 10 0 2 x − x − 因为 3 7 10 0 2 x − x − = 的两根分别为 x1 = −1、 3 10 x2 = 所以原不等式的解集为 − 3 10 x 1 x 变式训练：解下列不等式： （1） 2 4 4 0 2 − x + x − （2） 2 3 2 − x + x − 学生演板： （1） 解：原不等式可化为： 2 2 0 2 x − x + 因为 ( 2) 4 2 4 0 2 = − − = − 所以原不等式的解集为 Ø 学生复述做题过程： （2）解：原不等式可化为： 2 3 0 2 x − x + 因为 2 3 0 2 x − x − = 的两根分别为 1 x1 = − 、 2 3 x2 =
所以原不等式的解集为 例题2.已知解集,求参数的取值或取值范围。 于x的不等式x+ax+b0的解集为{xb},求a、b 值 学生先讨论,再做题,并复述做题过程 解:由题意可知:ax2-3x+2=0的两根分别为:x1=1、x2=b 并且a>0 由根与系数的关系得 3 所以a=1,b=2 例题3.不等式中的恒成立问题 师生共同参与 例题:如果关于x的不等式:(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R,求实数a的 取值范围. 解:当a=2时,原不等式可化为:-4<0,恒成立 当a≠2时,应满足 △=4a-2)+16a-2)<0 4-2<a< 综上:实数a的取值范围为{-2<x≤2
所以原不等式的解集为 − 3 10 x x 1或x 例题 2. 已知解集，求参数的取值或取值范围。 关于 x 的不等式 0 2 x + ax + b 的解集为 x1 x 2 ，则 a +b = 。 师生共同参与： 解：由题意可知：方程 0 2 x + ax + b = 的两根分别为 x1 =1、 x2 = 2 由根与系数的关系可得： 1+2 = −a，12 = b 所以 a = −3，b = 2 变式训练：关于 x 的不等式 3 2 0 2 ax − x + 的解集为 x x 1或x b ，求 a 、b 的 值。 学生先讨论，再做题，并复述做题过程： 解：由题意可知： 3 2 0 2 ax − x + = 的两根分别为： x1 =1 、 x2 = b 并且 a 0 由根与系数的关系得： a b 3 1+ = ， a b 2 1 = 所以 a =1 ，b = 2 . 例题 3. 不等式中的恒成立问题。 师生共同参与： 例题：如果关于 x 的不等式： ( 2) 2( 2) 4 0 2 a − x + a − x − 的解集为 R，求实数 a 的 取值范围. 解：当 a = 2 时，原不等式可化为：−4 0 ，恒成立； 当 a 2 时，应满足： = − + − − 4( 2) 16( 2) 0 2 0 2 a a a 即 a −2 a 2 综上：实数 a 的取值范围为 a −2 x 2
备用练习:不等式mx2-4x+1>0的解集为R,求m的取值范围 学生演版,并找其他同学进行评价: 解:当m=0原不等式可化为:-4x+1>0与题意不符 m> 当m≠0应满足: △=(-4)2-4m4 故m的求取值范围为{m>4 三、课堂小结: 1、一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 2、解一元二次不等式的一般步骤: 3、一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系的应用 4、与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法。 四、布置作业 1、必做题解下列不等式: (1) 2、选做题 (1)若函数y=Vmx-4x+1对一切X∈R都有意义,求m的取值范围 (2)若函数y=kog2(mnx-4x+)的定义域为R,求m的取值范围 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出 了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。读大海,读出了它气势磅礴 的豪情。读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂:幸福是“春种一粒粟,秋收 千颗子”的收获.幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏, 疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨 声,花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。幸福是“壮 志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐” 的胸怀。幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节
备用练习：不等式 4 1 0 2 mx − x + 的解集为 R,求 m 的取值范围 。 学生演版，并找其他同学进行评价： 解：当 m = 0 原不等式可化为： −4x+1 0 与题意不符； 当 m 0 应满足： = − − ( 4) 4 0 0 2 m m 解得： m 4 故 m 的求取值范围为 mm 4 三、课堂小结： 1、一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系； 2、解一元二次不等式的一般步骤； 3、一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系的应用； 4、与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法。 四、布置作业： 1、必做题 解下列不等式： （1） 3 4 0 2 − x + x + （2） 2 3 2 − x + x − 2、选做题 （1）若函数 4 1 2 y = mx − x + 对一切 xR 都有意义，求 m 的取值范围。 （2）若函数 log ( 4 1) 2 y = 2 mx − x + 的定义域为 R，求 m 的取值范围。 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出 了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴 的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收 千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏， 疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨 声，花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮 志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐” 的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节
3、大自然的语言丰富多彩:从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列 中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中, 我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。鲜花,如果害怕凋谢,那 它永远不能开放。矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。蜡 烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。航船,如果害怕风浪,那它永远不能 到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便 窄了。笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。山中的石!当你背靠群峰时,意志就 坚了。水中的萍!当你随波逐流后,根基就没了。空中的鸟!当你展翅蓝天中,宇宙就 大了。空中的雁!当你离开队伍时,危险就大了。地下的煤!你燃烧自己后,贡献就大 6、朋友是什么? 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股 春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳 光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。一块铀块, 可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。一个人,可以碌碌无 为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青舂是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的 热血;青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们 的智慧和心灵
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列 中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中， 我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。鲜花，如果害怕凋谢，那 它永远不能开放。矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。蜡 烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。航船，如果害怕风浪，那它永远不能 到达彼岸。 5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便 窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就 坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就 大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大 了 6、朋友是什么？ 朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股 春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳 光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。 一块铀块， 可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。一个人，可以碌碌无 为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的 热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们 的智慧和心灵