33.1二元一次不等式(组) 与平面区域
3.3.1二元一次不等式（组） 与平面区域
新课引入 一家银行的信贷部计划年初投入250000 于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来300 元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款 中获益10%,那么,信贷部应该如何分配资金呢? 这个问题中存在一些不等关系,我们应该用什 么不等式模型来刻画它们呢?
一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用 于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30000 元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款 中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？ 这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什 么不等式模型来刻画它们呢？ 新课引入
设用于企业贷款的资金 田王个人岱款的 资金为y元则 含有两个未知数,并且 未知数的次数是1次的不等 xy≤250000 式称为二元一次不等式 由于预计企业贷款创收1∠,个人员凹叹, 共创收30000元以上,所以 (12%)x+(10%)y≥3000② 即 12x+10y≥3000000 显然用于企业贷款和个人贷款的资金额都不 能是负值,于是x≥0,y≥0
设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的 资金为y元.则 x+y≤25000000 ① 由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%， 共创收30000元以上，所以 （12%）x+（10%）y ≥ 30000 ② 即 12x+10y≥3000000 显然用于企业贷款和个人贷款的资金额都不 能是负值，于是 x≥0，y≥0 ③ 含有两个未知数，并且 未知数的次数是1次的不等 式称为二元一次不等式
将①②③合在一起,得到分配资金应该满足的条件: x+y<25000000 12x+10y≥3000000 x≥0 J≥0 我们把由几个二元一次不等 式组成的不等式组称为二元 次不等式组
将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件： + + 0 0 12 10 3000000 25000000 y x x y x y 我们把由几个二元一次不等 式组成的不等式组称为二元 一次不等式组
我们不妨先研究一个具体的二元一次不等式xy6 的解集所表示的图形 在平面直角坐标系中, x-y=6表示一条直线,平面内 X-V=6 的所有的点被直线xy=6分成 类: 1)在直线xy=6上的点; 2)在直线xy=6左上方的区 域内的点; 3)在直线xy=6右下方的区 域内的点
1) 在直线x-y=6上的点； 2) 在直线x-y=6左上方的区 域内的点； 3) 在直线x-y=6右下方的区 域内的点. O x y 6 6 x-y=6 在平面直角坐标系中， x-y=6表示一条直线，平面内 的所有的点被直线x-y=6分成 三类： 我们不妨先研究一个具体的二元一次不等式x-y<6 的解集所表示的图形
平面区域的一般结论: 元一次不等式ax+by+>0 在平面直角坐标系中表示直线 ax+by+c=0某一侧所有点组成的 平面区域,为表示区域不包括边 界,我们把直线画成虚线; X-y-6>0 x-y-620 二元一次不等式ax+by+c≥0在 平面直角坐标系中表示的平面区域 包括边界,把边界画成实线
二元一次不等式 ax+by+c>0 在平面直角坐标系中表示直线 ax+by+c=0 某一侧所有点组成的 平面区域，为表示区域不包括边 界，我们把直线画成虚线； 平面区域的一般结论： 二元一次不等式ax+by+c≥0在 平面直角坐标系中表示的平面区域 包括边界，把边界画成实线. 6 6 x-y-6>0 O x y x-y-6≥0
如何判断二元一次不等式表示哪个平面区域? 直线定界,特殊点(原点)定城 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+G所 得实数的符号都相同,只需在直线的某一侧任取 点(xo,y0),根据Ax+By+的正负即可判断Ax+By+0>0表 示直线的哪一侧区域, G≠0时,常把原点作为测试点; 当C=0时,常取(1,0)或(0,1)作为测试点
如何判断二元一次不等式表示哪个平面区域？ 直线定界，特殊点（原点）定域 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所 得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一 点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表 示直线的哪一侧区域， C≠0时，常把原点作为测试点； 当C=0时，常取（1，0）或（0,1）作为测试点
题型一二元一次不等式表示的平面区域 例1画出不等式x+4y4表示的平面区域 解:先作出边界直线x+4y=4, y 并画成虚线 取原点(0,0)代入x+4 4,因为0+4×0-4=-4<0 x+4y-4=0 所以原点(0,0)在x+4y 4 4<0表示的平面区域内,不等 式x+4y<4表示的区域如图所 +4y<4 (在直线x+4y4的左下方)
题型一二元一次不等式表示的平面区域 例1 画出不等式x+4y<4表示的平面区域. O x 解：先作出边界直线 y x+4y=4, 并画成虚线. 取原点（0，0）代入x+4y- 4，因为 0+40-4=-4<0 所以原点（0，0）在x+4y- 4<0表示的平面区域内，不等 式x+4y<4表示的区域如图所示 （在直线x+4y=4的左下方） x+4y-4=0 4 1 x+4y<4
变式训练画出不等式2xy-4≤0表示的平面区域 解:先画出直线2x+y-4=0,根据题意画成实线 取原点(0,0)代入2Xy-4 得2×0+0-4--4<0, y 所以原点在不等式2x+y-4 ≤0所表示的区域内 2X+y-4=0 X
变式训练 画出不等式2x+y-4≤0表示的平面区域. O x y 2 4 2x+y-4=0 解：先画出直线2x+y-4=0，根据题意画成实线 取原点（0，0）代入2x+y-4 得 20+0-4=-4<0， 所以原点在不等式2x+y-4 ≤0所表示的区域内
题型二二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等 式表示的平面区域的交集,即各个不等式表示的平 面区域的公共部分 例2画出不等式组 x+y=05 Xy+5=0 x-y+5≥0 x+y≥0 x<3 oN 3 表示的平面区域 x-3
题型二 二元一次不等式组表示的平面区域 例2 画出不等式组 表示的平面区域. + − + 3 0 5 0 x x y x y O x y 3 5 x-y+5=0 x+y=0 x=3 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等 式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平 面区域的公共部分