课题:§3.4基本不等式√b≤2+b 第1课时 授课类型:新授课 【学习目标】 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定 理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力,辨证地分析问题的能力,学以致用的能力,分析问题 解决问题的能力。 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式√aba+b的证明过程 【教学难点】 基本不等式√ab≤+b等号成立条件 【板书设计】 课题:§3.4基本不等式√ab≤ a+b (第1课时) 1.深题导入 2.讲授新课 3.随堂练习 基本不等式√b≤“的几1问题探究—探究 何背景: 图是在我京召开的第图形中的不等关系 24界国际数学家大会的会标 4.课时小结 会标是根据中国古代数学家 2.总结结论: 赵爽的弦图设计的,颜色的明 暗使它看上去象一个风车代|3.思考证明:你能给 表中国人民热情好客。你能在 5、舵力提高 这个图案中找出一些相等关 出它的证明吗? 系或不等关系吗? [补充例题 教师引导学生从面积 的关系去找相等关系或不 等关系
课题: §3.4 基本不等式 2 a b ab + 第 1 课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定 理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、 解决问题的能力。 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 2 a b ab + 的证明过程； 【教学难点】 基本不等式 2 a b ab + 等号成立条件 【板书设计】 课题: §3.4 基本不等式 2 a b ab + （第 1 课时） 1.课题导入 基本不等式 2 a b ab + 的几 何背景： 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标， 会标是根据中国古代数学家 赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去象一个风车，代 表中国人民热情好客。你能在 这个图案中找出一些相等关 系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积 的关系去找相等关系或不 等关系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究 图形中的不等关系。 2．总结结论： 3．思考证明：你能给 出它的证明吗？ [补充例题] 3.随堂练习 4.课时小结 5、能力提高
【教学过程】 1.深题导入 基本不等式√b≤2的几何背景 M2002 2 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风 车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 re2028.200 系 2.讲授新课 1.问题探究——探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为ab那么正方形的边长为√a+b2。这样,4个直角三角形的面积的 和是2ab,正方形的面积为a2+b2。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们 就得到了一个不等式:a2+b2≥2ab。 当直角三角形变为等腰直角三角形,即ab时,正方形EFG缩为一个点,这时有 a2+b=2ab。 2.总结结论:一般的,如果a,b∈R那么a2+b22ab(当且仅当a=硎时取"=号) 结论的得出尽量发挥学生自主能动性,让学生总结,教师适时点拨引导。 3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证明:因为 +b2-2ab=(a-b) 当a≠树,(a-b)2>0,当a=研时,(a-b)2=0, 所以,(a-b)2≥0,即(a2+b2)≥2ab
【教学过程】 1.课题导入 基本不等式 2 a b ab + 的几何背景： 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 2 2 a b + 。这样，4 个直角三角形的面积的 和是 2ab，正方形的面积为 2 2 a b + 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们 就得到了一个不等式： 2 2 a b ab + 2 。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时有 2 2 a b ab + = 2 。 2．总结结论：一般的，如果 , R, 2 ( " " ) a b 那么a 2 + b 2 ab 当且仅当a = b时取 = 号 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 2 2 a + b − 2ab = (a − b) 当 2 2 a b a b a b a b − = − = 时, ( ) 0, , ( ) 0, 当 时 所以， ( ) 0 2 a − b ，即 ( ) 2 . 2 2 a + b ab
a+b 4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式a 特别的,如果a>0b>0,我们用分别代替a、b,可得a+b≥2√ab, 通常我们把上式写作:ab≤a+b(a>0 2 2)从不等式的性质推导基本不等式√ab≤ 用分析法证明 a+b 要证 只要证 a+b≥ 要证(2),只要证 要证(3),只要证 (4) 显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。 3)理解基本不等式√ab≤2+的几何意义 探究:课本第110页的“探究” 在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BCb。 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图 形得出基本不等式ab≤+的几何解释吗? 易证Rt△ ACD Rt△DCB那么CD=CA·CB 即CD=√ab 这个圆的半径为+b ,显然,它大于或等于m即+b 其中当且仅当点C与 2 圆心重合,即a=b时,等号成立 因此:基本不等式√ab≤2+b几何意义是“半径不小于半弦” 评述:1.如果把只看作是正数ab的等差中项,√ab看作是正数ab的等比中项, 那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 2在数学中,我们称口+b为a、b的算术平均数,称√ab为ab的几何平均数本 节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 [补充例题] 例1已知x、y都是正数,求证: y, x
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式 2 a b ab + 特别的，如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ，可得 a b ab + 2 ， 通常我们把上式写作： (a>0,b>0) 2 a b ab + 2）从不等式的性质推导基本不等式 2 a b ab + 用分析法证明： 要证 2 a b ab + (1) 只要证 a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3） 要证（3），只要证 （ - ） 2 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当 a=b 时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式 2 a b ab + 的几何意义 探究：课本第 110 页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上的一点，AC=a,BC=b。 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连接 AD、BD。你能利用这个图 形得出基本不等式 2 a b ab + 的几何解释吗？ 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD 2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ ab . 这个圆的半径为 2 a + b ，显然，它大于或等于 CD，即 ab a b + 2 ，其中当且仅当点 C 与 圆心重合，即 a＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式 2 a b ab + 几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把 2 a + b 看作是正数 a、b 的等差中项， ab 看作是正数 a、b 的等比中项， 那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称 2 a + b 为 a、b 的算术平均数，称 ab 为 a、b 的几何平均数.本 节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例 1 已知 x、y 都是正数，求证： (1) y x x y + ≥2；
(2)(xy)(x+y2)(x+p)≥8x 分析:在运用定理: a+b ≥√ab时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把 握好每条性质成立的条件),进行变形 解:∵x,y都是正数x>0,2>0,>0,少>0,z>0,y0 (1)+2≥2 2即+≥2 Vyx (2)x+y≥2√xy>0 x+y≥2√x2y2>0 x+y≥2√xy x+)(计+y)(x+y)≥2x·2x2y2·2xy3=8 即(x+y)(+y2)(x+y)≥8xy 3.随堂练习 1.已知a、bc都是正数,求证 (a+b(b+c)(c+a)>8 abc 分析:对于此类题目,选择定理:口+b≥√ab(a>0,b>0)灵活变形,可求得结 果 解:∵a,b,c都是正数 ∴a+b≥2√ab>0 b+c≥2√bc>0 c+a≥2√ac>0 (a+b)(bc)(a+a)≥2√ab·2√bc·2√ac=8ab 即(a+b)(bc)(c+a)≥8abc 4.课时小结 本节课,我们学习了重要不等式a+b≥2ab两正数a、b的算术平均数(qb a+b 几何平均数(√ab)及它们的关系( 2=√ab).它们成立的条件不同,前者只要求a b都是实数,而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值 的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决 b2 b≤ b≤
(2)（x＋y）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3 y 3 . 分析：在运用定理： ab a b + 2 时，注意条件 a、b 均为正数，结合不等式的性质(把 握好每条性质成立的条件)，进行变形. 解：∵x，y 都是正数 ∴ y x ＞0， x y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 (1) x y y x x y y x + 2 ＝2 即 x y y x + ≥2. (2)x＋y≥2 xy ＞0 x 2＋y 2≥2 2 2 x y ＞0 x 3＋y 3≥2 3 3 x y ＞0 ∴（x＋y）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2 xy ·2 2 2 x y ·2 3 3 x y ＝８x 3 y 3 即（x＋y）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3 y 3 . 3.随堂练习 1.已知 a、b、c 都是正数，求证 （a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理： ab a b + 2 （a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结 果. 解：∵a，b，c 都是正数 ∴a＋b≥2 ab ＞0 b＋c≥2 bc ＞0 c＋a≥2 ac ＞0 ∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2 ab ·2 bc ·2 ac ＝８abc 即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc. 4.课时小结 本节课，我们学习了重要不等式 a 2＋b 2≥2ab；两正数 a、b 的算术平均数（ 2 a + b ）， 几何平均数（ ab ）及它们的关系（ 2 a + b ≥ ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求 a、 b 都是实数，而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值 的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问 题：ab≤ 2 2 2 a + b ，ab≤（ 2 a + b ） 2