3.4基本不等式√bsa+b 第一课时
第一课时 3.4 基本不等式 2 a b ab +
可题提出 1.不等式有许多基本性质,同时还有 些显而易见的结论,如a2≥0,|a≥0, a≥a等,这些性质都是研究不等式问 题的理论依据.在实际应用中,我们还需 要有相应的不等式原理
问题提出 1.不等式有许多基本性质，同时还有一 些显而易见的结论，如a 2≥0，|a|≥0， |a|≥a等，这些性质都是研究不等式问 题的理论依据.在实际应用中，我们还需 要有相应的不等式原理
2.如图是在北京召开的第24界国际数 学家大会的会标,它是根据中国古代数 学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使 它看上去象一个风车,代表中国人民热 情好客.在这个图案中既有一些相等关系 也有一些不等关系, IcM2002这 些等与不等的关系, 我们作些相应研究 AuN20782002
2.如图是在北京召开的第24界国际数 学家大会的会标，它是根据中国古代数 学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使 它看上去象一个风车，代表中国人民热 情好客.在这个图案中既有一些相等关系， 也有一些不等关系， 对这 些等与不等的关系， 我们作些相应研究
基木三式原理 及变通
探究(一):基本不等式的原理 将图中的“风车” ICM 2002 抽象成如图,在正方形 ABCD中有4个全等的直角 三角形.设直角三角形的 Asnt2028200 两条直角边长为a,b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 D 分别为多少? C A Va2- 2 tb ab B
探究（一）:基本不等式的原理 |a－b | 2 2 a b + 2 2 a b + 思考1：将图中的“风车” 抽象成如图，在正方形 ABCD中有4个全等的直角 三角形.设直角三角形的 两条直角边长为a，b那么 正方形ABCD和EFGH的边长 分别为多少？ A B C D E F G H
图中正方形ABCD的面积与4个直 角三角形的面积之和有什么不等关系? 由此可得到一个什么不等式?D a2b2≥2ab 从图形分析,上述不等式在什么 情况下取等号? 当直角三角形为等腰直角三角形,即 a=b时,。a3+b2=2ab
思考2：图中正方形ABCD的面积与4个直 角三角形的面积之和有什么不等关系？ 由此可得到一个什么不等式？ a 2＋b 2≥2ab 思考3：从图形分析,上述不等式在什么 情况下取等号？ 当直角三角形为等腰直角三角形，即 a＝b时， a 2＋b 2＝2ab. A B C D E F G H
在上面的图形背景中,a,b都是 正数,那么当a,b∈R时,不等式 a2+b2≥2ab成立吗?为什么?D 般地,对于任意实数a,b,有 a2+b2≥2ab,当且仅当=b时等号成立
思考4：在上面的图形背景中，a，b都是 正数，那么当a，b∈R时，不等式 a 2＋b 2≥2ab成立吗？为什么？ 一般地，对于任意实数a，b，有: a 2＋b 2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立. A B C D E F G H
特别地,如果a>0,b>0,我们 用√a、√b分别代替a、b,可得什么不 等式? a+b≥2√ab a+b ≥√ab(a>0,b>0) 2 当且仅当a=b时等号成立
思考5：特别地，如果a＞0，b＞0，我们 用 、 分别代替a、b ，可得什么不 等式? 当且仅当a＝b时等号成立. a a b a b ab + 2 ( >0, >0) 2 a b ab a b +
6不等式a+b≥√ab(c0.b>0) 称为基本,它沟通了两个正数的 和与积的不等关系,在实际问题中有广 泛的应用,你能用分析法证明吗?
a 思考6：不等式 称为基本不等式，它沟通了两个正数的 和与积的不等关系，在实际问题中有广 泛的应用，你能用分析法证明吗？ ( >0, >0) 2 a b ab a b +
a+ b a+ b 我们称 和Vb分别为a, 2 b的算术平均数和几何平均数,如何用 文字语言表述基本不等式? 两个正数的算术平均数不小于它们的 何平均数
思考7：我们称 和 分别为a， b的算术平均数和几何平均数，如何用 文字语言表述基本不等式？ 两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数. 2 a b + 2 a b + ab