第三章不等式 53.4基本不等式:vab≤ a+b 2
第三章 不等式
学习目标 1.熟练掌握基本不等式并会证明 2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 问题导学题型探究归纳总结
1.熟练掌握基本不等式并会证明. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 问题导学 题型探究 归纳总结 学习目标
学问题导学1 ICM 2002 该图是在北京召开的 第24界国际数学家大会的 会标,会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计 的,颜色的明暗使它看上 去象一个风车,代表中国 人民热情好客。 seijing 你能在这个图案中找 Asnt2028200 出一些相等关系或不等关 系吗?
该图是在北京召开的 第24界国际数学家大会的 会标，会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计 的，颜色的明暗使它看上 去象一个风车，代表中国 人民热情好客。 你能在这个图案中找 出一些相等关系或不等关 系吗？ 问题导学1：
1、正方形ABcD的面积 tb b s=a+6 G C2、四个直角三角形的 A 面积和 E 2ab 3、S与S有怎样的不 等关系? B S>S 那么它们有相等的情况吗?+b2>2aba
A D C B H F G a E b 2 2 a +b 2 2 a + b 1、正方形ABCD的面积 S=＿＿＿＿＿ ２、四个直角三角形的 面积和 S’ =＿＿2ab ３、S与S’有怎样的不 等关系？ S>S′ 那么它们有相等的情况吗？ 2 2 a + b > 2ab (a≠b)
atb F C A E(FGH) C E H B a+b>2ab(a#b) a2+b2-2ab(a=by 猜想:一般地,对于任意实数a、b,我们有 +b2≥2ab 当且仅当a=b时,等号成立
A D B C E F G H b a 2 2 a b + 猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 2 2 a b ab + 2 A B C D E(FGH) a b 2 2 a + b > 2ab 2 2 (a≠b) a + b ＝ 2ab (a＝b)
思考:你能给出不等式a2+b2≥2ab的证明吗? 证明:(作差法)a2+b2-2ab=(a-b) 当a≠砂时(a-b)2>0 当a=b时(a-b)2=0 所以a-b)2≥0 所以a2+b2≥2ab
思考：你能给出不等式 的证明吗？ a b 2ab 2 2 + − ( ) 0 2 a − b ( ) 0 2 a − b = 2 所以( ) 0 a b − ≥ 2 2 所以a b ab + ≥2 . 当a b时 当a = b时 2 2 a b ab + ≥2 证明：（作差法） 2 = (a −b)
重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,总有 a2+b2≥2ab 当且仅当a=b时,等号成立 适用范围:a,b∈R
重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立 2 2 a b ab + ≥2 适用范围： a,b∈R
问题一如果a>0,b>0我们用√a,b分别代替a,b 可得到什么结论? 替换后得到:(√a)2+(√b)≥2√a√b 即:a+b≥2√ab a+b PNab(a>0, b>0)
如果a b a b a b 0, 0, , , , 我们用 分别代替 可得到什么结论？ 2 2 ( ) ( ) 2 a b a b + ≥ 2 a b ab + ≥ 替换后得到： 即： (a 0, b 0) 即： a b ab + ≥2 问题一
问题二你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗? 证明:要证 a+ ab 分 只要证a+b≥ 2 析 ab 法 要证①,只要证a+b-2b≥0 ② (a>0,b>0,a=(a)2,b=(√6)2) 要证②,只要证 b)2≥0 显然,③是成立的当且仅当a=b时,③中的等号成立
2 a b ab + 证明：要证 ≥ 只要证 a b + ≥ _______ ① 要证①，只要证 a b + − _____ 0 ≥ ② 要证②，只要证 2 (___ ___) 0 − ≥ ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分 析 法 2 2 ( 0, 0, ( ) , ( ) ) a b a a b b = = 2 ab2 ab a b 问题二 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？
基本不等式定义 若>0,b0,则a+b≥2√ab 通常我们把上式写作:Vab≤(a>0,b>0) 2 当且仅当b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式 适用范围:a>0,b>0
若a>0，b>0，则 a b ab + _____ 2 ≥ 通常我们把上式写作： ( 0, 0) 2 a b ab a b + ≤ 当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 基本不等式定义 适用范围： a>0,b>0