211数列的概念与简单表示法 教学目标 (1)了解数列的概念 通过实例,引入数列的概念,并理解数列的顺序性,感受数列是刻画自然 规律的数学模型。同时了解数列的几种分类 (2)了解数列是一种特殊的函数 了解数列是一类离散函数,体会数列之间的变量依赖关系,了解数列与函 数之间的关系。 二、教学重点与难点 (1)教学重点: 了解数列的概念,以及数列是一种特殊函数,体会数列是反映自然规律的 数学模型 (2)教学难点: 将数列作为一种特殊函数去认识,了解数列与函数之间的关系 、教学过程 创设情境,实例引入 1、引导学生观察P26章节前的知识背景图片,构建自然现象中体现出的数的规 律。 留下问题思考:你能发现下面这一列数的规律吗 1,1,2.,3,5,8,13,21,34,55,89, (我们先一起来观察一下课本P26的这幅大图,大家来数数这些花各有几片花 瓣。我们发现,第一朵花有3片花瓣,第二朵花有5片花瓣,第三朵花有8片花 瓣,第四朵花有13片花瓣。。那大家来观察一下书上的那一组数:1,1,2.,3, 5,8,13,21,34,55,89,,你能发现它们有什么规律吗?带着这个问题,我 们要来探讨一个有关数的新问题。) 2、引导学生观察课本P28的两幅图-三角形数与正方形数,进而引出数列的概念。 (大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明,它的数学文化同样值得我们去探究 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点 或用小石子来表示数,书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分,即三角形 数与正方形数。大家一起来观察一下,在三角形数这幅图中每个图形分别对应着 数1,3,6,10.,而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数1,4,9,16., 大家能发现它们的共同特点吗?每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什 么联系呢?这样的一组数我们在数学上称之为数列。现在我们一起来认识这个全 新的概念:数列。) 讲授新课
2.1.1 数列的概念与简单表示法 一、教学目标 （1）了解数列的概念 通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然 规律的数学模型。同时了解数列的几种分类。 （2）了解数列是一种特殊的函数 了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函 数之间的关系。 二、教学重点与难点 （1）教学重点： 了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的 数学模型。 （2）教学难点： 将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。 三、教学过程 创设情境，实例引入 1、引导学生观察 P26 章节前的知识背景图片，构建自然现象中体现出的数的规 律。 留下问题思考：你能发现下面这一列数的规律吗 1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,... （我们先一起来观察一下课本 P26 的这幅大图，大家来数数这些花各有几片花 瓣。我们发现，第一朵花有 3 片花瓣，第二朵花有 5 片花瓣，第三朵花有 8 片花 瓣，第四朵花有 13 片花瓣。。。那大家来观察一下书上的那一组数：1，1，2.，3， 5，8，13，21，34，55，89,...，你能发现它们有什么规律吗？带着这个问题，我 们要来探讨一个有关数的新问题。） 2、引导学生观察课本 P28 的两幅图-三角形数与正方形数，进而引出数列的概念。 （大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明，它的数学文化同样值得我们去探究。 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点 或用小石子来表示数，书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分，即三角形 数与正方形数。大家一起来观察一下，在三角形数这幅图中每个图形分别对应着 数 1，3，6，10....，而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数 1，4，9，16...， 大家能发现它们的共同特点吗？每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什 么联系呢？这样的一组数我们在数学上称之为数列。现在我们一起来认识这个全 新的概念：数列。） 讲授新课
(1)数列( sequence of number):按照一定顺序排列着的一列数 (2)项:数列中的每一个数称为这个数列的项 (我们知道,由数列的概念进行解读,数列是按照一定顺序排列起来的一组数, 故而数列中的每一项都和它的序号有关。) 我们称排在第一位的数为这个数列的第一项或首项,称排在第二位的数为这个数 列的第二项,,(以此类推)称排在第n位的数为这个数列的第n项 (3)数列的一般形式 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,an简记为{an} (4)数列的分类 (我们可以按照数列的特点进行适当地分类。) 1、按照数列的项数进行分类 项数有限的称为有穷数列 项数无限的称为无穷数列 2、按照数列中数的大小特点进行分类 每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列 各项相等的数列称为常数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列称为摆动数 (现在我们根据数列的分类来判断一下课本P28的几个数列是属于哪一类数列) 练习P28-观察 (5)数列与函数的关系 (我们再来观察一下数列的特点,大家是否有发现数列中的数与它所对应的序 列号的关系呢?大家是否可以联想到从前学习的某些内容呢?提问学生。) 事实上,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,。。,n})为 定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列 函数值 对于函数y=f(x),如果∫()(i=1,2,3.)有意义,那我们就可以得到一个数列 f(1),f(2).f(3),f(m) (6)通项公式 (在上节课的学习中,我们一同认识了数列这个新的数学概念,得知可以将其定 义为一种特殊的函数,在此基础上,我们可以这样提出:) 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公
（1）数列（sequence of number）：按照一定顺序排列着的一列数 （2）项：数列中的每一个数称为这个数列的项 （我们知道，由数列的概念进行解读，数列是按照一定顺序排列起来的一组数， 故而数列中的每一项都和它的序号有关。） 我们称排在第一位的数为这个数列的第一项或首项，称排在第二位的数为这个数 列的第二项，...，（以此类推）称排在第 n 位的数为这个数列的第 n 项。 （3）数列的一般形式 数列的一般形式可以写成 , , ,... ,... a1 a2 a3 an 简记为 an （4）数列的分类 （我们可以按照数列的特点进行适当地分类。） 1、按照数列的项数进行分类 项数有限的称为有穷数列 项数无限的称为无穷数列 2、按照数列中数的大小特点进行分类 每一项都大于它的前一项的数列称为递增数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列称为递减数列 各项相等的数列称为常数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列称为摆动数 列 （现在我们根据数列的分类来判断一下课本 P28 的几个数列是属于哪一类数列） 练习 P28-观察 （5）数列与函数的关系 （我们再来观察一下数列的特点，大家是否有发现数列中的数与它所对应的序 列号的关系呢？大家是否可以联想到从前学习的某些内容呢？提问学生。） 事实上，数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集｛1，2，3，。。。，n｝）为 定义域的函数 a f (n) n = 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列 函数值。 对于函数 y = f (x) ，如果 f (i)(i =1,2,3...) 有意义，那我们就可以得到一个数列 f (1), f (2), f (3),... f (n),... （6）通项公式 （在上节课的学习中，我们一同认识了数列这个新的数学概念，得知可以将其定 义为一种特殊的函数，在此基础上，我们可以这样提出：） 如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公
式叫做这个数列的通项公式,我们可以根据数列的通项公式写出数列。 练习:课本例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (1) 234 (2)2,0,2,0 解: (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数项为正,偶数项为 负 l)”+1 故它的一个通项公式为an 另一种表示法: (n=2m-1,m=1,2,3,) (2)这个数列的前4项构成一个摆动数列,奇数项是2,偶数项是0,所以它的 通项公式为 an=(-1)+1+1 (我们一同来回忆一下函数的集中表示方法,函数常用的三个表示法为解析法、 列表法、图象法。数列作为一种特殊的函数,自然拥有函数的一般性质。事实上, 数列的通项公式可以相对应于函数的解析式,同样数列也可以用图象和列表来表 示。) 例如:全体正偶数按从小到大的顺序构成数列 则该数列可以用列表和图表分别表示出来(表2-1和图21-4) 练习:课本P30例2 图21-5中的三角形称为谢宾斯基( Sierpinski)三角形。在下图四个三角形中, 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式, 并在直角坐标系中画出它的图像 解: 如图,这四个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27 则可知所求数列的前四项都是3的指数幂,指数为序号减1 所以,这个数列的一个通项公式为an=3m1 则可在直角坐标系中作出该数列图象如图216 (大家可以从图上发现数列的图象是一些离散的点,大家想想是为什么呢?主要 是由于数列中自变量的取值是一系列离散的点。) (7)递推公式
式叫做这个数列的通项公式，我们可以根据数列的通项公式写出数列。 练习：课本例 1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： （1） 4 1 - 3 1 2 1 1，- ，， （2） 2，0，2，0 解： （1）这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为 负， 故它的一个通项公式为 n a n n 1 ( 1) + − = 另一种表示法： = − = = = − = ( 2 , 1,2,3,...) 1 ( 2 1, 1,2,3,...) 1 n m m n n m m n an （2）这个数列的前 4 项构成一个摆动数列，奇数项是 2，偶数项是 0，所以它的 通项公式为 ( 1) 1 1 = − + n+ an （我们一同来回忆一下函数的集中表示方法，函数常用的三个表示法为解析法、 列表法、图象法。数列作为一种特殊的函数，自然拥有函数的一般性质。事实上， 数列的通项公式可以相对应于函数的解析式，同样数列也可以用图象和列表来表 示。） 例如：全体正偶数按从小到大的顺序构成数列 2，4，6，... ，2n，... 则该数列可以用列表和图表分别表示出来（表 2-1 和图 2.1-4） 练习：课本 P30 例 2 图 2.1-5 中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形。在下图四个三角形中， 着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项，请写出这个数列的一个通项公式， 并在直角坐标系中画出它的图像。 解： 如图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为 1，3，9，27 则可知所求数列的前四项都是 3 的指数幂，指数为序号减 1. 所以，这个数列的一个通项公式为 1 3 − = n an 则可在直角坐标系中作出该数列图象如图 2.1-6 （大家可以从图上发现数列的图象是一些离散的点，大家想想是为什么呢？主要 是由于数列中自变量的取值是一系列离散的点。） （7）递推公式
(在一个由拥有某些共同点的个体组成的总体中,允许个体存在个性。数列作为 一种特殊的函数,自然有其个性,我们一起来研究一下这一个个性。) 如果一个数列{an}的首项为a=1,从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加 上1,即an=2an1+1(n>1) 那 像这样给出数列的方法称为递推法 我们将an=2an1+1(n>1)称作递推公式 练习:课本P31例3 设数列n}满足1a=1+-1(m>1),请写出这个数列的前五项。 解: 由题意可知 a2 1+一=1 1+一=1 (8)数列的几种简单表示法: 通项公式、图象法、列表法、递推公式 归纳小结 (我们今天一同认识了一个新的概念:数列,我们知道它是一个与现实生活有密 切联系的数学概念,我们一同来回忆一下数列的概念,数列的两种分类。另外, 我们发现数列实质上是一种特殊的函数。数列的几种简单表示法:通项公式、图 象法、列表法、递推公式,与函数的表示法进行类比 回顾数列的概念,数列的两种分类以及数列的实质:是一种特殊的函数。 4>作业布置 P33习题2.1A组1
（在一个由拥有某些共同点的个体组成的总体中，允许个体存在个性。数列作为 一种特殊的函数，自然有其个性，我们一起来研究一下这一个个性。） 如果一个数列 an 的首项为 1 a =1，从第二项起每一项等于它的前一项的 2 倍再加 上 1，即 2 1( 1) an = an−1 + n ， 那么 ... 2 1 7 2 1 3 3 2 2 1 = + = = + = a a a a 像这样给出数列的方法称为递推法 我们将 2 1( 1) an = an−1 + n 称作递推公式。 练习：课本 P31 例 3 设数列 an 满足 = = + − 1 ( 1) 1 1 1 1 a n a a n n ，请写出这个数列的前五项。 解： 由题意可知 5 8 5 3 1 1 1 , 8 5 3 2 1 1 1 , 2 3 2 1 1 1 1 2, 1 1 1 1 1 1, 4 5 3 4 2 3 1 2 1 = + = + = = + = + = = + = + = = + = + = = a a a a a a a a a （8）数列的几种简单表示法： 通项公式、图象法、列表法、递推公式 归纳小结 （我们今天一同认识了一个新的概念：数列，我们知道它是一个与现实生活有密 切联系的数学概念，我们一同来回忆一下数列的概念，数列的两种分类。另外， 我们发现数列实质上是一种特殊的函数。数列的几种简单表示法：通项公式、图 象法、列表法、递推公式，与函数的表示法进行类比） 回顾数列的概念，数列的两种分类以及数列的实质：是一种特殊的函数。 作业布置 P33 习题 2.1 A 组 1