第1课时等差数列 课程目标 1.理解等差数列的概念,明确“同一个常数”的含义. 2.掌握等差数列的通项公式及其应用. 3.会判定或证明等差数列:了解等差数列与一次函数的关系 基础知识·理 具Bcm 1.等差数列 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于 那么 这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的 ,通常用字母d表示 名师点拨 (1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个:其一是强调作差的顺序,即后面 的项减前面的项:其二是强调这两项必须相邻 (2)公差d∈R,当d=0时,数列为常数列:当d>0时,数列为递增数列;当d1,n∈N),那么数列{an}是等差数列 【做一做2】已知等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an等于() B.2n-4 3.等差中项 如果三个数a,A,b成等差数列,那么叫做的等差中项 归纳总结 等差中项的性质: ①A是a与b的等差中项,则 A=2+b或24=a+b,即两个数的等差中项有且只有一个 ②当2A=a+b时,A是a与b的等差中项 【做一做3】13与-11的等差中项m= 答案;1.(1)同一个常数公差 【做一做1】3 2.a1+(n-1 【做一做2】C a与b 【做一做3】1 里宗难点· 对等差数列定义的理解 剖析:(1)等差数列定义中的关键词是:“从第2项起”与“同一个常数 ①如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与前一项的差是 同一个常数,那么此数列不是等差数列
第 1 课时 等差数列 1．理解等差数列的概念，明确“同一个常数”的含义． 2．掌握等差数列的通项公式及其应用． 3．会判定或证明等差数列；了解等差数列与一次函数的关系． 1．等差数列 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，通常用字母 d 表示． (1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻． (2)公差 d∈R，当 d＝0 时，数列为常数列；当 d＞0 时，数列为递增数列；当 d＜0 时， 数列为递减数列．[来源:Z# x x #k.] 【做一做 1】 等差数列 4,7,10,13,16 的公差等于__________． 2．通项公式[来源:学_科_ ] 等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则通项公式是 an＝________. (1)如果数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(p，q 是常数)，那么数列{an}是等差数列． (2)如果数列{an}满足 2an＝an－1＋an＋1(n＞1，n∈N* )，那么数列{an}是等差数列． 【做一做 2】 已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an 等于( ) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 3．等差中项 如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么____叫做______的等差中项． 等差中项的性质：[来源:学_ 科_ ] ①A 是 a 与 b 的等差中项，则 A＝ a＋b 2 或 2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个． ②当 2A＝a＋b 时，A 是 a 与 b 的等差中项． 【做一做 3】 13 与－11 的等差中项 m＝__________. 答案：1．(1)同一个常数 公差 【做一做 1】 3 2．a1＋(n－1)d 【做一做 2】 C 3．A a 与 b 【做一做 3】 1 1．对等差数列定义的理解[来源:学,科,] 剖析：(1)等差数列定义中的关键词是：“从第 2 项起”与“同一个常数”． ①如果一个数列，不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与前一项的差是 同一个常数，那么此数列不是等差数列．
②如果一个数列,从第2项起,每一项与前一项的差,尽管是常数,但这个数列也不 定是等差数列.这是因为这些常数可能不相同,必须是同一个常数,才是等差数列 (2)也可以用数学符语言叙述等差数列的定义 在数列{an}中,如果a+1-an=d(常数)对任意n∈N都成立,则称数列{an}为等差数列, 常数d称为等差数列的公差 (3)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差,不可颠倒,即d=an+1-am= an an-I- a3-a2=a2-a1 (4)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后,发现它们是同一个常数,就断言此数列为 等差数列. 2.对等差数列通项公式的理解 剖析:(1)从函数的角度看等差数列的通项公式 由等差数列的通项公式an=an+(n-1)d可得an=dn+(a-d),如果设p=d,q=a1-d 那么an=p+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数,即(n,an)在一次 函数y=px+q的图象上,因此从图象上看,表示等差数列的各点均在一次函数y=px+q的 图象上 所以公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点 当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴) 上的均匀分布的一群孤立的点 (2)由两点确定一条直线的性质可以得出,已知等差数列的任意两项可以确定这个等差 数列.若已知等差数列的通项公式,可以写出数列中的任意一项 (3)等差数列{an}的通项公式an=a1+(m-1)d中共含有四个变数,即a1,d,n,an,如 果知道了其中的任意三个数,就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程我们通 常称之为“知三求 曲型例题· 题型一求等差数列的通项公式 【例题1】若{an}是等差数列,a5=8,a60=20,求an 分析:先求出a1,d,然后求an 反思:一般地,可由am=a,a=b,得a+(m-1d=a, la1+(n-1)d=b, 求出a1和d,从而确定通项 公式 题型二等差数列的判定与证明 【例题2】已知数列{an}的通项公式为an=4-2n,求证:数列{an}是等差数列 分析:只需证明an+1-an=常数或an-an-1=常数(n≥2) 反思:已知数列{an}的通项公式an=fn),用定义判断或证明{an}是等差数列的步骤: (1)利用通项公式an=fn)写出an+1=(n+1)或an-1=fn-1) (2)作差am+1-an(或an-an-1),将差变形 (3)当差am+1-an(或an-a-1)是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当差an +1-an(或an-an-1)不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列 题型三实际应用问题 【例题3】梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级,各级宽度 依次成等差数列,计算中间各级的宽度 分析:要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差数列的公差.又梯子的 级数是12,因此,该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差 反思:解决实际应用问题的关键是建立数学模型,本题中的数学模型是已知等差数列的 首项和末项及项数,求各项 题型四易错辨析 【例题4】若数列{an}的通项公式为an=10+1g2,求证数列{an}为等差数列 错解:因为an=10+1g2=10+nlg2, 所以a1=10+lg2,a2=10+2lg2,a3=10+3lg2
②如果一个数列，从第 2 项起，每一项与前一项的差，尽管是常数，但这个数列也不一 定是等差数列．这是因为这些常数可能不相同，必须是同一个常数，才是等差数列． (2)也可以用数学符语言叙述等差数列的定义： 在数列{an}中，如果 an＋1－an＝d(常数)对任意 n∈N*都成立，则称数列{an}为等差数列， 常数 d 称为等差数列的公差． (3)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差，不可颠倒，即 d＝an＋1－an＝ an－an－1＝…＝a3－a2＝a2－a1. (4)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后，发现它们是同一个常数，就断言此数列为 等差数列． 2．对等差数列通项公式的理解 剖析：(1)从函数的角度看等差数列的通项公式． 由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可得 an＝dn＋(a1－d)，如果设 p＝d，q＝a1－d， 那么 an＝pn＋q，其中 p，q 是常数．当 p≠0 时，an 是关于 n 的一次函数，即(n，an)在一次 函数 y＝px＋q 的图象上，因此从图象上看，表示等差数列的各点均 在一次函数 y＝px＋q 的 图象上． 所以公差不为零的等差数列的图象是直线 y＝px＋q 上的均匀排开的一群孤立的点． 当 p＝0 时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于 x 轴的直线(或 x 轴) 上的均匀分布的一群孤立的点． (2)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的任意两项可以确定这个等差 数列．若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项． (3)等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 中共含有四个变数，即 a1，d，n，an，如 果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通 常称之为“知三求一”． 题型一 求等差数列的通项公式 【例题 1】 若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求 an. 分析：先求出 a1，d，然后求 an. 反思：一般地，可由 am＝a，an＝b，得 a1＋(m－1)d＝a， a1＋(n－1)d＝b， 求出 a1 和 d，从而确定通项 公式． 题型二 等差数列的判定与证明 【例题2】 已知数列{an}的通项公式为 an＝4－2n，求证：数列{an}是等差数列． 分析：只需证明 an＋1－an＝常数或 an－an－1＝常数(n≥2)． 反思：已知数列{an}的通项公式 an＝f(n)，用定义判断或证明{an}是等差数列的步骤： (1 )利用通项公式 an＝f(n)写出 an＋1＝f(n＋1)(或 an－1＝f(n－1))； (2)作差 an＋1－an(或 an－an－1)，将差变形； (3)当差 an＋1－an(或 an－an－1)是一个与 n 无关的常数时，数列{an}是等差数列；当差 an ＋1－an(或 an－an －1)不是常数，是与 n 有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． 题型三 实际应用问题 【例题 3】 梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级宽度 依次成等差数列，计算中间各级的宽度． 分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差数列的公差．又梯子的 级数是 12，因此，该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差． 反思：解决实际应用问题的关键是建立数学模型，本题中的数学模型是已知等差数列的 首项和末项及项数，求各项． 题型四 易错辨析 【例题 4】 若数列{an}的通项公式为 an＝10＋lg 2n，求证数列{an}为等差数列． 错解：因为 an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2， 所以 a1＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2
所以a-a=g2,a3-a=lg2, 则a2-a1=ax-a2,故数列{an}为等差数列 错因分析:a3-a=a2-a=常数,不能满足等差数列的定义中“从第2项起,每一项与 前一项的差等于同一个常数”的要求 反思:要说明一个数列为等差数列,必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同 一常数,即an-an-1=d≥2)恒成立,而不能只验证有限个相邻两项之差相等 答案:【例题1】解:由题意,知 解得 59d=20 4 4 故an=a1+(n-1)d 1515 【例题2】证明:∵a=4-2n,∴am+1=4-2(n+1)=2-2n ∴an+1-an=(2-2n)-(4-2m)=-2 {an}是等差数列 【例题3】解:设梯子的第n级的宽为ancm,其中最高一级宽为ancm,则数列{a 是等差数列. 由题意,得a1=33 则a12=a1+11d 所以110=33+11d,解得d=7 所以a2=33+7=40,a3=40+7=47 6+7=103 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,6lcm,68cm,75cm,82 89cm,96cm,l03 【例题4】正解:因为an=10+1g2”=10+ng2, 所以an+1=10+(n+1)lg2 所以an+1-an=[10+(n+1)g2]-(10+nlg2)=lg2(n∈N) 所以数列{an}为等差数列 随堂练彐·I 1(2011吉林长春高三调研)在等差数列{an}中,a1a3=8,a2=3,则公差d=() C.±1 2等差数列一3,1,5,…的第15项为() A.40 B.53 C.63 D.76 3等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是() D.4 4已知数列{an}的通项公式是an=7m+2,求证:数列{gan}是等差数列 5有一正四棱台形楼顶,其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块,总共需要铺瓦15行, 并且下一行比其上一行多铺3块瓦,求该侧面最下面一行需铺瓦多少块? 答案:1.C由题意 a(a1+2d=8 解得d= a1+d=3, 2.Ba=-3,d=1-(-3)=4, 故a15=a1+(15-1)d=-3+14×4=53 3.Ca1=1,d=(-1)-1= 故an=an+(n-1)d=3-2n 令-89=3-2n,解得n=46 4.分析:转化为证明lgan+1-lgdm是一个与n无关的常数
所以 a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2， 则 a2－a1＝a3 －a2，故数列{an}为等差数列． 错因分析：a3－a2＝a2－a1＝常数，不能满足等差数列的定义中“从第 2 项起，每一项 ．．．与 前一项的差等于同一个常数”的要求． 反思：要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同 一常数，即 an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等． 答案：【例题 1】 解：由题意，知 a15＝a1＋14d＝8， a60＝a1＋59d＝20， 解得 a1＝ 64 15， d＝ 4 15， 故 an＝a1＋(n－1)d＝ 64 15＋(n－1)× 4 15＝ 4 15n＋4. 【例题 2】 证明：∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n. ∴an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2. ∴{an}是等差数列． 【例题 3】 解：设梯子的第 n 级的宽为 an cm，其中最高一级宽为 a1 cm，则数列{an} 是等差数列． 由题意，得 a1＝33，a12＝110，n＝12， 则 a12＝a1＋11d. 所以 110＝33＋11d，解得 d＝7. 所以 a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，…，a11＝96＋7＝103， 即梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm，47 cm，54 cm，61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm，96 cm，103 cm. [来源:Zx x k .] 【例题 4】 正解：因为 an＝10＋lg 2 n＝10＋nlg 2， 所以 an＋1＝10＋(n＋1)lg 2. 所以 an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N* )． 所以数列{an}为等差数列． 1 (2011·吉林长春高三调研)在等差数列{an}中，a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( ) A．1 B．－1 C．±1 D．±2 2 等差数列－3,1,5，…的第 15 项为( ) A．40 B．53 C．63 D．76 3 等差数列 1，－1，－3，…，－89 的项数是( ) A．92 B．47 C．46 D．45 4 已知数列{an}的通项公式是 an＝7 n＋2，求证：数列{lg an}是等差数列． 5 有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦 30 块，总共需要铺瓦 15 行， 并且下一行比其上一行多铺 3 块瓦，求该侧面最下面一行需铺瓦多少块？ 答案：1．C 由题意 1 1 1 ( 2 ) 8, 3, a a d a d + = + = 解得 d＝±1. 2．B a1＝－3，d＝1－(－3)＝4， 故 a15＝a1＋(15－1)d＝－3＋14×4＝53. 3．C a1＝1，d＝(－1)－1＝－2， 故 an＝a1＋(n－1)d＝3－2n， 令－89＝3－2n，解得 n＝46. 4．分析：转化为证明 lg an＋1－lg an 是一个与 n 无关的常数．
证明:设bn=lgan=lg7+2=(n+2)lg7, 则bn+1=[(n+1)+2]g7=(n+3)g7, 则bn+1-bn=(n+3)g7-(n+2)g7=lg7=常数 所以数列{bn}是等差数列 即数列{lgan}是等差数列 5.分析:转化为求等差数列的第15项 解:设从上面开始第n行铺瓦ωm块,则数列{an}是首项为30,公差为3的等差数列. 则a1s=a1+14d=30+14×3=72 即该侧面最下面一行应铺瓦72块
证明：设 bn＝lg an＝lg 7 n＋2＝(n＋2)lg 7， 则 bn＋1＝[(n＋1)＋2]lg 7＝(n＋3)lg 7， 则 bn＋1－bn＝(n＋3)lg 7－(n＋2)lg 7＝lg 7＝常数． 所以数列{bn}是等差数列， 即数列{lg an}是等差数列． 5．分析：转化为求等差数列的第 15 项． 解：设从上面开始第 n 行铺瓦 an 块，则数列{an}是首项为 30，公差为 3 的等差数列． 则 a15＝a1＋14d＝30＋14×3＝72， 即该侧面最下面一行应铺瓦 72 块．