2019-2020年高中数学2.2等差数列教案(3)新人教A版必修5 (一)教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念:探索并掌握等差数列的通项公式:能在具 体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题:体会等差数列与 次函数的关系 2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出 等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列 通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数 列相应问题的研究 3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。 (二)教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些 简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法 (三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、 储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念:接着就等差数列的特点,推导出等差 数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以 后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习 类特殊的数列 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案 (放投影片)在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列 xx年,在澳大利亚悉尼举行的奧运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设 置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如 果一个水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算 起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m)18,15.5,13,10.5, 8,5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下 期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期 存入10000元钱,年利率是0.72%。那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是 时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216
2019-2020 年高中数学 2.2 等差数列教案(3) 新人教 A 版必修 5 (一)教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具 体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一 次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出 等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列 通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数 列相应问题的研究。 3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。 (二)教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些 简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 (三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、 储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点,推导出等差 数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以 后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习 一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案: (放投影片)在现实生活中,我们经常这样数数,从 0 开始,每隔 5 数一次,可以得到数列: 0,5,____,____,____,____,…… xx 年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设 置了 7 个级别。其中较轻的 4 个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如 果一个水库的水位为 18cm,自然放水每天水位降低 2.5m,最低降至 5m。那么从开始放水算 起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,15.5,13,10.5, 8,5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一 期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期 存入 10 000 元钱,年利率是 0.72%。那么按照单利,5 年内各年末的本利和分别是: 时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第 1 年 10 000 10 072 第 2 年 10 000 10 144 第 3 年 10 000 10 216
第4年 10000 10288 5年 10000 10360 各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10072,10144,10216,10288,10360。 思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20, 18,15.5,13,10.5,8,5.5③ 10072,10144,10216,10288,10360④ 看这些数列有什么共同特点呢? (由学生讨论、分析) 引导学生观察相邻两项间的关系,得到 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的差都等于5 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的差都等于5 对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的差都等于-2.5 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的差都等于72 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常 数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点) [等差数列的概念 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征 试着给等差数列下个定义: 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列 它们的公差依次是5,5,-2.5,72 提问:如果在与中间插入一个数A,使,A,成等差数列数列,那么A应满足什么条件? 由学生回答:因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: A-a=b-A 所以就有 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做a与b的 等差中项 不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前 项与后一项的等差中项 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。 看来,a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a7 从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q [等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学 习的内容
第 4 年 10 000 10 288 第 5 年 10 000 10 360 各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360。 思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,…… ① 48,53,58,63 ② 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③ 10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢? (由学生讨论、分析) 引导学生观察相邻两项间的关系,得到: 对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列③,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 -2.5 ; 对于数列④,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 72 ; 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于同一个常 数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。 [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征, 尝试着给等差数列下个定义: 等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列, 它们的公差依次是 5,5,-2.5,72。 提问:如果在与中间插入一个数 A,使,A,成等差数列数列,那么 A 应满足什么条件? 由学生回答:因为 a,A,b 组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: A-a=b-A 所以就有 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做 a 与 b 的 等差中项。 不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前 一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5 是 3 和 7 的等差中项,1 和 9 的等差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项。 看来, 2 4 1 5 4 6 3 7 a + a = a + a ,a + a = a + a 从而可得在一等差数列中,若 m+n=p+q 则 [等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学 习的内容
(1)、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同 学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式 由学生经过分析写出通项公式: ①这个数列的第一项是5,第2项是10(=5+5),第3项是15(=5+5+5),第4项是20 (=5+5+5+5) 由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 这个数列的第一项是48,第2项是53(=48+5),第3项是58(=48+5×2),第4项 是63(=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ③这个数列的第一项是18,第2项是15.5(=18-2.5),第3项是13(=18-2.5×2), 第4项是10.5(=18-2.5×3),第5项是8(=18-2.5×4),第6项是5.5(=18-2.5×5)由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ④这个数列的第一项是10072,第2项是10144(=10172+72),第3项是10216 (=10072+72×2),第4项是10288(=10072+72×3),第5项是10360(=10072+72×4),由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 (2)、那么,如果任意给了一个等差数列的首项和公差d,它的通项公式是什么呢? 引导学生根据等差数列的定义进行归纳 (n-1)个等式 所以 思考:那么通项公式到底如何表达呢? a2=a2+d=(a1+d)+d=a+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a+3d 得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以为首项,d为公差的等差数列的通项公式为 也就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差d,那么这个等差数列的通项就可以 表示出来了 选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式: (迭加法):是等差数列,所以 两边分别相加得 所以 (迭代法):是等差数列,则有
⑴、我们是通过研究数列的第 n 项与序号 n 之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同 学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式: ① 这个数列的第一项是 5,第 2 项是 10(=5+5),第 3 项是 15(=5+5+5),第 4 项是 20 (=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ② 这个数列的第一项是 48,第 2 项是 53(=48+5),第 3 项是 58(=48+5×2),第 4 项 是 63(=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ③ 这个数列的第一项是 18,第 2 项是 15.5(=18-2.5),第 3 项是 13(=18-2.5×2), 第 4 项是 10.5(=18-2.5×3),第 5 项是 8(=18-2.5×4),第 6 项是 5.5(=18-2.5×5)由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ④ 这个数列的第一项是 10072,第 2 项是 10144(=10172+72),第 3 项是 10216 (=10072+72×2),第 4 项是 10288(=10072+72×3),第 5 项是 10360(=10072+72×4),由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项和公差 d,它的通项公式是什么呢? 引导学生根据等差数列的定义进行归纳: … 所以 …… 思考:那么通项公式到底如何表达呢? ( ) 2 , a3 = a2 + d = a1 + d + d = a + d ( 2 ) 3 , a4 = a3 + d = a1 + d + d = a + d …… 得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以为首项,d 为公差的等差数列的通项公式为: 也就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差 d,那么这个等差数列的通项就可以 表示出来了。 选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式: (迭加法): 是等差数列,所以 …… 两边分别相加得 所以 (迭代法):是等差数列,则有 (n-1)个等式
所以 [例题分析] 例1、(1)求等差数列8,5,2,…的第20项 (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 分析:(1)要求出第20项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该 等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差 (2)这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中 的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义 解:(1)由=8,d=5-8=3,n=20,得a20=8+(21-1)×(-3)=-49 (2)由=-5,d=9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1)=-4n-1 由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项 例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n(独 立的量有3个)的方程:另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当 判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数 列中的项 (放投影片)例2.某市出租车的计价标准为12元/km,起步价为10元,即最初的4km(不 含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14Ⅻm处的目的地,且一路畅通,等 候时间为0,需要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2 元所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费 令=1.2,表示4km处的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时,n=11, 此时需要支付车费a1=11.2+(11-1)×1.2=232(元) 答:需要支付车费23.2元。 例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象 出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题 (放投影片)思考例题:例3已知数列的通项公式为其中p、q为常数,且p≠0,那么这个 数列一定是等差数列吗? 分析:判定是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看(n>1)是不是一个 与n无关的常数。 解:取数列中的任意相邻两项(n>1) 求差得an-an1=(m+q)-[p{-1)+q]=p+q-(p-p+q=p 它是一个与n无关的数 所以是等差数列。 课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少?
…… 所以 [例题分析] 例 1、⑴求等差数列 8,5,2,…的第 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 分析:⑴要求出第 20 项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该 等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差; ⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中 的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。 解:⑴由=8,d=5-8=-3,n=20,得 a20 = 8 + (21−1)(−3) = −49 ⑵由=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为 a = −5 − 4(n −1) = −4n −1, n 由题意知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-4n-1 成立。 解这个关于 n 的方程,得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项。 例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n(独 立的量有 3 个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当 判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数 列中的项。 (放投影片)例 2.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不 含 4 千米)计费 10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路畅通,等 候时间为 0,需要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4km 时,每增加 1km,乘客需要支付 1.2 元.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费. 令=11.2,表示 4km 处的车费,公差 d=1.2。那么当出租车行至 14km 处时,n=11, 此时需要支付车费 11.2 (11 1) 1.2 23.2( ) a11 = + − = 元 答:需要支付车费 23.2 元。 例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象 出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。 (放投影片)思考例题:例 3 已知数列的通项公式为其中 p、q 为常数,且 p≠0,那么这个 数列一定是等差数列吗? 分析:判定是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看(n>1)是不是一个 与 n 无关的常数。 解:取数列中的任意相邻两项(n>1), 求差得 an − an−1 = ( pn + q) −[ p{n −1) + q] = pn + q − ( pn − p + q] = p 它是一个与 n 无关的数. 所以是等差数列。 课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少?
这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列,一定是等差数列, 次项系数p就是这个等差数列的公差,首项是p+q 例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通 项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究: (1)在直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点? (2)在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列 与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。 分析:(1)n为正整数,当n取1,2,3,……时,对应的可以利用通项公式求出。经过描点 知道该图象是均匀分布的一群孤立点; (2)画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一 次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列的图象是 一次函数y=px+q的图象的一个子集,是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合 该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究 [随堂练习] 例1之后:课本45页“练习”第1题 例2之后:课本45页“练习”第2题 课堂小结] 本节主要内容为 ①等差数列定义:即(n≥2) ②等差数列通项公式:(n≥1) 推导出公式: (五)评价设计 1、已知是等差数列 (1)是否成立?呢?为什么? (2)是否成立?据此你能得出什么结论? 是否成立?据此你又能得出什么结论? 2、已知等差数列的公差为d.求证 2019-2020年高中数学2.2等差数列教案(3)新人教版必修5 (一)教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念:探索并掌握等差数列的通项公式:能在具 体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与 次函数的关系。 2.过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出 等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列 通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数 列相应问题的研究
这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列,一定是等差数列,一 次项系数 p 就是这个等差数列的公差,首项是 p+q. 例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通 项公式是关于正整数 n 的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究: ⑴在直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点? ⑵在同一个直角坐标系中,画出函数 y=3x-5 的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列 与一次函数 y=px+q 的图象之间有什么关系。 分析:⑴n 为正整数,当 n 取 1,2,3,……时,对应的可以利用通项公式求出。经过描点 知道该图象是均匀分布的一群孤立点; ⑵画出函数 y=3x-5 的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一 次函数当 x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列的图象是 一次函数 y=px+q 的图象的一个子集,是 y=px+q 定义在正整数集上对应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列中的 p 的几何意义去探究。 [随堂练习] 例 1 之后:课本 45 页“练习”第 1 题; 例 2 之后:课本 45 页“练习”第 2 题; [课堂小结] 本节主要内容为: ①等差数列定义:即(n≥2) ②等差数列通项公式:(n≥1) 推导出公式: (五)评价设计 1、已知是等差数列. ⑴ 是否成立?呢?为什么? ⑵ 是否成立?据此你能得出什么结论? 是否成立?据此你又能得出什么结论? 2、已知等差数列的公差为 d.求证: 2019-2020 年高中数学 2.2 等差数列教案(3) 新人教版必修 5 (一)教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具 体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一 次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出 等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列 通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数 列相应问题的研究
3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识 (二)教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些 简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法 (三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、 储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念:接着就等差数列的特点,推导出等差 数列的通项公式:可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以 后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习 类特殊的数列 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案 (放投影片)在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列: xx年,在澳大利亚悉尼举行的奧运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设 置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,6 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如 果一个水库的水位为18cm,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。那么从开始放水算 起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,15.5,13,10.5, 8,5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下 期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期 存入10000元钱,年利率是0.72%。那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是 时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 0000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10072,10144,10216,10288,1036 思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,……① 48,53,58,63② 18,15.5,13,10.5,8,5.5 10072,10144,10216,10 看这些数列有什么共同特点呢? (由学生讨论、分析) 引导学生观察相邻两项间的关系,得到 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的差都等于5
3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。 (二)教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些 简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 (三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、 储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点,推导出等差 数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具:投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以 后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习 一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案: (放投影片)在现实生活中,我们经常这样数数,从 0 开始,每隔 5 数一次,可以得到数列: 0,5,____,____,____,____,…… xx 年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设 置了 7 个级别。其中较轻的 4 个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如 果一个水库的水位为 18cm,自然放水每天水位降低 2.5m,最低降至 5m。那么从开始放水算 起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,15.5,13,10.5, 8,5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一 期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期 存入 10 000 元钱,年利率是 0.72%。那么按照单利,5 年内各年末的本利和分别是: 时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第 1 年 10 000 10 072 第 2 年 10 000 10 144 第 3 年 10 000 10 216 第 4 年 10 000 10 288 第 5 年 10 000 10 360 各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360。 思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,…… ① 48,53,58,63 ② 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③ 10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢? (由学生讨论、分析) 引导学生观察相邻两项间的关系,得到: 对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ;
对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的差都等于5 对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的差都等于-2.5 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的差都等于」 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常 数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点) [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征 尝试着给等差数列下个定义 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列 它们的公差依次是5,5,-2.5,72 提问:如果在与中间插入一个数A,使,A,成等差数列数列,那么A应满足什么条件? 由学生回答:因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: A-a=b-A 所以就有 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做a与b的 等差中项 不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前 一项与后一项的等差中项 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5是3和7的等差中项,1和9的等差中项 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项 看来,a2+a4=a1+a5,a4+a6=a3+a 从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q 则 [等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学 习的内容。 (1)、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同 学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式 由学生经过分析写出通项公式 ①这个数列的第一项是5,第2项是10(=5+5),第3项是15(=5+5+5),第4项是20 (=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ②这个数列的第一项是48,第2项是53(=48+5),第3项是58(=48+5×2),第4项 是63(=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ③这个数列的第一项是18,第2项是15.5(=18-2.5),第3项是13(=18-2.5×2), 第4项是10.5(=18-2.5×3),第5项是8(=18-2.5×4),第6项是5.5(=18-2.5×5)由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ④这个数列的第一项是10072,第2项是10144(=10172+72),第3项是10216
对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 5 ; 对于数列③,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 -2.5 ; 对于数列④,从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于 72 ; 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于同一个常 数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。 [等差数列的概念] 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征, 尝试着给等差数列下个定义: 等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列, 它们的公差依次是 5,5,-2.5,72。 提问:如果在与中间插入一个数 A,使,A,成等差数列数列,那么 A 应满足什么条件? 由学生回答:因为 a,A,b 组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: A-a=b-A 所以就有 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做 a 与 b 的 等差中项。 不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前 一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5 是 3 和 7 的等差中项,1 和 9 的等差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项。 看来, 2 4 1 5 4 6 3 7 a + a = a + a ,a + a = a + a 从而可得在一等差数列中,若 m+n=p+q 则 [等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学 习的内容。 ⑴、我们是通过研究数列的第 n 项与序号 n 之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同 学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式: ① 这个数列的第一项是 5,第 2 项是 10(=5+5),第 3 项是 15(=5+5+5),第 4 项是 20 (=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ② 这个数列的第一项是 48,第 2 项是 53(=48+5),第 3 项是 58(=48+5×2),第 4 项 是 63(=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ③ 这个数列的第一项是 18,第 2 项是 15.5(=18-2.5),第 3 项是 13(=18-2.5×2), 第 4 项是 10.5(=18-2.5×3),第 5 项是 8(=18-2.5×4),第 6 项是 5.5(=18-2.5×5)由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ④ 这个数列的第一项是 10072,第 2 项是 10144(=10172+72),第 3 项是 10216
(=10072+72×2),第4项是10288(=10072+72×3),第5项是10360(=10072+72×4),由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 (2)、那么,如果任意给了一个等差数列的首项和公差d,它的通项公式是什么呢? 引导学生根据等差数列的定义进行归纳: (n-1)个等式 所以 思考:那么通项公式到底如何表达呢? d=(a1+d)+d=a+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a+3d 得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以为首项,d为公差的等差数列的通项公式为: 也就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差d,那么这个等差数列的通项就可以 表示出来了 选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式 (迭加法):是等差数列,所以 两边分别相加得 所以 (迭代法):是等差数列,则有 所以 [例题分析] 例1、(1)求等差数列8,5,2,…的第20项 (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 分析:(1)要求出第20项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该 等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差
(=10072+72×2),第 4 项是 10288(=10072+72×3),第 5 项是 10360(=10072+72×4),由 此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项和公差 d,它的通项公式是什么呢? 引导学生根据等差数列的定义进行归纳: … 所以 …… 思考:那么通项公式到底如何表达呢? ( ) 2 , a3 = a2 + d = a1 + d + d = a + d ( 2 ) 3 , a4 = a3 + d = a1 + d + d = a + d …… 得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以为首项,d 为公差的等差数列的通项公式为: 也就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差 d,那么这个等差数列的通项就可以 表示出来了。 选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式: (迭加法): 是等差数列,所以 …… 两边分别相加得 所以 (迭代法):是等差数列,则有 …… 所以 [例题分析] 例 1、⑴求等差数列 8,5,2,…的第 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 分析:⑴要求出第 20 项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该 等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差; (n-1)个等式
(2)这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中 的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义 解:(1)由=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=8+(21-1)×(-3)=-49 (2)由=-5,d=9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an 4(n-1)=-4n-1, 由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。 例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于、d、n(独 立的量有3个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当 判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数 列中的项 (放投影片)例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不 含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等 候时间为0,需要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2 元.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费 令=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时,n=11, 此时需要支付车费a1=11.2+(1-1)×1.2=232(元) 答:需要支付车费23.2元 例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象 出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题 (放投影片)思考例题:例3已知数列的通项公式为其中p、q为常数,且p≠0,那么这个 数列一定是等差数列吗? 分析:判定是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看(n>1)是不是一个 与n无关的常数。 解:取数列中的任意相邻两项(n>1) 求差得an-an1=(P+q)-[pn-1)+q]=p+q-(mn-p+q=P 它是一个与n无关的数 所以是等差数列 课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少? 这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列,一定是等差数列, 次项系数p就是这个等差数列的公差,首项是p+q 例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通 项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究: (1)在直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点? (2)在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列 与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系 分析:(1)n为正整数,当n取1,2,3,……时,对应的可以利用通项公式求出。经过描点
⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中 的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。 解:⑴由=8,d=5-8=-3,n=20,得 a20 = 8 + (21−1)(−3) = −49 ⑵由=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为 a = −5 − 4(n −1) = −4n −1, n 由题意知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=-4n-1 成立。 解这个关于 n 的方程,得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项。 例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n(独 立的量有 3 个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当 判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数 列中的项。 (放投影片)例 2.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不 含 4 千米)计费 10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路畅通,等 候时间为 0,需要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4km 时,每增加 1km,乘客需要支付 1.2 元.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费. 令=11.2,表示 4km 处的车费,公差 d=1.2。那么当出租车行至 14km 处时,n=11, 此时需要支付车费 11.2 (11 1) 1.2 23.2( ) a11 = + − = 元 答:需要支付车费 23.2 元。 例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象 出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。 (放投影片)思考例题:例 3 已知数列的通项公式为其中 p、q 为常数,且 p≠0,那么这个 数列一定是等差数列吗? 分析:判定是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看(n>1)是不是一个 与 n 无关的常数。 解:取数列中的任意相邻两项(n>1), 求差得 an − an−1 = ( pn + q) −[ p{n −1) + q] = pn + q − ( pn − p + q] = p 它是一个与 n 无关的数. 所以是等差数列。 课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少? 这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列,一定是等差数列,一 次项系数 p 就是这个等差数列的公差,首项是 p+q. 例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通 项公式是关于正整数 n 的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。 [探究] 引导学生动手画图研究完成以下探究: ⑴在直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点? ⑵在同一个直角坐标系中,画出函数 y=3x-5 的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列 与一次函数 y=px+q 的图象之间有什么关系。 分析:⑴n 为正整数,当 n 取 1,2,3,……时,对应的可以利用通项公式求出。经过描点
知道该图象是均匀分布的一群孤立点 (2)画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改 次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列的图象是 次函数y=px+q的图象的一个子集,是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。 [随堂练习] 例1之后:课本45页“练习”第1题 例2之后:课本45页“练习”第2题 [课堂小结] 本节主要内容为 ①等差数列定义:即(n≥2) ②等差数列通项公式:(n≥1) 推导出公式: (五)评价设计 1、已知是等差数列 (1)是否成立?呢?为什么? (2)是否成立?据此你能得出什么结论? 是否成立?据此你又能得出什么结论? 2、已知等差数列的公差为d.求证:
知道该图象是均匀分布的一群孤立点; ⑵画出函数 y=3x-5 的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一 次函数当 x 在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列的图象是 一次函数 y=px+q 的图象的一个子集,是 y=px+q 定义在正整数集上对应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列中的 p 的几何意义去探究。 [随堂练习] 例 1 之后:课本 45 页“练习”第 1 题; 例 2 之后:课本 45 页“练习”第 2 题; [课堂小结] 本节主要内容为: ①等差数列定义:即(n≥2) ②等差数列通项公式:(n≥1) 推导出公式: (五)评价设计 1、已知是等差数列. ⑴ 是否成立?呢?为什么? ⑵ 是否成立?据此你能得出什么结论? 是否成立?据此你又能得出什么结论? 2、已知等差数列的公差为 d.求证: