2.3.1等差数列的前n项和(一) 讲解新课 如图,一个堆放铅笔的Ⅴ形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层 都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支,这个Ⅴ形架上共放着 多少支铅笔? 这是一堆放铅笔的V形架,这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图, 看到此图,大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系,而且可以用一个式子来表 示这种关系,利用它便可以求出每一层的铅笔数那么,这个V形架上共放着多少支铅笔呢? 这个问题又该如何解决呢?经过分析,我们不难看出,这是一个等差数求和问题? 这个问题可以看成是求等差数列1,2,3,…,n…的前120项的和在上面的求解中 我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示,且任意的第k项与倒数第k项的和都等 于首项与末项的和,这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和如果我们可归纳出 计算式,那么上述问题便可迎刃而解 1.等差数列的前n项和公式1:S=(a1+an) 2 证明:S=a1+a2+a1+ S.=a.+a.,+a,+…+a,+a,② ②:2Sn=(a1+an)+(a2+an1)+(a3+an2) a1+a=a2+a,=a2+a.,=… 2Sn=ma1+a)由此得:S1= n(a+an) 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2.等差数列的前n项和公式2:Sn=mx、(n-1)d 用上述公式要求Sn必须具备三个条件:n,a1,an 但an=a1+(n-1)d代入公式1即得:Sn=m1+m(n-)d 此公式要求Sn必须已知三个条件:n,a12d(有时比较有用) 总之:两个公式都表明要求S必须已知n,a1,d,an中三个 公式二又可化成式子:
2.3 .1 等差数列的前 n 项和（一） 讲解新课： 如图，一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 V 形架上共放着 多少支铅笔? 这是一堆放铅笔的 V 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图， 看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表 示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个 V 形架上共放着多少支铅笔呢？ 这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？ 这个问题可以看成是求等差数列 1，2，3，…，n,…的前 120 项的和.在上面的求解中， 我们发现所求的和可用首项、末项及项数 n 来表示，且任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等 于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前 n 项的和.如果我们可归纳出 一计算式，那么上述问题便可迎刃而解. 1．等差数列的前 n 项和公式 1： 2 ( ) 1 n n n a a S + = 证明： Sn = a1 + a2 + a3 ++ an−1 + an ① Sn = an + an−1 + an−2 ++ a2 + a1 ② ①+②： 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Sn = a1 + an + a2 + an−1 + a3 + an−2 ++ an + an ∵ a1 + an = a2 + an−1 = a3 + an−2 = ∴ 2 ( ) Sn = n a1 + an 由此得： 2 ( ) 1 n n n a a S + = 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2． 等差数列的前 n 项和公式 2： 2 ( 1) 1 n n d Sn na − = + 用上述公式要求 n S 必须具备三个条件： n a an , , 1 但 an = a1 + (n −1)d 代入公式 1 即得： 2 ( 1) 1 n n d Sn na − = + 此公式要求 n S 必须已知三个条件： n,a1 ,d （有时比较有用） 总之：两个公式都表明要求 n S 必须已知 1 , , , n n a d a 中三个 公式二又可化成式子：
2+向1-dm,当d≠0,是一个常数项为零的二次式2 s 例题讲解 例1一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支, 最上面一层放120支,这个V形架上共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个Ⅴ形架上共放着120层铅笔,且自下而上各层的铅笔成等差数列, 记为{an},其中a1=1,a120=120,根据等差数列前n项和的公式,得 S20≈120×(1+120)=7260 2 答:V形架上共放着7260支铅笔 例2等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54? 解:设题中的等差数列为{an},前n项为Sn 则a1=10.d=(-6)-(-10)=4Sn=54 由公式可得-10n+ 4=54 2 解之得:n1=9,m2=-3(舍去) 等差数列-10,-6,-2,2,…前9项的和是54 例3一凸n边形各内角的度数成等差数列,公差是10°,最小内角为100°,求边数n 解:由(n-2)180=100n+ n(n-1) 求得n-17n+72=0,n=8或n=9 当n=9时,最大内角100+(9-1)×10=180°,不合题意,舍去,∴n=8 例4在等差数列{an}中,已知a+a+a2+a5=34,求前20项之和 分析:本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求a1,d求解;也可以用等差数列的性 质求解 20×19 解:法 由a+a+a12+a15=4(a1+38a)=34由S20=20a1+ 20a1+190d=5(4a1+38d)=5×34=170 法二由Sn(a+a 20=10(a1+a20),而a6+a15=a+a12=a1+a20,所以 a+a20=17,所以a20=10×17=170 小结:在解决等差数列有关问题时,要熟练运用等差数列的一些性质.在本题的第二种解 法中,利用“m+an=an+a(m+n=P+q)这一性质,简化了计算,是解决这类问题的常
n d d S = n +(a - )n 2 1 2 2 ，当 d 0 ，是一个常数项为零的二次式 2. 三、例题讲解 例 1 一个堆放铅笔的 V 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支， 最上面一层放 120 支，这个 V 形架上共放着多少支铅笔？ 解：由题意可知，这个 V 形架上共放着 120 层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列， 记为 { }n a ，其中 1 120 a a = = 1, 120 ，根据等差数列前 n 项和的公式，得 7260 2 120 (1 120) 120 = + S = 答：V 形架上共放着 7260 支铅笔 例 2 等差数列 −10， −6， −2， 2 ，…前多少项的和是 54？ 解：设题中的等差数列为 { }n a ，前 n 项为 n S 则 a1 = −10,d = (−6) − (−10) = 4, Sn = 54 由公式可得 ( 1) 10 4 54 2 n n n − − + = 解之得： 1 n = 9 ， 2 n = −3 （舍去）. ∴等差数列 −10， −6， −2， 2 ，…前 9 项的和是 54. 例 3 一凸 n 边形各内角的度数成等差数列，公差是 10°,最小内角为 100°,求边数 n 解：由 ( 1) ( 2) 180 100 10 2 n n n n − − = + ， 求得 2 n n − + = 17 72 0, n = 8 或 n = 9 . 当 n = 9 时, 最大内角 100 (9 1) 10 180 + − = ，不合题意，舍去，∴ n = 8. 例 4 在等差数列 { }n a 中，已知 6 9 12 15 a a a a + + + = 34 ，求前 20 项之和． 分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求 1 a ， d 求解；也可以用等差数列的性 质求解． 解：法一 由 6 9 12 15 1 a a a a a d + + + = + = 4( 38 ) 34.由 20 1 20 19 20 2 S a d = + = 20a1 +190d 5(4 38 ) = a1 + d = 534 =170 法二 由 1 20 20 1 20 ( ) 20 10( ) 2 a a S a a + = = + ， 而 6 15 9 12 1 20 a a a a a a + = + = + ，所以 1 20 a a + =17 ，所以 20 a = = 10 17 170 。 小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质． 在本题的第二种解 法中，利用 am + an = ap + aq (m + n = p + q) 这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常
用方法 四.巩固练习 .求集合M={mm=mn∈N*且m<10)0的元素个数,并求这些元素的和 100 解:由7n<100得n< 所以正整数n共有14个,即M中共有14个元素,即7,14,,21,……,98是以7为首项 98为末项的等差数列。 所以Sn 14(7+98) 2在等差数列{an}中,若a1-a4-a3-a12+a15=2,则S5= 3.等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n,第n项为an,前n项和为Sn,请填 写下表 360 4在等差数列{an}中,a=08,a1=2,求41+a2+…+a 五、小结本节课学习了以下内容 1等差数列的前n项和公式1:S=ma+a) 2等差数列的前"项和公式2:Sn=na,+m-1)d dn2+(2n,当d≠0,是一个常数项为零的二次式 六、课后作业 P46.4题,6题 七、板书设计(略) 八、课后记 232等差数列的前n项和(二) Ⅱ.讲授新课 例1已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220, 求其前n项和的公式
用方法． 四．巩固练习 1．求集合 M = m| m = 7n,n N *且m 100 的元素个数，并求这些元素的和 解：由 7 100 n 得 100 2 14 7 7 n = . 所以正整数 n 共有 14 个，即 M 中共有 14 个元素，即 7,14，,21，……，98 是以 7 为首项， 98 为末项的等差数列。 所以 14(7 98) 2 n S + = 2.在等差数列 { }n a 中，若 a - a - a - a +a = 1 4 8 12 15 2 ，则 S15 = 3．等差数列 { }n a 的首项为 1 a ，公差为 d ，项数为 n ，第 n 项为 n a ，前 n 项和为 n S ，请填 写下表： 1 a d n n a n S 5 10 10 -2 8 104 -38 -10 -360 4.在等差数列 { }n a 中， 4 a = 0.8 ， 11 a = 2.2 ，求 51 52 80 a a a + + + . 五、小结 本节课学习了以下内容： 1.等差数列的前 n 项和公式 1： 2 ( ) 1 n n n a a S + = 2.等差数列的前 n 项和公式 2： 2 ( 1) 1 n n d Sn na − = + 3. n d d S = n +(a - )n 2 1 2 2 ，当 d 0 ，是一个常数项为零的二次式 六、课后作业： P46 . 4 题, 6 题 七、板书设计（略） 八、课后记： 2.3.2 等差数列的前 n 项和（二） Ⅱ.讲授新课 例 1.已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220， 求其前 n 项和的公式
解:由题设:So=310S20=120 ∫10a1+45d=310 4 得:120+104=1201d=6 n(n-1) 易得 探究1.Sn,32n3m之间的关系 例2.已知数列n是等差数列,Sn是其前n项和, 求证:①)56,S12S6,S1s.S12成等差数列 (2Sn,S2n-5,.Sy-S2n(n∈N)成等差数列 证明:设n首项是a1,公差为d =(a1+6d)+(a2+6d)+(a3+6d)+(a4+6d)+(a53+6)+(a6+6d) (a1+a2+a3+a4+a5+a6)+36d=S6+36d 7 (a2+6d)+(a3+6d)+(a4+6d)+(a10+6d)+(a1+6d)+(an12+6d) (a2+a8+a+a1o+ )+36d=(S12-S6)+36 S6,S2-S6,Ss-S12是以36d为公差的等差数列 同理可得SnS2n-Sn,Sm-S是以n2d为公差的等差数列 例3已知数列{an}的前n项为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式这个数列是等差数 列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:根据Sn=a1+a2+…+an-1+a a-n>
解：由题设： S10 = 310 S20 =1220 得： + = + = 20 190 1220 10 45 310 1 1 a d a d = = 6 1 4 d a ： 易得： n n n n sn n = + − = + 2 6 3 2 ( 1) 4 探究 1. n n n s s s 2 3 , , 之间的关系 例 2. 已知数列 , an 是等差数列， n S 是其前 n 项和， 求证：⑴ 6 S ， 12 S - 6 S ， 18 S - 12 S 成等差数列； ⑵ Sn S2n Sn S3n S2n , − , − （ + n N ）成等差数列 证明：设 , an 首项是 1 a ，公差为 d 则 6 1 2 3 4 5 6 S = a + a + a + a + a + a ∵ S12 − S6 = a7 + a8 + a9 + a10 + a11 + a12 ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) = a1 + d + a2 + d + a3 + d + a4 + d + a5 + d + a6 + d = (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 ) + 36d = S6 + 36d ∵ ∴ S18 − S12 = a13 + a14 + a15 + a16 + a17 + a18 ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) = a7 + d + a8 + d + a9 + d + a10 + d + a11 + d + a12 + d = (a7 + a8 + a9 + a10 + a11 + a12 ) + 36d = (S12 − S6 ) + 36d ∴ 6 12 6 18 12 S , S − S , S − S 是以 36d 为公差的等差数列 同理可得 Sn S2n Sn S3n S2n , − , − 是以 2 n d 为公差的等差数列. 例 3 已知数列 { }n a 的前 n 项为 2 1 2 n S n n = + ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数 列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解：根据 1 2 1 ... n n n S a a a a = + + + + − 与 1 1 2 1 ... n n S a a a − − = + + + （n 1） ＞
可知,当n>1时,an=S-/合2+n-(n-12+1(n-1)=2 n=1时,a1=S=12+1,3 也满足①式 所以数列{a}的通项公式为an=2n-1 由此可知,数列{an}是一个首项为,公差为2的等差数列。 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法已知前n项和S,可求出通项 (n=1) a 用这种数列的S来确定an的方法对于任何数列都是可行的,而且还要注意a1不一定满 足由Sn-Sn1=an求出的通项表达式,所以最后要验证首项a1是否满足已求出的an 探究2:一般地,如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pm2+qn+r其中p、q、r为常数, 且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 分析:由S=P+qm+F,得S=a=P+q+F 当n≥2时On=S n-Sn1(pn2+qn+r)-[p(n-1)2+q(n-1)+r]2pn-(p+q) d=an-an-1=[2p-(p+q)-[2p(n-1)-(P+q) S=a1=p+q+r,当n=1时 结论:通项公式是”Sn-S=2m-(P+q)当≥2时 引导分析得出:观察等差数列两个前n项和公式。Sn n(n-1).d =an+ d=n2+(a1-)n,公式本身就不含常数项 2 所以得到:如果一个数列前n项和公式是常数项为0,且关于n的二次型函数,则这个 数列一定是等差数列. 探究3.对等差数列的前n项和公式2:Sn=a1n+ d可化成式子: Sn d +(a1-n,当d≠0,是一个常数项为零的二次式,那么它有何作用呢? 例4已知等差数列542,34, 77’…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值 分析:等差数列的前n项和公式可以写成Sn=n2+(a1-)n,所以Sn可以看成函
可知，当 n＞1 时， 2 2 1 1 1 1 [ 1 1 ] 2 2 2 2 n n n a S S n n n n n = − = + − − + − = − − （ ） （ ） ① 当 n=1 时， 2 1 1 1 3 1 1 2 2 a S = = + = 也满足①式. 所以数列 { }n a 的通项公式为 1 2 2 n a n = − . 由此可知，数列 { }n a 是一个首项为 3 2 ，公差为 2 的等差数列。 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前 n 项和 n S ，可求出通项 1 1 1 2 n n n a n a S S n （ ） − （ ） = = − 用这种数列的 n S 来确定 n a 的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意 1 a 不一定满 足由 n n n 1 S S a − = − 求出的通项表达式，所以最后要验证首项 1 a 是否满足已求出的 n a . 探究 2:一般地，如果一个数列 { }n a 的前 n 项和为 2 . n S pn qn r = + + 其中 p、q、r 为常数， 且 p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 分析： 由 2 n S pn qn r = + + ，得 1 1 S a p q r = = + + 当 n 2 时 n n n 1 a S S = − − = 2 2 ( ) [ ( 1) ( 1) ] pn qn r p n q n r + + − − + − + = 2 ( ) pn p q − + 1 [2 ( )] [2 ( 1) ( )] n n d a a pn p q p n p q = − = − + − − − + − =2p 结论：通项公式是 1 1 1 , 1 2 ( ), 2 n n n S a p q r n a S S pn p q n − = = + + = = − = − + 当 时 当 时 引 导 分 析 得 出 ： 观 察 等 差 数 列 两 个 前 n 项 和 公 式 1 2 n n a a S n + = ， 和 2 1 1 1 2 2 2 n n n d d S a n d n a n − = + = + − （ ） （ ） ，公式本身就不含常数项。 所以得到：如果一个数列前 n 项和公式是常数项为 0，且关于 n 的二次型函数，则这个 数列一定是等差数列. 探究 3. 对等差数列的前 n 项和公式 2： 1 1 2 n n n S a n d （ − ） = + 可化成式子： 2 1 ( ) 2 2 n d d S n a n = + − ，当 d 0 ，是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢？ 例 4 已知等差数列 2 4 5 4 3 7 7 ， ， ，.... 的前 n 项和为 n S ，求使得 n S 最大的序号 n 的值. 分析：等差数列的前 n 项和公式可以写成 2 1 2 2 n d d S n a n = + − （ ） ，所以 n S 可以看成函
数y=x2+(a,、b)∈N*)当x=n时的函数值另一方面,容易知道Sn关于n的图象 d 是一条抛物线上的一些点因此,我们可以利用二次函数来求n的值 解:由题意知,等差数列542,34,,的公差为-5,所以 5 Sn=[2×5+(n-1)(- (n-2 于是,当n取与最接近的整数即7或8时,S取最大值 发现规律对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)利用an 当an>0,d0,前n项和有最小值可由an≤0,且an1≥0,求得n的值 (2)利用S 由Sn=n2+(a1-m利用二次函数配方法求得最值时n的值 例5.在数列{n}中 ,(n∈N*),那么使其前n项和Sn取得最大值 的n值等于 解:依题意知,a1>0..h2> 易知52最大,即n取12时和最大 小结 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 利用a 当an>0,d0,前n项和有最小值可由·n≤0,且n+≥0,求得n的值 利用 S 由Sn=n2+(a1-川n利用二次函数配方法求得最值时n的值 Ⅲ课堂练习
数 2 1 2 2 d d y x a x x * = + − ( ) ( N ) 当 x= n 时的函数值.另一方面，容易知道 n S 关于 n 的图象 是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求 n 的值. 解：由题意知，等差数列 2 4 5 4 3 7 7 ， ， ，.... 的公差为 5 7 − ，所以 5 [2 5 1 ] 2 7 n n S n = + − − （ ）（ ） = 2 75 5 5 15 1125 2 14 14 2 56 n n n − = − − + （ ） 于是，当 n 取与 15 2 最接近的整数即 7 或 8 时， n S 取最大值. 发现规律:对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）利用 n a : 当 n a >0，d0，前n项和有最小值可由 n a ≤0，且 n+1 a ≥0，求得n的值 （2）利用 n S ： 由 2 1 ( ) 2 2 n d d S n a n = + − 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 例 5. 在数列{ n a }中，已知 an = 25 − 2n ， (n N*)，那么使其前 n 项和 Sn 取得最大值 的 n 值等于 . 解：依题意知， 1 a >0 ... 12 a >0, 13 a 0，d0，前 n 项和有最小值可由 n a ≤0，且 n+1 a ≥0，求得 n 的值 利用 n S ： 由 2 1 ( ) 2 2 n d d S n a n = + − 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 Ⅲ.课堂练习
已知等差数列的前n项和为a,前2n项和为b,求前3n项和 2已知数列{an}的前n项和为S=1m2+2n+3,求这个数列的通项公式 3.等差数列{an)中,=-15,公差d=3,求数列{an}的前n项和S的最小值 4.等差数列{an}的第10项为23,第25项为-2,求此数列 (1)第几项开始为负? (2)前10项的和? (3)从首项到第几项之和开始为负? 5.在等差数列{an}中,已知a1=25,9=S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值 Ⅳ课时小结 1.Sn表示an,a 1 ≥2) 2.差数列前项和的最值问题有两种方法 (1)当an>0,d0,前n项和有最小值可由an≤0,且an1≥0,求得n的值 d (2)由Sn=n2+(a1-川利用二次函数配方法求得最值时n的值 3.Sn,S2n-Sn,Sn-S2n是以n2d为公差的等差数列 V.课后作业 课本P46-3题
已知等差数列的前 n 项和为 a，前 2n 项和为 b，求前 3n 项和。 2.已知数列 { }n a 的前 n 项和为 1 2 2 3 4 3 n S n n = + + ，求这个数列的通项公式. 3. 等差数列{ n a }中, 4 a ＝－15, 公差 d＝3, 求数列{ n a }的前 n 项和 n S 的最小值. 4. 等差数列{ n a }的第 10 项为 23，第 25 项为－22，求此数列 (1)第几项开始为负？ (2)前 10 项的和？ (3)从首项到第几项之和开始为负？ 5. 在等差数列{ n a }中，已知 a1=25, S9= S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。 Ⅳ.课时小结 1. n S 表示 n a , 1 1 1 2 n n n a n a S S n （ ） − （ ） = = − 2．差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)当 n a >0，d0，前 n 项和有最小值可由 n a ≤0，且 1 0 n a + ，求得 n 的值。 (2)由 2 1 ( ) 2 2 n d d S n a n = + − 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 3. Sn S2n Sn S3n S2n , − , − 是以 2 n d 为公差的等差数列. Ⅴ.课后作业 课本 P46 3 题