2.4等比数列(第1课时) 学习目标 1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念. 2.能根据定义判断一个数列是不是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件;能够 用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导等比数列的通项公式 合作学习 设计问题,创设情境 1.复习等差数列的相关内容 定义 通项公式:a=a1+(n-1)d,(n∈N) 前n项和公式:S=natd,(n∈N) 问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列 1,2,4,8,…;1,,…;-1,1,-1,1, 思考:这三个数列是等差数列吗?各个数列的各项之间有什么关系? 信息交流,揭示规律 与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么? 1.定义:如果一个数列从第2项起,那么这个数列叫做等比数列,这个常 数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0) 2.数学表达式 从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成 结论:等比数列各项均不为零,公比q≠0 3.通项公式 等比数列{an}的首项为a,公比为q 2-ag, a3-a2q ai-a3g-a2q -aq
2.4 等比数列(第 1 课时) 学习目标 1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念. 2.能根据定义判断一个数列是不是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件;能够 运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导等比数列的通项公式. 合作学习 一、设计问题,创设情境 1.复习等差数列的相关内容: 定义: 通项公式:an=a1+(n-1)d,(n∈N * ). 前 n 项和公式:Sn==na1+d,(n∈N * ). 问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列 1,2,4,8,…;1,,…;-1,1,-1,1,… 思考:这三个数列是等差数列吗?各个数列的各项之间有什么关系? 二、信息交流,揭示规律 与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么? 1.定义:如果一个数列从第 2 项起, ,那么这个数列叫做等比数列,这个常 数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示(q≠0). 2.数学表达式: . 从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成 立? 结论:等比数列各项均不为零,公比 q≠0. 3.通项公式: 等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, a2=a1q, a3=a2q=a1q 2 , a4=a3q=a2q 2 =a1q 3
以此类推,可以得到a用a1和q表示的数学表达式吗? 归纳猜测得到 三、运用规律,解决问题 【例1】判断下列数列是否为等比数列: (1)1,1,1,1, (2)0,1,2,4,8; (3)1,-,-, 【例2】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84% 这种物质的半衰期为多长(精确到1年)? 【例3】(1)一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项; (2)一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项 四、变式训练,深化提高 变式训练1:已知等比数列{an}中an>a,且a3+a=3,a2·a=2,则等于() B D 变式训练2:已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a=2,a=1,则a等于( 变式训练3:在等比数列{an}中,a=-16,a=8,则an等于()
以此类推,可以得到 an用 a1和 q 表示的数学表达式吗? 归纳猜测得到: . 三、运用规律,解决问题 【例 1】判断下列数列是否为等比数列: (1)1,1,1,1,1; (2)0,1,2,4,8; (3)1,-,-,…. 【例 2】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%. 这种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)? 【例 3】(1)一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,求它的第 1 项和第 2 项; (2)一个等比数列的第 9 项是,公比是-,求它的第 1 项. 四、变式训练,深化提高 变式训练 1:已知等比数列{an}中 an+1>an,且 a3+a7=3,a2·a8=2,则等于( ) A. B. C. D.2 变式训练 2:已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3·a9=2,a2=1,则 a1等于( ) A. B. C. D.2 变式训练 3:在等比数列{an}中,a5=-16,a8=8,则 a11等于( )
B.±4 D.±2 五、反思小结,观点提炼 参考答案 、设计问题,创设情境 1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示 二、信息交流,揭示规律 1.每一项与它的前一项的比等于同一常数 2.=q(mn∈N) 3 三、运用规律,解决问题 【例1】解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列; (2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列 (3)数列的首项为1,公比为-,所以是等比数列 【例2】解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是a,那么 经过1年,剩留量为a1=1×0.84=0.84, 经过2年,剩留量为a=0.84a1=0.84×0.84=0.842 经过3年,剩留量为a=0.84a2=0.84×0.84=0.84, 经过n年,剩留量为an=0.84am 因此an构成一个等比数列{an},其中a=0.84,q=0.84 设a=0.5,则0.84=0.5两边取对数,得1g0.84°=1g0.5, 于是nlg0.84=1g0.5,n= 用计算器算得n≈4 答:这种物质的半衰期大约为4年
A.-4 B.±4 C.-2 D.±2 五、反思小结,观点提炼 参考答案 一、设计问题,创设情境 1.一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示. 二、信息交流,揭示规律 1.每一项与它的前一项的比等于同一常数 2.=q(n∈N * ) 3.an=a1q n-1 三、运用规律,解决问题 【例 1】解:(1)数列的首项为 1,公比为 1,所以是等比数列; (2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列; (3)数列的首项为 1,公比为-,所以是等比数列. 【例 2】解:设这种物质最初的质量是 1,经过 n 年,剩留量是 an,那么: 经过 1 年,剩留量为 a1=1×0.84=0.84, 经过 2 年,剩留量为 a2=0.84a1=0.84×0.84=0.842 , 经过 3 年,剩留量为 a3=0.84a2=0.84×0.842 =0.843 , …… 经过 n 年,剩留量为 an=0.84an-1. 因此 an构成一个等比数列{an},其中 a1=0.84,q=0.84. 设 an=0.5,则 0.84n =0.5 两边取对数,得 lg0.84n =lg0.5, 于是 nlg0.84=lg0.5,n= 用计算器算得 n≈4. 答:这种物质的半衰期大约为 4 年
【例3】解:(1)设这个等比数列的第1项是a,公比是q,那么 两式相比得q,代入其中一个方程,得a 因此,a=anq=8 (2)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么a=aq 即=a1,解得a=2916. 四、变式训练,深化提高 变式训练1:分析:在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义,列出一个或多个等式来 求解 由a2·a=a3·a,得解得 因此=2.选D 答案:D 变式训练2:分析:设等比数列{an}的公比为q,由已知得aq2·aq=2(a1q)2,即q2=2,又因为 等比数列{a}的公比为正数,所以q=,故a=,选B. 答案:B 变式训练3:分析:设等比数列{an}的公比为q,由已知得a=aq3,即8=(-16)×q3,q2=-,所以 a=aB8·q=8×=-4.选A 答案:A 五、反思小结,观点提炼
【例 3】解:(1)设这个等比数列的第 1 项是 a1,公比是 q,那么 两式相比得 q=,代入其中一个方程,得 a1=, 因此,a2=a1q==8. (2)设这个等比数列的第 1 项是 a1,公比是 q,那么 a9=a1q 8 , 即=a1,解得 a1=2916. 四、变式训练,深化提高 变式训练 1:分析:在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义,列出一个或多个等式来 求解. 由 a2·a8=a3·a7,得解得 因此=2.选 D. 答案:D 变式训练2:分析:设等比数列{an}的公比为q,由已知得a1q 2·a1q 8 =2(a1q 4 ) 2 ,即q 2 =2,又因为 等比数列{an}的公比为正数,所以 q=,故 a1=,选 B. 答案:B 变式训练 3:分析:设等比数列{an}的公比为 q,由已知得 a8=a5q 3 ,即 8=(-16)×q3 ,q 3 =-,所以 a11=a8·q 3 =8×=-4.选 A. 答案:A 五、反思小结,观点提炼 略