DI ER ZHANG第二章数列 2.4等比数列 第13课时等比数列的概念及通项公式 知对点练 知识点一等比数列的定义 1.数列m,m,m,…一定() 是等差数列,但不是等比数列 B.是等比数列,但不是等差数列 C.是等差数列,但不一定是等比数列 D.既是等差数列,又是等比数列 答案 解析当m=0时,数列是等差数列,但不是等比数列;当m≠0时,数列 既是等差数列,又是等比数列.故选C. 2.若正数a,b,c依次成公比大于1的等比数列,则当x>1时,l gbx, logix( A.依次成等差数列 B.依次成等比数列 C.各项的倒数依次成等差数列 D.各项的倒数依次成等比数列 答案C 解析1+1=g log( ac)=log b2=2log b 1.1-,,1成等差数列 logar logix logix
DI ER ZHANG 第二章 数列 2．4 等比数列 第 13 课时 等比数列的概念及通项公式 知识点一 等比数列的定义 1．数列 m，m，m，…一定( ) A．是等差数列，但不是等比数列 B．是等比数列，但不是等差数列 C．是等差数列，但不一定是等比数列 D．既是等差数列，又是等比数列 答案 C 解析 当 m＝0 时，数列是等差数列，但不是等比数列；当 m≠0 时，数列 既是等差数列，又是等比数列．故选 C． 2．若正数 a，b，c 依次成公比大于 1 的等比数列，则当 x＞1 时，logax， logbx，logcx( ) A．依次成等差数列 B．依次成等比数列 C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列 答案 C 解析 1 logax ＋ 1 logcx ＝logxa＋logxc＝logx(ac)＝logxb 2＝2logxb＝ 2 logbx ， ∴ 1 logax ， 1 logbx ， 1 logcx 成等差数列．
知识点二等比数列的通项公式 3.一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n 年后这批设备的价值为( A.na(1-b%)B.a(1-nb%) C.a(1-b%)D.a[1-(b%門] 答案C 解析依题意可知第一年后的价值为a(1-b%),第二年后的价值为a(1 b%G,依此类推形成首项为a(1-b%),公比为1-b%的等比数列,则可知n年 后这批设备的价值为a(1-b%y.故选C 4.在等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+as的值为 A.16B.27C.36D.81 答案B 解析由已知,得 q2(a+a2)=9, a3+a4=9 q2=9 a4+a=q(a3+a4)=3×9=27 知识点三等比数列的证明 5.已知数列a的首项an=p0,a+=-3an_,n∈N,有一5,求面 2an+1 1是等比数列并求出{an}的通项公式 解由题意知an>0 an+ 3a
知识点二 等比数列的通项公式 3．一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b%，则 n 年后这批设备的价值为( ) A．na(1－b%) B．a(1－nb%) C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n] 答案 C 解析 依题意可知第一年后的价值为 a(1－b%)，第二年后的价值为 a(1－ b%)2，依此类推形成首项为 a(1－b%)，公比为 1－b%的等比数列，则可知 n 年 后这批设备的价值为 a(1－b%)n．故选 C． 4．在等比数列{an}中，an＞0，且 a2＝1－a1，a4＝9－a3，则 a4＋a5 的值为 ( ) A．16 B．27 C．36 D．81 答案 B 解析 由已知，得 a1＋a2＝1， a3＋a4＝9. ∴q 2 (a1＋a2)＝9， ∴q 2＝9．∵an＞0，∴q＝3． ∴a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27． 知识点三 等比数列的证明 5．已知数列{an}的首项 a1＝t>0，an＋1＝ 3an 2an＋1 ，n∈N*，若 t＝ 3 5 ，求证1 an － 1 是等比数列并求出{an}的通项公式． 解 由题意知 an>0， 1 an＋1 ＝ 2an＋1 3an ， 1 an＋1 ＝ 1 3an ＋ 2 3
an+I 所以数列--1是首项为,公比为的等比数列 1=-1=3,an= 33 3n+2 知识点四等比中项及应用 6.已知一等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么一13是此数列 的第项() A.2B.4C.6D.8 答案B 解析由x,2x+2,3x+3成等比数列,可知(2x+2)2=x(3x+3),解得x= 1或-4,又当x=-1时,2x+2=0,这与等比数列的定义相矛盾.∴x=-4 该数列是首项为-4,公比为的等比数列,其通项an=-4 由-4× 13,得n=4. 7.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,a是b,c的等比中项,且a+ 3b+c=10,则a的值是() 答案D 26=a+c 解析由题意,得a2=bc, 解得a=-4,b=2,c=8 a+3b+c=10 8.在等比数列{an}中,若a4a5a6=27,则a3与a的等比中项是 答案±3 解析由等比中项的定义知a3=a4a6,:4=27
1 an＋1 －1＝ 1 3 1 an －1， 1 a1 －1＝ 2 3 ， 所以数列1 an －1 是首项为2 3 ，公比为1 3 的等比数列． 1 an －1＝ 2 3 1 3 n－1＝ 2 3 n，an＝ 3 n 3 n＋2 ． 知识点四 等比中项及应用 6．已知一等比数列的前三项依次为 x，2x＋2，3x＋3，那么－13 1 2 是此数列 的第________项( ) A．2 B．4 C．6 D．8 答案 B 解析 由 x，2x＋2，3x＋3 成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得 x＝ －1 或－4，又当 x＝－1 时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4．∴ 该数列是首项为－4，公比为3 2 的等比数列，其通项 an＝－4× 3 2 n－1，由－4× 3 2 n－1 ＝－13 1 2 ，得 n＝4． 7．若互不相等的实数 a，b，c 成等差数列，a 是 b，c 的等比中项，且 a＋ 3b＋c＝10，则 a 的值是( ) A．1 B．－1 C．－3 D．－4 答案 D 解析 由题意，得 2b＝a＋c， a 2＝bc， a＋3b＋c＝10， 解得 a＝－4，b＝2，c＝8． 8．在等比数列{an}中，若 a4a5a6＝27，则 a3与 a7的等比中项是________． 答案 ±3 解析 由等比中项的定义知 a 2 5＝a4a6，∴a 3 5＝27．
a5=3,:aq4=3 a3a7=aiq3=32,因此a3与an的等比中项是±3 易错点一忽略对等比中项符号的讨论 9.若1,x,y,z,16这五个数成等比数列,则y的值为() A.4B.-4C.±4D.2 易错分析对于本题的求解,若仅注意到y是1与16的等比中项,会很快 得出y2=16,进一步得出y=±4,从而导致错解 答案A =1y, 解析由于 →y=4,故选A y2=1×16 易错点二忽略等比数列中公比可正可负 10.已知一个等比数列的前4项之积为,,第2项与第3项的和为√2,则 这个等比数列的公比为 易错分析本题易错设四个数分别为a,,g,ay公比为q2相当于规定了 这个等比数列各项要么同正,要么同负而错算出公比为3±22 答案322或-5±26 解析设这4个数为a,ag,aqg2,ag3(其中g≠0),由题意得 a'ag'aq-16′所以 )2=2 所以 a (q+q2)2
∴a5＝3，∴a1q 4＝3， ∴a3a7＝a 2 1q 8＝3 2，因此 a3 与 a7的等比中项是±3． 易错点一 忽略对等比中项符号的讨论 9．若 1，x，y，z，16 这五个数成等比数列，则 y 的值为( ) A．4 B．－4 C．±4 D．2 易错分析 对于本题的求解，若仅注意到 y 是 1 与 16 的等比中项，会很快 得出 y 2＝16，进一步得出 y＝±4，从而导致错解． 答案 A 解析 由于 x 2＝1·y， y 2＝1×16 ⇒y＝4，故选 A． 易错点二 忽略等比数列中公比可正可负 10．已知一个等比数列的前 4 项之积为 1 16，第 2 项与第 3 项的和为 2，则 这个等比数列的公比为________． 易错分析 本题易错设四个数分别为a q 3， a q ，aq，aq3 公比为 q 2 相当于规定了 这个等比数列各项要么同正，要么同负而错算出公比为 3±2 2． 答案 3±2 2或－5±2 6 解析 设这 4 个数为 a，aq，aq2，aq3 (其中 aq≠0)，由题意得 a·aq·aq2 ·aq3＝ 1 16， aq＋aq2＝ 2， 所以 a 2q 3＝± 1 4 ， a 2 (q＋q 2 ) 2＝2. 所以 a 2q 3 a 2 (q＋q 2 ) 2 ＝± 1 8
整理得q2-6q+1=0或q2+10q+1=0 解得q=3±22或q=-5±2V6. 得e综合练 、选择题 1.若等比数列{an}满足anam+1=16”,则公比为() 答案B 解析由anan+1=16",知aa=16,aa3=162,后式除以前式得q2=16, q=±4.:aa=atq=16>0,q>0,q=4 2.在数列{amn}中,a1=1,点(am,an+1)在直线y=2x上,则a4的值为() A.7B.8C.9D.16 答案B 解析∵点(an,an+1)在直线y=2x上,amn+1=2am,a1=1≠0,∴an≠0 {amn}是首项为1,公比为2的等比数列,a4=1×23=8 3.已知等比数列a,a2,…as各项为正,且公比q≠1,则 l1+a8=a4+a5 B. a1+a8a4+ D.a1+a8与a4+a5大小关系不能确定 答案C 解析由题意可知,a1>0,q>0,a+a8-a4-as=an(1+q-q3-q)=a q3-q(1-q3)]=a[(1-q3)(1-q)]>0.:a+a>a+as.故选C 4.一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其公比为() B
整理得 q 2－6q＋1＝0 或 q 2＋10q＋1＝0， 解得 q＝3±2 2或 q＝－5±2 6． 一、选择题 1．若等比数列{an}满足 anan＋1＝16n，则公比为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 答案 B 解析 由 anan＋1＝16n，知 a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得 q 2＝16，∴ q＝±4．∵a1a2＝a 2 1q＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4． 2．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线 y＝2x 上，则 a4 的值为( ) A．7 B．8 C．9 D．16 答案 B 解析 ∵点(an，an＋1)在直线 y＝2x 上，∴an＋1＝2an．∵a1＝1≠0，∴an≠0．∴ {an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，∴a4＝1×2 3＝8． 3．已知等比数列 a1，a2，…a8 各项为正，且公比 q≠1，则( ) A．a1＋a8＝a4＋a5 B．a1＋a8＜a4＋a5 C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1＋a8 与 a4＋a5大小关系不能确定 答案 C 解析 由题意可知，a1＞0，q＞0，a1＋a8－a4－a5＝a1(1＋q 7－q 3－q 4 )＝a1[1 －q 3－q 4 (1－q 3 )]＝a1[(1－q 3 )(1－q 4 )]＞0．∴a1＋a8＞a4＋a5．故选 C． 4．一个数分别加上 20，50，100 后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A． 5 3 B． 4 3 C． 3 2 D． 1 2
答案A 解析设这个数为x,则(50+x)2=(20+x)(100+x),解得x=25.这三个 数分别为45,75,125,公比q为55 5.在如下表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵 列成等比数列,则a+b+c的值为() 0.5 b A.1B.2C.3D 答案D 解析按题意要求,每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列填表如图, 3 0.5 1 2 0.5 0.75 0.125 0.25 0.375 0.0625 0.125 0.1875 0.25 9 故 则a+b+c=8故选D 二、填空题 6.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是 答案2
答案 A 解析 设这个数为 x，则(50＋x) 2＝(20＋x)·(100＋x)，解得 x＝25．∴这三个 数分别为 45，75，125，公比 q 为 75 45＝ 5 3 ． 5．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵 列成等比数列，则 a＋b＋c 的值为( ) A．1 B．2 C．3 D． 9 8 答案 D 解析 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图， 故 a＝ 1 2 ，b＝ 3 8 ，c＝ 1 4 ，则 a＋b＋c＝ 9 8 ．故选 D． 二、填空题 6．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案 5－1 2
解析设该直角三角形的三边分别为a,ag,aq2(q>1),则(ag2)2=(aq)2+ +1 较小锐角记为θ,则sin 7.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有人持金出五关,前 关二税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五 关所税,适重一斤.问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税 金,第2关收税金2’第3关收税金’第4关收税金’第5关收税金’5关 所收税金之和,恰好1斤重,设这个人原本持金为x,按此规律通过第8关” 则第8关需收税金为 答案J 解析第1关收税金 第2关收税金:31-1=2了 第3关收税金:4111=1x;… 263× 可得第8关收税金:8×9,即2x 8.各项均为正数的等比数列{amn}中,a2-a1=1.当a3取最小值时,数列{an} 的通项公式an 答案2n1 解析设等比数列的公比为q(q>0), 由a-a=1,得aq-1)=1,所以a=1 43=a1 而-+ qq 当q=2时①式有最大值
解析 设该直角三角形的三边分别为 a，aq，aq2 (q＞1)，则(aq2 ) 2＝(aq) 2＋ a 2，∴q 2＝ 5＋1 2 ．较小锐角记为 θ，则 sinθ＝ 1 q 2＝ 5－1 2 ． 7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前 关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五 关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税 金 1 2 ，第 2 关收税金1 3 ，第 3 关收税金1 4 ，第 4 关收税金1 5 ，第 5 关收税金1 6 ，5 关 所收税金之和，恰好 1 斤重，设这个人原本持金为 x，按此规律通过第 8 关”， 则第 8 关需收税金为________． 答案 1 72x 解析 第 1 关收税金：1 2 x； 第 2 关收税金：1 3 1－ 1 2 x＝ 1 2×3 x； 第 3 关收税金：1 4 1－ 1 2 － 1 6 x＝ 1 3×4 x；…， 可得第 8 关收税金： 1 8×9 x，即 1 72x． 8．各项均为正数的等比数列{an}中，a2－a1＝1．当 a3 取最小值时，数列{an} 的通项公式 an＝________． 答案 2 n－1 解析 设等比数列的公比为 q(q＞0)， 由 a2－a1＝1，得 a1(q－1)＝1，所以 a1＝ 1 q－1 ． a3＝a1q 2＝ q 2 q－1 ＝ 1 － 1 q 2＋ 1 q (q＞0)， 而－1 q 2＋ 1 q ＝－ 1 q － 1 2 2＋ 1 4 ， ① 当 q＝2 时①式有最大值1 4
所以当q=2时a3有最小值4 此时a1= 12 所以数列{an}的通项公式an=2n 故答案为2n-1 、解答题 9.等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公 式及前n项和S 解(1){an}的公比为q 由已知得16=2q3,解得q=2, (2)由(1)得a3=8,a5=32,则b=8,b=32, b1+2d=8 设{bn}的公差为d,则有 解得 d=12 从而bn=-16+12(n-1)=12n-28 n(-16+12n-28) 数列{bn}的前n项和Sn= =6n2-22n 10.数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…) (1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列 (2)求a 解(1)2=3a1-2×2+3=-4
所以当 q＝2 时 a3 有最小值 4． 此时 a1＝ 1 q－1 ＝ 1 2－1 ＝1． 所以数列{an}的通项公式 an＝2 n－1． 故答案为 2 n－1． 三、解答题 9．等比数列{an}中，已知 a1＝2，a4＝16． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 a3，a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项，试求数列{bn}的通项公 式及前 n 项和 Sn． 解 (1)设{an}的公比为 q， 由已知得 16＝2q 3，解得 q＝2， ∴an＝a1q n－1＝2 n． (2)由(1)得 a3＝8，a5＝32，则 b3＝8，b5＝32， 设{bn}的公差为 d，则有 b1＋2d＝8， b1＋4d＝32， 解得 b1＝－16， d＝12. 从而 bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28， ∴数列{bn}的前 n 项和 Sn＝ n(－16＋12n－28) 2 ＝6n 2－22n． 10．数列{an}满足 a1＝－1，且 an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)． (1)求 a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列； (2)求 an． 解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4
下面证明{an-n}是等比数列 证明:由an=3am-1-2n+3可得 an-n=3[an-1-(n-1)],因为a1-1=-2≠0, 所以 an+1-(n+1)3a-2(n+1)+3-(n+1) 所以 n 3an-3 3 又a1-1=-2,所以{am-n}是以-2为首项,3为公比的等比数列 (2)由(1知am-n=-23n1, 所以 In - n
a3＝3a2－2×3＋3＝－15． 下面证明{an－n}是等比数列： 证明：由 an＝3an－1－2n＋3 可得 an－n＝3[an－1－(n－1)]，因为 a1－1＝－2≠0， 所以 an－n≠0， 所以 an＋1－(n＋1) an－n ＝ 3an－2(n＋1)＋3－(n＋1) an－n ＝ 3an－3n an－n ＝3(n＝1，2，3，…)． 又 a1－1＝－2，所以{an－n}是以－2 为首项，3 为公比的等比数列． (2)由(1)知 an－n＝－2·3n－1， 所以 an＝n－2·3n－1．
