§2.4等比数列( 课时目标 1.理解等比数列的定义,能够利用定义判断一个数列是否为等 比数列 掌握等比数列的通项公式并能简单应用 3.掌握等比中项的定义,能够应用等比中项的定义解决有关问 题 知识梳理 1.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 公比,通常用字母q表示(q≠0) 2.等比数列的通项公式:a=aqm 3.等比中项的定义 如果a、G、b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G ±√ab 业设计 、选择题 1.在等比数列{a}中,an>0,且a2=1-a1,a1=9-a3,则a4+ a的值为() A.16 B.27 C.36 D.81 答案B 解析由已知a+a=1,a3+a=9,∴q=9 ∴q=3(q=-3舍),∴a十=(a+a)q=27 2.已知等比数列{an}满足a+a=3,a+a3=6,则a1等于() A.64 B.81 C.128 D.243 答案A 解析∵{a为等比数列 fa2 又a+a=3,∴a1=1.故a=1·2=64 3.已知等比数列{a}中,各项都是正数,且a,a32a成等差数 + 列,则等于()
1 §2.4 等比数列(一) 课时目标 1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等 比数列． 2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用． 3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问 题． 1．如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于 同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母 q 表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式：an＝a1q n－1 . 3．等比中项的定义 如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G ＝± ab. 一、选择题 1．在等比数列{an}中，an>0，且 a2＝1－a1，a4＝9－a3，则 a4＋ a5的值为( ) A．16 B．27 C．36 D．81 答案 B 解析 由已知 a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q 2＝9. ∴q＝3(q＝－3 舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27. 2．已知等比数列{an}满足 a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则 a7等于( ) A．64 B．81 C．128 D．243 答案 A 解析 ∵{an}为等比数列， ∴ a2＋a3 a1＋a2 ＝q＝2. 又 a1＋a2＝3，∴a1＝1.故 a7＝1·26＝64. 3．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且 a1， 1 2 a3,2a2成等差数 列，则a9＋a10 a7＋a8 等于( )
A.1+ B.1 C.3+2 答案C 解析设等比数列{an}的公比为q a,2a成等差数列, ∴a3=a1+2a, ∴a1q=a+2aq, ∴q-2q-1=0 ∴q=1±√2 a>0,∴90,q=1+√2 十动==(+D)=3+2巨 4.如果-1,a,b,C,-9成等比数列,那么() A.b=3,ac=9 B.b=-3,aC=9 C.b=3 D.b=-3,ac=-9 答案B 解析∵b=(-1)×(-9=9且b与首项-1同号, ∴b=-3,且a,c必同号. ∴ac=b2=9 5.一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列,其 公比为( 4 A. B D. 答案A 解析设这个数为x,则(50+x)2=(20+x)·(100+x), 解得x=25, 755 ∴这三个数45,75,125,公比q为 453 6.若正项等比数列{a的公比q≠1,且a,,a6成等差数列, 则,等于( +1 B. D.不确定 答案A
2 A．1＋ 2 B．1－ 2 C．3＋2 2 D．3－2 2 答案 C 解析 设等比数列{an}的公比为 q， ∵a1， 1 2 a3,2a2成等差数列， ∴a3＝a1＋2a2， ∴a1q 2＝a1＋2a1q， ∴q 2－2q－1＝0， ∴q＝1± 2. ∵an>0，∴q>0，q＝1＋ 2. ∴ a9＋a10 a7＋a8 ＝q 2＝(1＋ 2) 2＝3＋2 2. 4．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 答案 B 解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9 且 b 与首项－1 同号， ∴b＝－3，且 a，c 必同号． ∴ac＝b 2＝9. 5．一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列，其 公比为( ) A. 5 3 B. 4 3 C. 3 2 D. 1 2 答案 A 解析 设这个数为 x，则(50＋x) 2＝(20＋x)·(100＋x)， 解得 x＝25， ∴这三个数 45,75,125，公比 q 为 75 45＝ 5 3 . 6．若正项等比数列{an}的公比 q≠1，且 a3，a5，a6成等差数列， 则 a3＋a5 a4＋a6 等于( ) A. 5－1 2 B. 5＋1 2 C. 1 2 D．不确定 答案 A
解析a+a6=2a,∴aq+aq=2aq, ∴q-2q+1=0,∴(q-1)(q-q-1)=0(q≠1), 5+1 ∴q-q-1=0,∴q= 0舍 +a6 g 2 二、填空题 7.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则 答案4 3 解析由已知(a+1)2=(a-1)(a+4), 得a=5,则a=4,q=42 4 8.设数列{a}为公比q1的等比数列,若a,a3是方程4x-8x +3=0的两根,则 a6+a= 答案18 解析由题意得a=,=,∴q=一=3 ∴a6+a=(a+a)q=( ×32=18 9.首项为3的等比数列的第n项是48,第2m-3项是192,则 答案5 解析设公比为q, 1=16 →q=4, 3 得q=±2.由(±2)=16,得m=5 10.一个直角三角形的三边成等比数列,则较小锐角的正弦值是 答案 解析设三边为a,aq,ag2(q>1)
3 解析 a3＋a6＝2a5，∴a1q 2＋a1q 5＝2a1q 4， ∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q－1)(q 2－q－1)＝0 (q≠1)， ∴q 2－q－1＝0，∴q＝ 5＋1 2 (q＝ 1－ 5 2 1 的等比数列，若 a4，a5是方程 4x 2－8x ＋3＝0 的两根，则 a6＋a7＝________. 答案 18 解析 由题意得 a4＝ 1 2 ，a5＝ 3 2 ，∴q＝ a5 a4 ＝3. ∴a6＋a7＝(a4＋a5)q 2＝( 1 2 ＋ 3 2 )×32＝18. 9．首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48，第 2n－3 项是 192，则 n＝________. 答案 5 解析 设公比为 q， 则 3q n－1＝48 3q 2n－4＝192 ⇒ q n－1＝16 q 2n－4＝64 ⇒q 2＝4， 得 q＝±2.由(±2)n－1＝16，得 n＝5. 10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是 ________． 答案 5－1 2 解析 设三边为 a，aq，aq 2 (q>1)
则(ag)2=(aq2+a,∴q √5+ 较小锐角记为θ,则sinθ 、解答题 20 已知{an}为等比数列,a3=2,a2+a 求{a}的通项公 式 解设等比数列{a}的公比为q,则q≠0 ,a4=aq=2q, 20 ∴-+2q-3 解得q 3. 当q=时, 8, 18× 1-=2×3- 当q=3时, ∴an=×3-1=2×30 综上,当q=时,a=2×3-"; 当q=3时,an=2×3″3 12.已知数列{a}的前n项和为S,S=2(a-1)(n∈N) (1)求a1,a;(2)求证:数列{an}是等比数列 (1)解由S1=(a1-1),得a=(a-1), 又S=(a-1), 即a1+a2=(a-1),得 (2)证明当n≥2时,a=S-S-1
4 则(aq 2 ) 2＝(aq) 2＋a 2，∴q 2＝ 5＋1 2 . 较小锐角记为 θ，则 sin θ＝ 1 q 2＝ 5－1 2 . 三、解答题 11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝ 20 3 ，求{an}的通项公 式． 解 设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0. a2＝ a3 q ＝ 2 q ，a4＝a3q＝2q， ∴ 2 q ＋2q＝ 20 3 . 解得 q1＝ 1 3 ，q2＝3. 当 q＝ 1 3 时，a1＝18， ∴an＝18× 1 3 n－1＝2×33－n . 当 q＝3 时，a1＝ 2 9 ， ∴an＝ 2 9 ×3n－1＝2×3n－3 . 综上，当 q＝ 1 3 时，an＝2×33－n ； 当 q＝3 时，an＝2×3n－3 . 12．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ 1 3 (an－1) (n∈N * )． (1)求 a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列． (1)解 由 S1＝ 1 3 (a1－1)，得 a1＝ 1 3 (a1－1)， ∴a1＝－ 1 2 .又 S2＝ 1 3 (a2－1)， 即 a1＋a2＝ 1 3 (a2－1)，得 a2＝ 1 4 . (2)证明 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
得 a2 所以{an}是首项为一。,公比为一的等比数列 能力提升 13.设{a}是公比为q的等比数列,|q1,令b=an+1(n 1,2,…,若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中, 则6q 答案-9 解析由题意知等比数列{an}有连续四项在集合{ 18,36,81}中,由等比数列的定义知, 四项是两个正数、两个负数,故24,36,-54,81,符合题意, 则q 14.已知数列{a}满足a2=1,an+1=2an+1, (1)求证:数列{a+1}是等比数列; (2)求a的表达式 (1)证明∵an+1=2an+1 ∴a+1+1=2(a+1), ∴+1 +1 ∴{an+1}是等比数列,公比为2,首项为2 2)解由(1)知{an+1}是等比数列 公 比为2,首项a+1=2. ∴a+1=(a+1)·2-=2 ∴an=2-1 反思感悟 1.等比数列的判断或证明 (1)利用定义: q(与n无关的常数 2)利用等比中项:a2+1=aan+2(n∈N"). 2.等比数列{a的通项公式a=aq共涉及an,a,q,n四个 量.已知其中三个量可求得第四个
5 ＝ 1 3 (an－1)－ 1 3 (an－1－1)， 得 an an－1 ＝－ 1 2 ，又a2 a1 ＝－ 1 2 ， 所以{an}是首项为－1 2 ，公比为－1 2 的等比数列． 能力提升 13．设{an}是公比为 q 的等比数列，|q|>1，令 bn＝an＋1(n＝ 1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， 则 6q＝________. 答案 －9 解析 由题意知等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24， 18,36,81}中，由等比数列的定义知， 四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意， 则 q＝－ 3 2 ，∴6q＝－9. 14．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1， (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)求 an的表达式． (1)证明 ∵an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴ an＋1＋1 an＋1 ＝2. ∴{an＋1}是等比数列，公比为 2，首项为 2. (2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列． 公比为 2，首项 a1＋1＝2. ∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2 n . ∴an＝2 n －1. 1．等比数列的判断或证明 (1)利用定义：an＋1 an ＝q (与 n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2 n＋1＝anan＋2 (n∈N * )． 2．等比数列{an}的通项公式 an＝a1q n－1共涉及 an，a1，q，n 四个 量．已知其中三个量可求得第四个．